Bài 46, 47, 48 trang 44, 45 SGK Giải tích 12 Nâng cao

 

Bài 46 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho hàm số: (y = left( {x + 1} right)left( {{x^2} + 2mx + m + 2} right))
a) Tìm các giá trị của (m) để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại (3) điểm phân biệt.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với (m = -1)

Giải

a) Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình:

(left( {x + 1} right)left( {{x^2} + 2mx + m + 2} right) = 0)

(Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 hfill cr
{x^2} + 2mx + m + 2 = 0,,left( 1 right) hfill cr} right.)

đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại (3) điểm phân biệt khi và chỉ khia phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1, tức là:

(eqalign{
& left{ matrix{
Delta ‘ > 0 hfill cr
fleft( { – 1} right) ne 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
{m^2}-m – 2 > 0 hfill cr
– m + 3 ne 0 hfill cr} right.cr& Leftrightarrow left{ matrix{
left[ matrix{
m < – 1 hfill cr
m > 2 hfill cr} right. hfill cr
m ne 3 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow m in left( { – infty ; – 1} right) cup left( {2;3} right) cup left( {3; + infty } right). cr} )

b) Với (m =-1) ta có (y = left( {x + 1} right)left( {{x^2} – 2x + 1} right) = {x^3} – {x^2} – x + 1)

TXĐ: (D =mathbb R)

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty ;,mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty cr
& y’ = 3{x^2} – 2x – 1;cr&y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1 hfill cr
x = – {1 over 3} hfill cr} right.;,,yleft( 1 right) = 0;,,yleft( { – {1 over 3}} right) = {{32} over {27}} cr} )

Bảng biến thiên: 

(y” = 6x – 2;,y” = 0 Leftrightarrow x = {1 over 3};,yleft( {{1 over 3}} right) = {{16} over {27}})

Xét dấu (y”)

 

Điểm uốn (Ileft( {{1 over 3};{{16} over {27}}} right))

Điểm đồ thị đi qua:

(x = 0 Rightarrow y = 1)

(x = 2 Rightarrow y = 3)

(x = -1 Rightarrow y = 0)

Đồ thị: Đồ thị nhận điểm uốn (I) làm tâm đối xứng.

Bài 47 trang 45 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho hàm số: (y = {x^4} – left( {m + 1} right){x^2} + m)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với (m = 2).
b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của (m).

Giải

a) Với (m = 2) ta có: (y = {x^4} – 3{x^2} + 2)
TXĐ: (D =mathbb R)

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to pm infty } y = + infty cr
& y’ = 4{x^3} – 6x;,y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0 hfill cr
x = pm sqrt {{3 over 2}} hfill cr} right.;cr&yleft( 0 right) = 2;,yleft( { pm sqrt {{3 over 2}} } right) = – {1 over 4} cr} )

Bảng biến thiên:

(y” = 12{x^2} – 6;)

(y” = 0 Leftrightarrow x =  pm sqrt {{1 over 2}} ;,yleft( { pm sqrt {{1 over 2}} } right) = {3 over 4})

  

Đồ thị có hai điểm uốn : ({I_1}left( { – sqrt {{1 over 2}} ;{3 over 4}} right)) và ({I_2}left( {sqrt {{1 over 2}} ;{3 over 4}} right))

Điểm đặc biệt 

(y = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
{x^2} = 1 hfill cr
{x^2} = 2 hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{
x = pm 1 hfill cr
x = pm sqrt 2 hfill cr} right.)

Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

b) Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm (left( {{x_o};{y_o}} right)) khi và chỉ khi 

({y_o} = x_o^4 – left( {m + 1} right)x_o^2 + m )

(Leftrightarrow left( {1 – x_o^2} right)m + x_o^4 – x_o^2 – {y_o} = 0,,left( 1 right))

Đồ thị đi qua điểm (left( {{x_o};{y_o}} right)) với moi giá trị của (m) khi và chỉ khi phương trình ((1)) nghiệm đúng với mọi (m), tức là:

(left{ matrix{
1 – x_o^2 = 0 hfill cr
x_o^4 – x_o^2 – {y_o} = 0 hfill cr} right.)

(Leftrightarrow left{ matrix{
{x_o} = 1 hfill cr
{y_o} = 0 hfill cr} right.,,,,text{ hoặc },,,,left{ matrix{
{x_o} = – 1 hfill cr
{y_o} = 0 hfill cr} right.)

Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định ((-1;0)) và ((1;0)).

Bài 48 trang 45 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho hàm số: (y = {x^4} – 2m{x^2} + 2m)
a) Tìm các giá trị của (m) sao cho hàm số có ba cực trị.
b) Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với (m = {1 over 2}). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm uốn.

Giải

a) TXĐ: (D =mathbb R)

(y = 4{x^3} – 4mx = 4xleft( {{x^2} – m} right);)

(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0 hfill cr
{x^2} = m hfill cr} right.)

Nếu (m> 0) thì (y’=0) ( Leftrightarrow x = 0) hoặc (x =  – sqrt m ) hoặc (x = sqrt m )

Hàm số có ba điểm cực trị.
Nếu (m le 0) thì ({x^2} – m ge 0) với mọi (x inmathbb R)

Hàm số có (1) cực tiểu.
Vậy hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi (m>0).
b) Với (m = {1 over 2}) ta có (y = {x^4} – {x^2} + 1)
TXĐ: (D =mathbb R)

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to pm infty } y = + infty cr
& y’ = 4{x^3} – 2x = 2xleft( {2{x^2} – 1} right);cr&y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0;,,,,yleft( 0 right) = 1 hfill cr
x = pm sqrt {{1 over 2}} ;,,yleft( { pm sqrt {{1 over 2}} } right) = {3 over 4} hfill cr} right. cr} )

(y” = 12{x^2} – 2;)

(y” = 0 Leftrightarrow x =  pm {{sqrt 6 } over 6};,,yleft( { pm {{sqrt 6 } over 6}} right) = {{31} over {36}})

Xét dấu y”

Đồ thị có hai điểm uốn: ({I_1}left( { – {{sqrt 6 } over 6};{{31} over {36}}} right)) và ({I_2}left( {{{sqrt 6 } over 6};{{31} over {36}}} right))
Điểm đặc biệt: (x =  pm 1 Rightarrow y = 1)

Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Phương trình tiếp tuyến tại  ({I_1}left( { – {{sqrt 6 } over 6};{{31} over {36}}} right)) là (y – {{31} over {36}} = y’left( { – {{sqrt 6 } over 6}} right)left( {x + {{sqrt 6 } over 6}} right))

( Leftrightarrow y = {4 over {3sqrt 6 }}x + {{13} over {12}})

+ Tương tự phương trình tiếp tuyến tại ({I_2}left( {{{sqrt 6 } over 6};{{31} over {36}}} right)) là: (y =  – {4 over {3sqrt 6 }}x + {{13} over {12}})

Giaibaitap.me