Chuyên đề Tính chất đường phân giác trong tam giác CHI TIẾT!

Đường phân giác của một góc là bài học quan trọng nằm trong chương trình toán 8 THCS. Vậy tia phân giác là gì? Tính chất đường phân giác trong tam giác như nào?… Có thể thấy, bên cạnh đường trung tuyến và trung trực thì đường phân giác cũng có những tính chất thú vị, đặc biệt là trong tam giác vuông. Vậy tính chất tia phân giác của một góc có gì đặc biệt? Đặc điểm của đường phân giác trong tam giác vuông như nào?… Cùng theo dõi bài viết ngay dưới đây của Tip.edu.vn sẽ giúp bạn giải đáp những thắc mắc liên quan đến chủ đề tính chất đường phân giác, cùng tìm hiểu nhé!.

Tìm hiểu về Góc trong toán học

Trước khi tìm hiểu tính chất đường phân giác của tam giác, ta cần nắm rõ về những khái niệm chung nhất về góc, số đo góc, hai góc bù nhau, phụ nhau, hai góc kề bù….

Định nghĩa góc là gì?

• Theo định nghĩa thì góc trong hình học chính là hình gồm hai tia chung gốc. Gốc chung của hai tia gọi là đỉnh của góc. Hai tia chính là hai cạnh của góc. 
• Về bản chất thì góc chính là những gì nằm giữa hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm nhất định. Hai cạnh ở đây chính là hai tia. 
• Kí hiệu: ( widehat{xOy}; widehat{AOB}… ) (viết đỉnh ở giữa) hoặc ( widehat{O} ) 

Ví dụ: 

• Những hình ảnh thực tế về góc: Góc tạo thành bởi kim giờ và kim phút của đồng hồ, hình mái nhà, hai cạnh của thước xếp… 
• Một số hình ảnh về góc bẹt cụ thể như: Quyển vở mở ra, góc tạo thành bởi kim giờ và kim phút lúc 6 giờ…

Điểm nằm trong góc

Khi hai tia ( Ox ) và ( Oy ) không đối nhau, điểm ( M ) gọi là điểm nằm trong góc ( widehat{xOy} ) nếu tia ( OM ) nằm giữa hai tia ( Ox ) và ( Oy ) . Khi đó tia ( OM ) nằm trong góc ( widehat{xOy} ).

Nếu tia ( OM ) nằm trong góc ( widehat{xOy} ) thì mọi điểm thuộc tia ( OM ) đều nằm trong góc ( widehat{xOy} ).

Định nghĩa góc bẹt

Góc bẹt theo định nghĩa chính là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau. 

Ví dụ: 

Trong hình trên thì góc  ( widehat{xOy} ) do hai tia ( Ox ) và ( Oy ) là hai tia đối nhau.

Số đo góc là gì? 

Mỗi góc sẽ có một số đo xác định, lớn hơn ( 0^{circ} ) và không vượt quá ( 180^{circ} ) . Số đo của góc bẹt là ( 180^{circ} ) 

Cách tính số đo góc

Ta có ( widehat{xOy}=180^{circ} ) 

Độ được chia thành các đơn vị thấp hơn là phút và giây, cụ thể: 

• 1 Độ = 60 phút
• 1 Phút = 60 giây

Nhận xét: Người ta thường dùng thước đo góc để đo góc. Góc thường được quy ước đo theo chiều của kim đồng hồ.

Trong hệ đo lường quốc tế, góc được đo bằng radian. Một góc bẹt bằng pi radian.

Cách so sánh hai góc

• Góc ( widehat{A} ) và ( widehat{B} ) được gọi là bằng nhau nếu như số đo của chúng bằng nhau. Kí hiệu ( widehat{A}=widehat{B} ) 

• Góc ( widehat{A} ) có số đo lớn hơn số đo của góc ( widehat{B} ) thì góc ( widehat{A} ) lớn hơn góc ( widehat{B} ) .Kí hiệu ( widehat{A}>widehat{B} ) 

Hai góc đối đỉnh là gì?

