Chuyên đề Tập hợp phần tử của tập hợp – Toán lớp 6

Tập hợp các phần tử của tập hợp là một dạng toán quan trọng trong chương trình toán lớp 6 cũng như chương trình toán lớp 10. Vậy định nghĩa của một tập hợp là gì? Các dạng toán tập hợp, tập hợp phần tử lớp 6? Cách liệt kê các phần tử của tập hợp 10?… Để nắm rõ lý thuyết cũng như cách giải các dạng bài tập về chủ đề này, mời các bạn tham khảo bài viết dưới đây của Tip.edu.vn về chủ đề Đặt tập hợp phần tử !.

Định nghĩa set là gì?

Tập hợp trong toán học là một nhóm các đối tượng nhất định, và các đối tượng này được gọi là phần tử của tập hợp.

Ví dụ về một tập hợp:

• Tập hợp những người trong một xã.
• Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn (10 ​​)
• Bộ chữ cái trong bảng chữ cái tiếng việt.

Làm thế nào để viết một tập hợp

Tên tập hợp được viết bằng chữ in hoa: (A; B; C;… )

Các phần tử của một tập hợp thường được đặt trong hai dấu ngoặc nhọn ( {} ) được phân tách bằng (; )

Mỗi phần tử được liệt kê một lần, thứ tự liệt kê là tùy ý:

• Nếu phần tử (a ) thuộc tập (A ) ta viết: (a in A )
• Nếu phần tử (a ) không thuộc tập (A ) ta viết: (a notin A )

Thường có hai cách để viết bộ:

• Liệt kê các phần tử của tập hợp: Ví dụ: (A = {1; 2; 3; 4 } )

• Chỉ ra các thuộc tính cụ thể cho các phần tử của tập hợp đó: Ví dụ: ( {x in N | x <5 } )

Ví dụ về cách viết một tập hợp:

Viết tập hợp các số tự nhiên chẵn có một chữ số bằng hai cách

Dung dịch:

Chúng tôi sẽ viết theo hai cách như trên:

• Phương pháp 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp: (A = {2; 4; 6; 8 } )

• Cách 2: Nêu tính chất đặc trưng. Các số tự nhiên chẵn có một chữ số là những số chia hết cho (2 ) và nhỏ hơn (10 ​​)

(A = {x vdots 2 | x <10 } )

Số phần tử của một tập hợp con

Số phần tử của một tập hợp

Một tập hợp trong toán học có thể có một phần tử, nó có thể là nhiều phần tử, vô số phần tử hoặc không có phần tử nào cả (gọi là tập rỗng).

Ví dụ:

• Tập hợp (A = {1 } ) là tập hợp có một phần tử
• Tập hợp (B = {x in N | x <100 } ) là một tập hợp có nhiều phần tử
• Tập hợp các số tự nhiên (N = {1; 2; 3; 4;…. } ) Là tập hợp có vô hạn phần tử.
• Tập hợp trống được ký hiệu là ( blankset )

Tìm hiểu tập hợp con là gì?

Nếu mọi phần tử của tập hợp (A ) nằm trong tập hợp (B ) thì trong toán học chúng ta nói (A ) là một tập hợp con của (B )

Ký hiệu: (A tập con B )

Ví dụ:

• Tập hợp các số tự nhiên (N ) là một tập con của tập hợp các số nguyên (Z ). Kí hiệu (N tập con Z )
• Tập hợp nhân dân Hà Nội là một tập hợp con của tập hợp nhân dân Việt Nam

Chú ý:

Số phần tử của tập hợp con sẽ luôn nhỏ hơn hoặc bằng số phần tử của tập hợp ban đầu

Tập hợp rỗng luôn là tập hợp con của mọi tập hợp.

Tóm tắt các thao tác trên tập hợp

Trong phần lý thuyết tập hợp và các phần tử tập hợp, chúng ta có hai phép toán cơ bản là giao và hợp.

Giao điểm của hai tập hợp

Giao của hai tập hợp theo định nghĩa (A ) và (B ) là tập hợp chứa tất cả các phần tử vừa thuộc (A ) và cũng thuộc (B )

Ký hiệu: (A cap B = {x | left { begin {matrix} x in A \ x in B end {matrix} right. } )

Sự kết hợp của hai bộ

Hợp của hai tập hợp (A ) và (B ) là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc (A ) hoặc thuộc (B )

Ký hiệu: (A cup B = {x | left[begin{array}{l} x in A\xin B end{array}right. })

Ví dụ:

Cho hai tập hợp ( A= { 1;3;5 } ) và ( B = { 1;2;3 } ) 

Hãy viết giao và hợp của hai tập hợp trên 

Cách giải:

Ta có:

(A cap B = { 1;3 })

(A cup B = { 1;2;3;5 })

Các dạng bài tập về tập hợp phần tử của tập hợp

Dạng 1: Xác định tập hợp 

Để xác định tập hợp thì đầu tiên ta cần sử dụng các phép toán, các dấu hiệu để tìm ra các phần tử của tập hợp hoặc điểm đặc trưng của các phần tử. Sau đó chúng ta có thể viết tập hợp bằng một trong hai cách đã nêu. 

