Giải bài 1.46, 1.47, 1.48 trang 36 Sách bài tập Giải tích 12

Bài 1.46 trang 36 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: (y = {{2x + 1} over {2x – 1}})

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C)  với đường thẳng y = x + 2.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011).

Trả lời:

a)

b) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (y = {{2x + 1} over {2x – 1}}) và y = x + 2 là nghiệm của phương trình:

   ({{2x + 1} over {2x – 1}} = x + 2 Leftrightarrow  {{2x + 1} over {2x – 1}} – x – 2 = 0)

(Leftrightarrow A(1;3),B( – {3 over 2};{1 over 2}))

(eqalign{
& Leftrightarrow {{ – 2{x^2} – x + 3} over {2x – 1}} = 0 cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
– 2{x^2} – x + 3 = 0 hfill cr
x ne {1 over 2} hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x = 1 hfill cr
x = – {3 over 2} hfill cr} right. cr} ) 

Với x = 1 thì y = 1 + 2 = 3 ; (x =  – {3 over 2}) thì (y =  – {3 over 2} + 2 = {1 over 2})

Vậy tọa độ hai giao điểm là (A(1;3),,,B( – {3 over 2};{1 over 2}))

Bài 1.47 trang 36 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: (y = {{2x + 1} over {x – 2}})

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 5.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009)

Trả lời:

a) 

b) (y’ = {{ – 5} over {{{(x – 2)}^2}}} =  – 5 Leftrightarrow  {(x – 2)^2} = 1)

Ta có:  y(1) = -3 , y(3) = 7

Từ đó ta có hai phương trình tiếp tuyến phải tìm là:

              ( y + 3 = -5(x – 1)  ⇔ y = -5x + 2)

              ( y – 7 = -5(x – 3)  ⇔ y = -5x + 22)

Bài 1.48 trang 36 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số:  (y = {{4 – x} over {2x + 3m}})

a) Xét tính đơn điệu của hàm số.

b) Chứng minh rằng với mọi m, tiệm cận ngang của đồ thị (C_m) của hàm số đã cho luôn đi qua điểm (B( – {7 over 4}; – {1 over 2})) .

c) Biện luận theo m số giao điểm của (C_m) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

d) Vẽ đồ thị của hàm số: (y = |{{4 – x} over {2x + 3}}|)

Hướng dẫn làm bài:

Xét hàm số (y = {{4 – x} over {2x + 3m}})

a) TXĐ: (Rbackslash {rm{{ }} – {{3m} over 2}{rm{} }})

      (y’ = {{ – 2x – 3m – 2(4 – x)} over {{{(2x + 3m)}^2}}} = {{ – 3m – 8} over {{{(2x + 3m)}^2}}})   

+) Nếu (m <  – {8 over 3},y’ > 0)  suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (( – infty ; – {{3m} over 2}),( – {{3m} over 2}; + infty ))

+) Nếu (m >  – {8 over 3},y’ < 0) suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (( – infty ; – {{3m} over 2}),( – {{3m} over 2}; + infty ))

+) Nếu (m =  – {8 over 3})  thì  (y =  – {1 over 2}) khi (x ne 4)

b) Ta có: (mathop {lim }limits_{x to  pm infty } {{4 – x} over {2x + 3m}} = mathop {lim }limits_{x to  pm infty } {{{4 over x} – 1} over {2 + {{3m} over x}}} =  – {1 over 2})

nên với mọi m, đường thẳng  (y =  – {1 over 2}) là tiệm cận ngang và đi qua (B( – {7 over 4}; – {1 over 2})) .

c) Số giao điểm của (C_m) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là số nghiệm của phương trình ({{4 – x} over {2x + 3m}} = x)

Ta có: ({{4 – x} over {2x + 3m}} = x Leftrightarrow  4 – x = 2{x^2} + 3mx) với (x ne  – {{3m} over 2})

( Leftrightarrow  2{x^2} + (3m + 1)x – 4 = 0) với (x ne  – {{3m} over 2})

+) Thay (x =  – {{3m} over 2}) vào (*) , ta có:

(eqalign{
& 2.{( – {{3m} over 2})^2} – {{9{m^2}} over 2} – {{3m} over 2} – 4cr&= {{9{m^2}} over 2} – {{9{m^2}} over 2} – {{3m} over 2} – 4 ne 0 cr & = > m ne – {8 over 3} cr} ) 

Như vậy, để (x =  – {{3m} over 2}) không là nghiệm của phương trình  (*), ta phải có (m ne  – {8 over 3}) .

Ta có: (Delta  = {(3m + 1)^2} + 32 > 0,forall m) . Từ đó suy ra với (m ne  – {8 over 3}) đường thẳng y = x luôn cắt (C_m) tại hai điểm phân biệt.

d) Ta có: 

(eqalign{
& y = |{{4 – x} over {2x + 3}}| cr
& = left{ matrix{
{{4 – x} over {2x + 3}},{{4 – x} over {2x + 3}} ge 0 hfill cr
– {{4 – x} over {2x + 3}},{{4 – x} over {2x + 3}} < 0 hfill cr} right. cr} )

Trước hết, ta vẽ đồ thị (C) của hàm số (y = {{4 – x} over {2x + 3}}) . TXĐ: (D = Rbackslash {rm{{ }} – {3 over 2}{rm{} }}) .

Vì (y’ = {{ – 11} over {{{(2x + 3)}^2}}} < 0)  với mọi  nên hàm số nghịch biến trên các khoảng (( – infty ; – {3 over 2});( – {3 over 2}; + infty )).

Bảng biến thiên:

Tiệm cận đứng (x =  – {3 over 2})

Tiệm cận ngang (y =  – {1 over 2})

Đồ thị (C) đi qua các điểm (left( { – 2;{rm{ }} – 6} right),{rm{ }}left( { – 1;{rm{ }}5} right),(0;{4 over 3}),(4;0))

Để vẽ đồ thị (C’) của hàm số  , ta giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Giaibaitap.me