Khái niệm hai góc đối đỉnh: Hai góc đối đỉnh theo định nghĩa chính llà hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

Tính chất: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau

Ví dụ: 

Ta có góc ( widehat{O_{1}} ) đối đỉnh với góc ( widehat{O_{3}} ) ( Rightarrow widehat{O_{1}}=widehat{O_{3}} )

Ta có góc ( widehat{O_{2}} ) đối đỉnh với góc ( widehat{O_{4}} ) ( Rightarrow widehat{O_{2}}=widehat{O_{4}} )

Các loại góc trong toán học

Góc vuông là gì?

Định nghĩa góc vuông: Trong toán học, góc vuông được định nghĩa là góc có số đo bằng ( 90^{circ} ) . Số đo của góc vuông còn được kí hiệu là 1v.

Ta có góc  ( widehat{xOy} ) là góc vuông.

Góc nhọn là gì?

Góc nhọn theo định nghĩa chính là góc có số đo lớn hơn ( 0^{circ} ) và nhỏ hơn ( 90^{circ} ) .

Ta có góc  ( widehat{xOy} ) là góc nhọn.

Góc tù là gì?

Góc tù theo định nghĩa chính là góc có số đo lớn hơn ( 90^{circ} ) và nhỏ hơn ( 180^{circ} ) .

Ta có góc  ( widehat{xOy} ) là góc tù.

Góc bẹt là gì?

Góc bẹt theo định nghĩa chính là góc có số đo bằng ( 180^{circ} ) . Hai tia đối nhau tạo thành một góc bẹt. Hai góc bù nhau sẽ có tổng số đo bằng một góc bẹt. Hai góc kề bù là hai góc vừa kề nhau lại vừa bù nhau và có số đo bằng 1 góc bẹt.

Mối quan hệ giữa hai góc

Tính chất cộng số đo hai góc

• Nếu tia ( Oy ) nằm giữa hai tia ( Ox ) và ( Oz ) thì ( widehat{xOy} + widehat{yOz} = widehat{xOz} ) 
• Ngược lại nếu ( widehat{xOy} + widehat{yOz} = widehat{xOz} ) thì tia ( Oy ) nằm giữa hai tia ( Ox ) và ( Oz ). 

Lưu ý:

1. Ta có thể dùng mệnh đề tương đương sau với tính chất trên:

Nếu ( widehat{xOy} + widehat{yOz} neq  widehat{xOz} ) thì tia ( Oy ) không nằm giữa hai tia ( Ox ) và ( Oz )

      2. Tính chất cộng liên tiếp: Nếu tia ( Oy ) nằm giữa hai tia ( Ox ) và ( Ot ) ; tia ( Oz ) nằm giữa hai tia ( Oy ) và ( Ot ) thì:  ( widehat{xOy} + widehat{yOz} + widehat{tOz}= widehat{xOt} ) 

Hai góc kề nhau, phụ nhau, bù nhau

• Hai góc kề nhau theo định nghĩa chính là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa cạnh chung.
• Hai góc phụ nhau theo định nghĩa chính là hai góc có tổng số đo bằng ( 90^{circ} ) 
• Hai góc bù nhau theo định nghĩa chính là hai góc có tổng số đo bằng ( 180^{circ} ) 

Ví dụ: 

Hai góc ( widehat{xOy} ) và ( widehat{yOz} ) là hai góc kề nhau

Tiếp theo chúng ta hãy tìm hiểu về đường phân giác của một góc là gì?

Tính chất: Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với một góc thứ 3 thì sẽ bằng nhau.

Định nghĩa hai góc kề bù là gì?

Hai góc kề bù là hai góc vừa kề nhau vừa bù nhau. Hai góc kề bù có tổng số đo bằng ( 180^{circ} ) 

 Ví dụ: 

Ta có ( Oz ) và ( Ox ) là hai tia đối nhau. Ta có hai góc ( widehat{xOy} ) và ( widehat{yOz} ) là hai góc kề bù.

Định nghĩa đường phân giác là gì?

Khái niệm đường phân giác: Đường phân giác của một góc sẽ chia góc đó thành hai góc có độ lớn bằng nhau. Trong toán học thì bất kỳ góc nào cũng chỉ có duy nhất một đường phân giác. 