Ví dụ:

a, Viết tập hợp các số tự nhiên lớn hơn ( 10 ) và nhỏ hơn ( 15 ) 

b, Cho ( A = { x| x< 30 ; x vdots 5 } ) . Viết tập hợp ( A ) dưới dạng liệt kê.

Cách giải:

a, Ta có :

( A = { 11;12;13;14 } ) 

b, Ta có :

( A= { 0;5;10;15;20;25 } ) 

Dạng 2 : Tính số phần tử của tập hợp 

Để tính số phần tử của tập hợp ta sử dụng công thức sau đây:

Số các số hạng từ ( a ) đến ( b ) mà hai số kề nhau cách nhau ( c ) đơn vị là : (frac{b-a}{c}+1)

Nói cách khác, để đếm số các số hạng trong dãy số cách đều, ta lấy số cuối trừ số đầu rồi lấy hiệu tìm được chia cho khoảng cách giữa hai số liên tiếp, sau đó cộng thêm ( 1 ) đơn vị.

Ngoài ra, để tính tổng tất cả các số hạng trong dãy số cách đều nhau ta có công thức: (frac{(a+b)times n}{2})

Trong đó: ( a,b ) là hai số hạng đầu tiên và cuối cùng

( n ) là số các số hạng trong dãy số được tính theo công thức (n= frac{b-a}{c}+1)

Ví dụ:

Cho tập hợp : ( A= {x vdots 3 |10< x < 40 } ) 

a, Viết tập hợp ( A ) dưới dạng liệt kê 

b, Tính số phần tử tập hợp ( A ). Tính tổng của tất cả các phần tử của ( A ) 

c, Tập hợp ( B= { x vdots | 10 <x < 40 } )  có là tập hợp con của ( A ) không ?

Cách giải:

a, Ta có :

( A = { 12;15;18;….;33;36;39 } ) 

b, Hai số liên tiếp chia hết cho ( 3 ) cách nhau ( 3 ) đơn vị

Áp dụng công thức ta có :

Số phần tử của tập hợp ( A ) là : (frac{39-12}{3}+1=10) số

Tổng tất cả các phần tử của ( A ) là: (frac{(39+12).10}{2} = 155)

c, Ta thấy, một số tự nhiên chia hết cho ( 6 ) thì hiển nhiên chia hết cho ( 3 ) . Do đó ( B ) là tập hợp con của ( A ) hay : (B subset A)

Dạng 3: Bài tập liên quan phép toán trên tập hợp 

Để giải bài toán này ta cần nắm vững các phép toán trên tập hợp, biết cách phân biệt các phép giao và hợp.

Ví dụ:

Cho hai tập hợp : ( A = { 0< x < 50 | x vdots 2 } ) và ( B = { 0<x < 50 | x vdots  5 } ) 

a, Xác định tập hợp ( A cup B ) bằng cách liệt kê 

b, Xác định tập hợp (A cap B) bằng cách nêu điểm đặc trưng

Cách giải:

Ta có:

( A = { 2;4;6;8;….;46;48 } ) 

( B = { 5;10;15;…;40;45 } ) 

Vậy (A cup B = { 2;4;5;6;8;10;….;44;45;46;48 })

b, 

Tập hợp (A cap B) là tập hợp chứa những số nguyên dương nhỏ hơn ( 50 ) và chia hết cho cả ( 2 ) và ( 5 ) 

Vì ( 2 ; 5 ) nguyên tố cùng nhau (Rightarrow) một số vừa chia hết cho ( 2 ) vừa chia hết cho ( 5 ) thì chia hết cho ( 10 ) 

Vậy : (A cap B = { 0<x<50 | xvdots 10 })

Dạng 4: Tính số tập hợp con của một tập hợp 

Để tính số lượng tập hợp con của một tập hợp đã cho ta cần sử dụng công thức sau đây:

Cho tập hợp ( A ) có ( n ) phần tử. Khi đó số lượng tập hợp con của ( A ) là ( 2^n ) 

Để tính số phần tử của tập hợp thì ta sử dụng công thức đã nêu ở phần trên

Chú ý: Tập hợp rỗng ( emptyset ) và tập hợp ( A ) cũng đều được coi là tập con của ( A )

Ví dụ:

Cho tập hợp ( A = { 0<x < 20 | x vdots 3 } ) 

a, Hỏi ( A ) có tất cả bao nhiêu tập hợp con ?

b, Có bao nhiêu tập con của ( A ) không chứa phần tử ( 3 ) ?

