Cách viết phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz

Điểm H được gọi là tiếp điểm.

Mặt phẳng (P) được gọi là tiếp tuyến.

Xem thêm >>>: Viết phương trình mặt phẳng trong không gian

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và hình cầu

Cho mặt cầu (S): ((xa) ^ {2} + (by) ^ {2}) + (cz) ^ {2} = R ^ {2} ) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ( Delta )

Chúng ta có khoảng cách d từ hình cầu (S) đến đường thẳng ( Delta ):

• d> R: Đường thẳng ( Delta ) không cắt mặt cầu (S)
• d = R: Đường ( Delta ) tiếp tuyến với mặt cầu (S)
• d

Xem thêm >>> Viết phương trình đường thẳng trong Oxyz. không gian

Các dạng bài tập về viết phương trình mặt cầu

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm (I (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) ) và bán kính R.

Thay tọa độ I và bán kính R vào phương trình, ta có:

(S): ((x – x_ {0}) ^ {2} + (y – y_ {0}) ^ {2} + (z – z_ {0}) ^ {2} = R ^ {2} )

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (3; -5; -2) và bán kính R = 5

Dung dịch

Thay tọa độ tâm I và bán kính R ta được phương trình mặt cầu (S):

((x – 3) ^ {2} + (y – (-5)) ^ {2} + (z – (-2)) ^ {2} = 5 ^ {2} Leftrightarrow (x – 3) ^ {2} + (y + 5) ^ {2} + (z + 2) ^ {2} = 25 )

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB cho trước

• Tìm trung điểm của AB. Vì AB là đường kính nên I là tâm AB và cũng là tâm mặt cầu.
• Tính độ dài IA = R.
• Tiếp tục như loại vấn đề 1.

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu (S) đường kính AB với A (4; −3; 7) và B (2; 1; 3)

Dung dịch

Gọi tôi là trung điểm của ABthì mặt cầu (S) có tâm tôi và bán kính.

(r = frac {AB} {2} = IA = IB )

Ta có: Vì I là trung điểm của AB nên tôi có tọa độ (I ( frac {4 + 2} {2}; frac {-3 + 1} {2}; frac {7 + 3} {2 }) Rightarrow I (3; -1; 5) )

( Rightarrow vec {IA} = (1; -2; 2) )

( Rightarrow R = left | vec {IA} right | = sqrt {1 ^ {2} + (-2) ^ {2} + 2 ^ {2}} = 3 )

Thay tọa độ tâm I và bán kính R ta được phương trình mặt cầu (S):

((x – 3) ^ {2} + (y – (-1)) ^ {2} + (z – 5) ^ {2} = 3 ^ {2} Leftrightarrow (x – 3) ^ {2 } + (y + 1) ^ {2} + (z – 5) ^ {2} = 9 )

Dạng 3: Viết mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P) cho trước.

• Gọi I (a, b, c) là tâm của mặt cầu (S) trong mặt phẳng (P).
• Chúng ta có một hệ phương trình ([left{begin{matrix} IA = IB & \ IA = IC & \ I epsilon (P) & end{matrix}right.)

• Giải hệ phương trình tìm được a, b, c sau đó thay vào 1 trong 2 phương trình trên để tìm bán kính mặt cầu.

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A (2;0;1), B (1;0;0), C (1;1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0.

Cách giải

Gọi phương trình tổng quát (S): (x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0) với (a^{2} + b^{2} + c^{2} > d) (1)

Mặt cầu (S) có tâm (I (-a;-b;-c))

Từ đó ta có hệ phương trình:

(left{begin{matrix} 4 + 1 + 4a + 2c + d = 0 & \ 1 + 2c + d = 0 & \ 3 + 2a + 2b + 2c + d = 0 & \ -a -b -c -2 = 0 & end{matrix}right.)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} 4a + 2c + d = -5 & \ 2c + d = -1 & \ 2a + 2b + 2c + d = -3 & \ a + b +b c = -2 & end{matrix}right.)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} a = -1 & \ b = 0 & \ c = -1 & \ d = 1 & end{matrix}right.)

Vậy mặt cầu (S) có phương trình: (x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1 = 0)

Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về viết phương trình mặt cầu trong không gian cũng như các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu. Cảm ơn các bạn đã đón đọc. Nếu có góp ý và thắc mắc hãy bình luận bên dưới để chúng mình giải đáp nhé <3

Xem chi tiết qua bài giảng bên dưới:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm:

• Viết phương trình của đường tròn trong Oxyz. không gian
• Các chuyên đề về phương pháp tọa độ trong không gian: Lý thuyết và Bài tập