Ví dụ:

Góc ( widehat{BAC} ) có đường thẳng ( AD ) sao cho góc ( widehat{BAD}= widehat{DAC} ) nên theo định nghĩa đường phân giác thì đường thẳng ( AD ) là đường phân giác của góc ( widehat{BAC} )

Tính chất tia phân giác của một góc

Cùng tìm hiểu về tính chất tia phân giác của một góc dưới đây:

Định lí 1 (định lí thuận): Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì sẽ cách đều hai cạnh của góc đó.

Ví dụ: ( Oz ) là tia phân giác của góc ( widehat{xOy} ). ( M in Oz ) . ( MA bot Ox; MB bot Oy ) 

( Rightarrow MA=MB ) 

Định lí 2 (định lí đảo): Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

Ví dụ: 

( M ) nằm trong góc ( widehat{xOy} )

Cách vẽ tia phân giác bằng compa

Dụng cụ:

Cách vẽ tia phân giác bằng thước đo góc

Cách vẽ tia phân giác bằng compa

Cách vẽ đường phân giác của một góc, ta  dùng thước thẳng và compa, đầu tiên vẽ một đường tròn có tâm là đỉnh của góc. Đường tròn cắt hai đường thẳng tạo thành góc tại hai điểm. Tiếp tục ta dùng compa, lấy mỗi điểm này làm tâm rồi vẽ hai đường tròn có cùng bán kính. Các điểm giao cắt nhau của hai đường tròn (hai điểm) sẽ tạo thành đường phân giác của góc.

Ví dụ: Dựng đường phân giác của góc ( widehat{K} ) 

• Bước 1: Vẽ một đường tròn tâm ( K ) bán kính bất kì, cắt hai tia của góc lần lượt ở ( I ) và ( J ) 
• Bước 2: Dựng hai đường tròn có cùng bán kính tâm ( I ) và ( J ) cắt nhau ở ( L ) 
• Bước 3: Tia ( KL ) chính là đường phân giác cần tìm.

Cách vẽ tia phân giác bằng thước hai lề

Cách vẽ tia phân giác bằng thước eke

Dưới đây là cách vẽ tia phân giác bằng thước eke và thước có chia khoảng.

Cách vẽ tia phân giác bằng thước có chia khoảng

Dùng thước và compa để chia đường tròn

Dùng thước và compa để chia đường tròn thành 5 phần 

Đây là bài toán dựng ngũ giác đều. Có rất nhiều cách dựng chỉ dùng compa và thước kẻ. Sau đây là một cách tôi cho là hay và dễ nhớ nhất:

Giả sử muốn chia đường tròn tâm ( O )  thành 5 phần bằng nhau.

• Ta lấy một đường kính ( AB )  bất kỳ.
• Qua tâm ( O )  dựng đường vuông góc với ( AB )  cắt đường tròn tại ( C ) .
• Dựng ( M )  là điểm giữa ( OC ) 
• Lấy ( M ) làm tâm, dựng đường tròn đi qua ( A )  và ( B ) . Đường tròn này cắt đường thẳng ( CO ) tại điểm D bên trong đường tròn (  (O) ) .
• Lấy ( B )  làm tâm, dựng đường tròn qua ( D ) . Đường tròn này cắt đường tròn (  (O) ) tại ( E ) và ( F ) .
• Lấy ( E )  làm tâm, dựng đường tròn qua ( B ) . Đường tròn này cắt đường tròn ( (O) ) tại ( G ) khác ( B ) .
• Lấy ( F ) làm tâm, dựng đường tròn qua ( B ) . Đường tròn này cắt đường tròn (  (O) ) tại ( H ) khác ( B ) .

( B , E, G, H ) và ( F )  là 5 đỉnh của ngũ giác đều và chia đường tròn ( (O) ) thành 5 phần bằng nhau. Góc ( widehat{EOB}=72^{circ} ) .

Cách chia đường tròn thành 7 phần bằng nhau

Giả sử phải chia vòng tròn ra làm 7 phần bằng nhau ta làm như sau:

• Vẽ ( AB )  vuông góc với ( CD ) 
• Chia đường kính ( CD )  ra làm 7 phần bằng nhau bằng các điểm 1′, 2′, 3′, 4′ …
• Tâm ( D ) , bán kính ( DC )  vẽ cung tròn cắt ( AB ) kéo dài tại ( E ) và ( F ) .
• Từ ( E )  và ( F ) kẻ các tia tới các điểm 2′, 4′, 6′(Hoặc các điểm lẻ 1′, 3′, 5′ ta sẽ nhận được các điểm chia).