Cách giải:

a, Ta có :

( A = { 3;6;9;…;18 } ) 

Số phần tử của ( A ) là : (frac{18-3}{3}+1=6) phần tử 

Vậy số tập hợp con của ( A ) là : ( 2^6 =64 ) 

b, Gọi (B = A setminus {1})

Như vậy số tập con của ( A ) không chứa ( 1 ) chính là số tập con của ( B ) 

Vì ( A ) có ( 6 ) phần tử nên (Rightarrow) tập ( B ) có ( 5 ) phần tử

Do đó ta có : Số tập con của ( A ) không chứa ( 1 ) là : ( 2^5 =32 ) 

Dạng 5 : Giải toán tập hợp sử dụng sơ đồ Ven 

Sơ đồ Ven trong toán học chính là những đường cong kín, các đường tròn sử dụng để mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán. Sơ đồ Ven giúp cho ta có cái nhìn trực quan về quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán, từ đó ta sẽ giải được bài toán một cách thuận lợi. 

Ví dụ:

Tất cả học sinh của lớp ( 6A ) đều biết chơi cờ tướng hoặc cờ vua. Có ( 25 ) em biết chơi cờ tướng, ( 30 ) em biết chơi cờ vua và ( 15 ) em biết chơi cả hai. Hỏi sĩ số của lớp ( 6A ) là bao nhiêu?

Cách giải:

Từ các dữ kiện bài toán thì ta có sơ đồ Ven như sau:

Từ hình vẽ ta thấy:

Số học sinh chỉ biết chơi cờ tướng là ( 25-15=10 ) em 

Số học sinh chỉ biết chơi cờ vua là ( 30-15 = 15 ) em 

Như vậy số học sinh lớp ( 6A ) là : ( 10+15+15 = 40 ) em 

Dạng 6: Chứng minh tính chất, quan hệ tập hợp

Để chứng minh tính chất của tập hợp thì ta cần chỉ ra những đặc điểm của từng tập hợp rồi biện luận để chứng minh các tính chất hay quan hệ giữa các tập hợp với nhau.

Ví dụ:

Cho hai tập hợp ( A= { 2n+1 , n in N } ) và ( B = { 4m+3 , m in N } ) 

Chứng minh rằng ( B ) là tập con của ( A ) 

Cách giải:

Giả sử ( x ) là một phần tử của ( B ) 

Ta có : ( x= 4m+3 = 2(2m+1) +1 ) 

Đặt ( n = 2m+1 ) , khi đó ( x = 2n +1 ) 

Như vậy ( x ) cũng thuộc ( A ) 

Vậy mọi phần tử của ( B ) đều thuộc ( A ) hay (B subset A)

Bài viết trên đây của Tip.edu.vn đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết cũng như bài tập về các dạng toán tập hợp và phần tử tập hợp. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề này. Nếu có bất cứ thắc mắc hay câu hỏi liên quan đến chủ đề Tập hợp phần tử của tập hợp, đừng quên để lại ở nhận xét bên dưới để cùng giáo viên của chúng tôi trao đổi thêm nhé. Chúc bạn luôn học tập tốt!.

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm:

• Các phép toán trên tập hợp: Lý thuyết, Ví dụ và Bài tập
• Chuyên đề Các dạng toán về Số tự nhiên và Bài tập minh họa
• Quy luật biến đổi: Tổng hợp Lý thuyết và các dạng Toán cơ bản
• Chuyên đề Các tính chất của phép nhân: Tổng hợp Lý thuyết và Bài tập
• Chuyên đề về phép trừ và phép chia: Các dạng toán cơ bản và Bài tập
• Chuyên đề Phân tích một số ra thừa số nguyên tố: Lý thuyết và Bài tập
• Chủ đề cấp số nhân với số mũ tự nhiên: Định nghĩa, Công thức, Bài tập
• Ước chung và bội chung là gì? Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
• Tính chia hết của một tổng: Các dạng toán cơ bản và bài tập nâng cao
• Một số nguyên âm là gì? Lý thuyết và các dạng toán để làm quen với số nguyên âm
• Chuyên đề Quy tắc dấu ngoặc: Tóm tắt Lý thuyết và Các dạng bài tập