Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

By Mắt Cận Last updated Th12 31, 2023

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn được tip.edu.vn biên soạn. Nhằm giúp các em nắm được cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chia căn. Ngoài ra việc thường xuyên rèn luyện kỹ năng giải bài sẽ giúp các em chuẩn bị tốt cho kì thi quan trọng sắp tới và đặc biệt là chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10. Dưới đây là nội dung chi tiết, các em tham khảo nhé

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu căn

I. Nhắc lại về cách tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn
II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn
III. Bài tập tự luyện về tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

I. Nhắc lại về cách tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

+ Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số

– Khi biến đổi biểu thức thành tổng của một số không âm với hằng số, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức ấy.

– Khi biến đổi biểu thức thành hiệu của một số với một số không âm, ta sẽ tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức ấy.

+ Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

– Theo bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b không âm ta có: $a + b ge 2sqrt {ab}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

+ Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

|a| + |b| ≥ |a + b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≥ 0
|a – b| ≤ |a| + |b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≤ 0

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = frac{1}{{x - sqrt x + 1}}$

Lời giải:

Điều kiện xác định x ≥ 0

Để A đạt giá trị lớn nhất thì $x - sqrt x + 1$ đạt giá trị nhỏ nhất

Có $x - sqrt x + 1 = x - 2.frac{1}{2}.sqrt x + frac{1}{4} - frac{1}{4} + 1 = {left( {sqrt x - frac{1}{2}} right)^2} + frac{3}{4}$

Lại có ${left( {sqrt x - frac{1}{2}} right)^2} ge 0forall x ge 0 Rightarrow {left( {sqrt x - frac{1}{2}} right)^2} + frac{3}{4} ge frac{3}{4}forall x ge 0$

Dấu “=” xảy ra $Leftrightarrow sqrt x = frac{1}{2} Leftrightarrow x = frac{1}{4}$

Min $x - sqrt x + 1 = frac{3}{4} Leftrightarrow x = frac{1}{4}$

Vậy Max $A = frac{4}{3} Leftrightarrow x = frac{1}{4}$

Bài 2: Cho biểu thức $A = left( {frac{1}{{x - sqrt x }} + frac{1}{{sqrt x - 1}}} right):frac{{sqrt x + 1}}{{{{left( {sqrt x - 1} right)}^2}}}$

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = A - 9sqrt x$

Lời giải:

a, $A = left( {frac{1}{{x - sqrt x }} + frac{1}{{sqrt x - 1}}} right):frac{{sqrt x + 1}}{{{{left( {sqrt x - 1} right)}^2}}}$ với x > 0, x ≠ 1

$= left( {frac{1}{{sqrt x left( {sqrt x - 1} right)}} + frac{1}{{sqrt x - 1}}} right):frac{{sqrt x + 1}}{{{{left( {sqrt x - 1} right)}^2}}}$

$= frac{{1 + sqrt x }}{{sqrt x left( {sqrt x - 1} right)}}.frac{{{{left( {sqrt x - 1} right)}^2}}}{{sqrt x + 1}} = frac{{{{left( {sqrt x - 1} right)}^2}}}{{sqrt x left( {sqrt x - 1} right)}} = frac{{sqrt x - 1}}{{sqrt x }}$

b, $P = A - 9sqrt x = frac{{sqrt x - 1}}{{sqrt x }} - 9sqrt x = 1 - left( {frac{1}{{sqrt x }} + 9sqrt x } right)$ với x > 0, x ≠ 1

Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: $frac{1}{{sqrt x }} + 9sqrt x ge 2.sqrt {frac{1}{{sqrt x }}.9sqrt x } = 6$

$Rightarrow - left( {frac{1}{{sqrt x }} + 9sqrt x } right) le - 6 Rightarrow 1 - left( {frac{1}{{sqrt x }} + 9sqrt x } right) le 1 - 6 = - 5 Leftrightarrow P le - 5$

Dấu “=” xảy ra $Leftrightarrow frac{1}{{sqrt x }} = 9sqrt x Leftrightarrow x = frac{1}{9}$ (thỏa mãn)

Vậy max $P = - 5 Leftrightarrow x = frac{1}{9}$

Bài 3: Cho biểu thức $A = left( {frac{{sqrt x }}{{2 - sqrt x }} + frac{{sqrt x }}{{2 + sqrt x }}} right) - frac{{6 + sqrt x }}{{4 - x}}$ với x ≥ 0, x ≠ 4

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải:

a, $A=left({frac{{sqrt x }}{{2 - sqrt x }}+frac{{sqrt x }}{{2 + sqrt x }}}right)-frac{{6 + sqrt x }}{{4 - x}}$ với x ≥ 0, x ≠ 4

$= frac{{sqrt x left( {2 + sqrt x } right) + sqrt x left( {2 - sqrt x } right)}}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}} - frac{{6 + sqrt x }}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}}$

$= frac{{2sqrt x + x + 2sqrt x - x}}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}} - frac{{6 + sqrt x }}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}}$

$= frac{{4sqrt x - 6 - sqrt x }}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}} = frac{{3sqrt x - 6}}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}}$

$= frac{{3.left( {sqrt x - 2} right)}}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}} = frac{{ - 3}}{{2 + sqrt x }}$

b, Có

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0

Vậy min $A=frac{{ - 3}}{2}Leftrightarrow x=0$

III. Bài tập tự luyện về tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Với x > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:

a, $A = frac{1}{{sqrt x + 1}}$	b, $B = frac{{sqrt x + 3}}{{sqrt x + 2}}$	c, $C = frac{{2sqrt x }}{{x + 1}}$
d, $D = frac{{sqrt x }}{{x + 4}}$	e, $E = frac{{2sqrt x }}{{{{left( {sqrt x + 1} right)}^2}}}$