Cách viết phương trình đường phân giác của một góc

Để viết phương trình đường phân giác của góc thì chúng ta cần hiểu được khái niệm đường phân giác cũng như các tính chất của đường phân giác. Sau khi nắm rõ về đường phân giác rồi thì cần sử dụng linh hoạt các tính chất đó vào các bài toán cụ thể. Bên cạnh đó, ta cũng cần sử dụng đến công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng trong mặt phẳng. Có một số cách viết phương trình đường phân giác của góc nhưng trong bài viết này sẽ gợi ý cho bạn một cách điển hình. 

Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Đầu tiên ta cần biết công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng trên hệ trục toạ độ ( Oxy ) .

Cho đường thẳng ( d ) có phương trình ( Ax + By + C = 0 ) và một điểm ( M(x_{0};y_{0}) ) . Khi đó khoảng cách từ điểm ( M ) đến đường thẳng ( d ) là:

( d_{(M,d)} = frac{left | A.x_{0}+B.y_{0} + Cright |}{sqrt{A^{2}+B^{2}}} ) 

Cách viết phương trình đường phân giác của góc trong tam giác

Giả sử cho tam giác ( Delta ABC ) và yêu cầu viết phương trình đường phân giác ( AD ) của góc ( widehat{A} ) 

• Bước 1: Gọi ( H (x;y) ) là điểm bất kì thuộc đường phân giác ( AD ) 
• Bước 2: Tính khoảng cách ( d_{1} ) và ( d_{2} ) từ ( H ) tới đường thẳng ( AB; AC ) 
• Bước 3: Giải phương trình ( d_{1}=d_{2} ) . Tới đây các bạn có được hai đường phân giác trong và phân giác ngoài. Nếu bài toán hỏi đường phân giác nào thì biện luận lấy đường phân giác đó

Để tính được khoảng cách từ ( H )  tới hai cạnh của góc thì các bạn cần phải viết được phương trình đường thẳng ( AB ) và ( AC ) . Điều này thì bài toán có thể cho trước phương trình hai cạnh hoặc có thể cho tọa độ 3 điểm ( A; B; C ) . Cũng có những bài toán thì chúng ta cần đi tìm những yếu tố này trước rồi mới tính được.

Áp dụng viết phương trình đường phân giác cho trường hợp cụ thể

Bài tập áp dụng: Cho tam giác ( Delta ABC ) có ( A(-6,-3);B(-4,3);C(9,2) ) . Viết phương trình đường phân giác trong của góc ( widehat{A} ) của tam giác ( Delta ABC ).

Hướng dẫn giải:

Theo như các bước giải trình bày ở trên thì bài toán này chúng ta đã biết tọa độ 3 điểm. Để viết được phương trình đường phân giác trong góc ( widehat{A} ) chúng ta phải đi viết phương trình đường thẳng ( AB; AC ) .

Gọi ( d ) là đường phân giác trong góc ( widehat{A} ) và ( H(x;y) ) là điểm bất kì thuộc đường thẳng ( d ) .

Viết phương trình đường thẳng ( AB ) :

Ta có: ( vec{AB} (2;6) Rightarrow vec{u}_{AB}(1;3) ) . Vậy (  vec{n}_{AB}(3;-1) ) là vecto pháp tuyến của đường thẳng ( AB ) .

Phương trình đường thẳng ( AB  ) đi qua ( A(-6;-3) ) có phương trình là: 

( 3(x+6)-1(y+3)=0 Leftrightarrow 3x-y+15=0 ) 

Viết phương trình đường thẳng ( AC ) :

Ta có: ( vec{AC} (15;5) Rightarrow vec{u}_{AC}(3;1) ) . Vậy (  vec{n}_{AC}(1;-3) ) là vecto pháp tuyến của đường thẳng ( AC ) .

Phương trình đường thẳng ( AC ) đi qua ( A(-6;-3) ) có phương trình là: 

( 1(x+6)-3(y+3)=0Leftrightarrow x-3y-3=0 ) 

Khoảng cách từ ( H  ) tới đường thẳng ( AB ) và ( AC ) 

( d_{(H,AB)} = frac{left | 3x-y+15right |}{sqrt{9+1}}= frac{left | 3x-y+15right |}{sqrt{10}}) 

( d_{(H,AC)} = frac{left |x-3y-3right |}{sqrt{9+1}}= frac{left | x-3y-3right |}{sqrt{10}}) 

Vì ( H ) là điểm thuộc đường phân giác góc ( widehat{A} ) nên ta có: 

( d_{(H,AB)} = d_{(H,AC)}) 

( Leftrightarrow frac{left | 3x-y+15right |}{sqrt{10}}=frac{left | x-3y-3right |}{sqrt{10}} ) 

( Leftrightarrow left | 3x-y+15right |=left | x-3y-3right | ) 

( Leftrightarrow $left[begin{matrix}3x-y+15=x-3y-3\ 3x-y+15=-x+3y+3 end{matrix}right.$ ) 

( Leftrightarrow $left[begin{matrix}x+y+9=0\ x-y+3=0 end{matrix}right.$ ) 

Xác định đường phân giác trong, phân giác ngoài

Tới đây ta được hai phương trình đường phân giác của góc ( widehat{A} ) . Tuy nhiên ta phải chọn ra một phương trình là đường phân giác trong, một phương trình là đường phân giác ngoài của góc ( widehat{A} ). Để chọn ra được các bạn làm như sau:

Lấy tọa độ điểm ( B )  và điểm ( C ) thay vào một trong hai phương trình, sau đó xét tích của chúng. Nếu tích dương thì đó là đường phân giác ngoài, nếu tích âm thì đó là đường phân giác trong.

Thay tọa độ của điểm ( B(-4;3) )  và ( C(9;2) ) vào phương trình ( x+y+9=0 )  và xét tích của chúng, ta có:  ( (-4+3+9).(9+2+9)=8.20=160>0 ) 

Do đó ( x+y+9=0 )  là phương trình đường phân giác ngoài.

Vậy phương trình đường phân giác trong của góc ( widehat{A} ) là: ( x-y+3=0 ) 

Trên đây chỉ là một phương pháp, phương pháp này hay được sử dụng. Ngoài phương pháp này còn có một số cách khác nữa. 

Luyện tập viết phương trình đường phân giác trong tam giác

Bài 1: Cho tam giác ( Delta ABC ) có ( A(2;3);B(1;1);C(6;5) ) . Viết phương trình đường phân giác trong của góc ( widehat{A} ) của tam giác ( Delta ABC ).

Bài 2: Cho tam giác ( Delta ABC ) có ( A(-6,-3);B(-4,3);C(9,2) ) . Tìm ( D )  thuộc đường phân giác trong ( d ) của góc ( widehat{A} ) để ( ABDC ) là hình thang.

Lời giải bài 2: Như trên ví dụ ta có ( x-3y+3=0 ) là phương trình đường phân giác trong của góc ( widehat{A} )

• Xét trường hợp hình thang ( ABDC ) có ( ACparallel BD ) 

Vì có ( ACparallel BD ) nên ta lấy véc-tơ pháp tuyến của ( AC ) : ( vec{n}_{AC} (-5;15) ) làm véc-tơ pháp tuyến của ( BD ) 

Có véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng ( BD ) và toạ độ điểm ( B(-4;3) ) ta viết được phương trình đoạn ( BD ) :

( BD: x-3y+13=0 ) 

Mà ( D )  thuộc đường phân giác trong của góc ( widehat{A} ) và lại thuộc đường thẳng đi qua ( B )  nên tọa độ của ( D ) là nghiệm của hệ phương trình:

( $left{begin{matrix}x-y+3=0\ x-3y+13=0 end{matrix}right.$ ) 

( Leftrightarrow $left{begin{matrix}x=2\y=5 end{matrix}right.$ ) 

Suy ra toạ độ của ( D ) là ( (2;5) ) 

• Xét trường hợp hình thang ( ADBC ) có ( ABparallel CD ) 

Làm tương tự ta có toạ độ ( D ) là ( (14;17) ) 

Vậy để ( ACBD ) là hình thang thì ( D ) phải có toạ độ là ( (2;5) ) hoặc ( (14;17) ) 

Tính chất đường phân giác của hai góc kề bù

Tính chất: Trong toán học hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau

Ví dụ: 

Ta có ( Oz ) và ( Ox ) là hai tia đối nhau. Hai góc ( widehat{xOy} ) và ( widehat{yOz} ) là hai góc kề bù.