Bài 2: Cho biểu thức $A = left( {frac{1}{{sqrt x - 1}} + frac{{sqrt x }}{{x - 1}}} right):frac{{2sqrt x + 1}}{{x + sqrt x - 2}}$

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 3: Cho biểu thức $A = left( {frac{1}{{sqrt x }} + frac{{sqrt x }}{{sqrt x + 1}}} right):frac{{sqrt x }}{{x + sqrt x }}$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 4: Cho biểu thức $M = frac{{{a^2} + sqrt a }}{{a - sqrt a + 1}} - frac{{2a + sqrt a }}{{sqrt a }} + 1$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn M

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của M

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a, $A = frac{{ - 3}}{{sqrt x + 2}}$ với x ≥ 0	b, $B = frac{{sqrt x - 1}}{{sqrt x + 1}}$ với x ≥ 0
c, $C = frac{{x + 4}}{{sqrt x }}$ với x > 0	d, $D = frac{{x + sqrt x + 1}}{{sqrt x }}$ với x > 0

	Đặt câu hỏi về học tập, giáo dục, giải bài tập của bạn tại chuyên mục Hỏi đáp của tip.edu.vn
Hỏi – Đáp	Truy cập ngay: Hỏi – Đáp học tập

Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 1: Rút gọn biểu thức và bài toán phụ
Rút gọn biểu thức đại số và các bài Toán liên quan
Giải bài tập Toán 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 6: Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

Ngoài ra, Tip.edu.vn đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

Bài tập GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu căn được tip.edu.vn biên soạn với hướng dẫn cụ thể chi tiết các dạng toán tìm min, max của biểu thức chứa dấu căn giúp các em dễ dàng so sánh đánh giá kết quả mình làm, việc ôn tập và rèn luyện bài tập sẽ giúp cho các em chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 hiệu quả hơn. Chúc các em học tốt

——————–

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu căn được tip.edu.vn chia sẻ trên đây. Hy vọng với tài liệu này sẽ giúp ích cho các em có thêm tài liệu tham khảo, rèn luyện kỹ năng giải bài tập từ đó chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 sắp tới. Chúc các em học tập tốt, dưới đây là một số dạng Toán ôn thi vào lớp 10 các em tham khảo nhé

Bộ đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2020
Chuyên đề Phương trình bậc hai chứa tham số Toán 9 (Có đáp án)
Chuyên đề Tứ giác nội tiếp Toán 9 (Có đáp án)
Tổng hợp các dạng Toán ôn thi vào 10 – Phần 1: Đại số

hay tham khảo thêm các Bộ đề thi thử vào lớp 10 qua các năm được tip.edu.vn tổng hợp, như:

40 Đề thi Toán vào lớp 10 chọn lọc
21 Đề thi vào lớp 10 môn Toán
Bộ đề thi vào lớp 10 THPT môn Toán
Công thức Toán lớp 9
Đề cương ôn tập môn Vật lý lớp 9
50 Bài tập Hình học 9 ôn thi vào lớp 10
Đề cương ôn tập học kì 2 lớp 9 môn Toán
Đề thi học kì 2 Toán 9 Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2020 – 2021
Đề thi học kì 2 Toán 9 Sở GD&ĐT Đô Lương năm 2020 – 2021
Đề thi học kì 2 Toán 9 Phòng GD&ĐT Quận 3 năm 2020 – 2021
Đề thi học kì 2 Toán 9 Phòng GD&ĐT Quận 8 năm 2020 – 2021
Ma trận đề thi học kì 2 Toán 9 năm 2021 – Có đáp án (đề 1)
Đề thi học kì 2 Toán 9 Phòng GD&ĐT Quận Hoàn Kiếm năm 2020 – 2021
Đề thi học kì 2 Toán 9 Sở GD&ĐT Bắc Giang năm 2020 – 2021
Đề thi học kì 2 Toán 9 Phòng GD&ĐT Thành phố Vinh năm 2020 – 2021
Đề thi học kì 2 Toán 9 Sở GD&ĐT Đồng Nai năm 2020 – 2021
Đề thi học kì 2 Toán 9 Phòng GD&ĐT Thành phố Huế năm 2020 – 2021
Đề thi học kì 2 Toán 9 Sở GD&ĐT Bến Tre năm 2020 – 2021
Đề thi học kì 2 Toán 9 Trường THCS – THPT Hồng Vân, Thừa Thiên Huế năm 2020 – 2021

……………………………………………………………..

Ngoài Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học học kì 1 lớp 9, đề thi học học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi lớp 9 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

▪️ TIP.EDU.VN chia sẻ tài liệu môn Toán các lớp 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10, 11, 12 và ôn thi THPT Quốc gia, phục vụ tốt nhất cho các em học sinh, giáo viên và phụ huynh học sinh trong quá trình học tập – giảng dạy.
▪️ TIP.EDU.VN có trách nhiệm cung cấp đến bạn đọc những tài liệu và bài viết tốt nhất, cập nhật thường xuyên, kiểm định chất lượng nội dung kỹ càng trước khi đăng tải.
▪️ Bạn đọc không được sử dụng những tài nguyên trang web với mục đích trục lợi.
▪️ Tất cả các bài viết trên website này đều do chúng tôi biên soạn và tổng hợp. Hãy ghi nguồn website https://tip.edu.vn/ khi copy bài viết.

Rate this post