Gọi ( Om ) và ( On ) lần lượt là hai tia phân giác của hai góc ( widehat{xOy} ) và ( widehat{yOz} ). 

Theo tính chất ta có ( Om bot On ) 

Chứng minh tính chất đường phân giác của hai góc kề bù:

Ta có:

( widehat{mOy}=frac{1}{2}widehat{xOy} (gt) ) 

( widehat{yOn}=frac{1}{2}widehat{yOz} (gt) ) 

Vì tia ( Oy ) nằm giữa hai tia ( Om; On ) cho nên:

( widehat{mOn}=widehat{mOy}+widehat{yOn} ) 

( =frac{1}{2}widehat{xOy}+widehat{yOz}=frac{1}{2}(widehat{xOy}+widehat{yOz}) ) 

( =frac{1}{2}.180^{circ}=90^{circ} ) 

Suy ra ( Om bot On ) 

Tính chất phân giác ngoài trong toán học

Định nghĩa phân giác ngoài của tam giác

Ví dụ: Trong tam giác ( Delta ABC ) , kéo dài cạnh ( AB ) về phía ( A ) lấy một điểm ( D ) bất kì. Ta có hai góc kề bù nhau là góc ( widehat{BAC} ) và góc ( widehat{DAC} ) . Kẻ phân giác của góc ( widehat{DAC} ) ta đc phân giác đó là phân giác ngoài của tam giác tương ứng với đỉnh ( A ) . Tương tự với hai góc còn lại ta được phân giác ngoài của tam giác ứng với hai đỉnh còn lại.

Giả sử phân giác ngoài tương ứng với đỉnh ( A ) của tam giác ( Delta ABC ) cắt đường thẳng ( BC ) ở điểm ( E ) . Ta có ( AE ) là phân giác ngoài của tam giác ( Delta ABC ) tương ứng với đỉnh ( A ).

Lấy ( AF ) là phân giác của góc ( widehat{BAC} ) , ( F in BC ) , ta còn gọi ( AF ) là đường phân giác trong của tam giác ( Delta ABC ) .

Tính chất phân giác ngoài của tam giác

Tính chất: Hai đường phân giác ngoài và phân giác trong của một tam giác tương ứng với cùng một đỉnh thì vuông góc với nhau.

Ví dụ: Trong tam giác ( Delta ABC ) có ( AE ) và ( AF ) lần lượt là phân giác ngoài và phân giác trong ứng với đỉnh ( A ) với ( E; F in BC ) . Theo tính chất ta có ( AE in AF )

Chứng minh: Sử dụng tính chất hai đường phân giác của hai góc kề bù với ( widehat{BAC} ) và ( widehat{BAD} ) là hai góc kề bù. 

Các dạng toán về tia phân giác của góc

Dạng 1: Nhận biết tia phân giác của một góc

Phương pháp giải:

Vận dụng định nghĩa tia phân giác của một góc. Để chứng tỏ tia ( Oz )  la tia phân giác của góc ( widehat{xOy} ) phải có đủ hai điều kiện :

• Tia ( Oz ) nằm giữa hai tia ( Ox ) và ( Oy ) (hoặc ( widehat{xOy} = widehat{xOz} + widehat{yOz} ) ).
• ( widehat{xOz} = widehat{yOz} ) 

Ví dụ 1. (Bài 30 tr. 87 SGK)

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia ( Ox ) , vẽ tia ( Ot ) , ( Oy ) sao cho ( widehat{xOt} = 25^{circ} ) , ( widehat{xOy} = 50^{circ} ) .

a) Tia ( Ot ) có nằm giữa hai tia ( Ox ) và ( Oy ) không?

b) So sánh góc ( widehat{tOy}  ) và góc ( widehat{xOt} ) .

c) Tia ( Ot ) có là tia phân giác của góc ( widehat{xOy}  ) không ? Vì sao ?

Cách giải:

a) Tia ( Ot ) nằm giữa hai tia ( Ox ) và ( Oy ) (1) vì các tia ( Ot, Oy )  cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia ( Ox ) và ( widehat{xOt} < widehat{xOy} ) 

b) Tia ( Ot ) nằm giữa hai tia ( Ox; Oy )  nên : ( widehat{xOt} + widehat{tOy} = widehat{xOy} , do đó [latex] 25^{circ}+ widehat{tOy} = 50^{circ} )   suy ra ( widehat{tOy} = 50^{circ} – 25^{circ} = 25^{circ} ) 

Vậy ( widehat{tOy} = widehat{xOt} )     (2).

c) Từ (1) và (2) suy ra tia ( Ot ) là tia phân giác của ( widehat{xOy} ) .

Dạng 2: Tính số đo góc trong tam giác

Phương pháp giải

Dựa và nhận xét : số đo của góc tạo bởi tia phân giác với mỗi cạnh của góc bằng nửa số đo của góc đó.

Ví dụ 1: (Bài 36 tr. 87 SGK)

Cho hai tia ( Oy; Oz )  cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia ( Ox ) . Biết ( widehat{xOy}=30^{circ} )  , ( widehat{xOz}=80^{circ} ) 

Vẽ tia phân giác ( Om ) của ( widehat{xOy} ) . Vẽ tia phân giác ( On ) của ( widehat{yOz} ) . Tính ( widehat{mOn} ) .

Cách giải:

Hai tia ( Oy, Oz ) cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia ( Ox )  mà ( widehat{xOy}<widehat{xOz} ) (( 30^{circ}<80^{circ} ) ) nên tia ( Oy ) nằm giữa hai tia ( Ox, Oz ) do đó ( widehat{xOy}+widehat{yOz} =widehat{xOz} ) , suy ra ( widehat{yOz}=widehat{xOz} – widehat{xOy} = 80^{circ} – 30^{circ} = 50^{circ} ) 

Tia ( Oy ) nằm giữa hai tia ( Ox, Oz ) ; tia ( Om ) nằm giữa hai tia ( Ox, Oy ) , tia ( On )  nằm giữa hai tia ( Oz; Oy ) nên tia ( Oy ) nằm giữa hai tia ( Om, On ) do đó ( widehat{mOn}=widehat{mOy} + widehat{yOn} = frac{30^{circ}}{2} + frac{50^{circ}}{2} = 40^{circ} ) 

Dạng 3: Tìm tia phân giác của một góc

Phương pháp giải

Xét từng tia, chọn tia nào thỏa mãn định nghĩa tia phân giác của một góc.

Ví dụ 1. Tìm trên hình những tia là tia phân giác biết rằng ( widehat{O_{1}}=widehat{O_{2}}=widehat{O_{3}}=widehat{O_{4}} )

Hướng dẫn:

( OB )  là tia phân giác của góc ( widehat{AOC} ) ;

( OC ) là tia phân giác của góc ( widehat{BOD} ) và ( widehat{AOE} ) ;

( OD ) là tia phân giác của góc ( widehat{COE} ) .

Luyện tập về tính chất đường phân giác của góc

Bài 1: Cho góc ( widehat{xOy} ) có số đo bằng ( 80^{circ} )  . Vẽ tia ( Om ) nằm giữa hai tia ( Ox, Oy ) sao cho ( widehat{xOm} = 40^{circ} ) . Tia ( Om ) có là tia phân giác của góc ( widehat{xOy} ) không ? Vì sao ?

Bài 2: Cho hai góc kề bù ( widehat{xOt} ) và ( widehat{yOt} ) , trong đó ( widehat{xOt} = 50^{circ} ) . Trên nửa mặt phẳng bờ ( xy ) có chứa tia ( Ot ) ta vẽ tia ( Oz ) sao cho ( widehat{yOz} = 80^{circ} ) . Tia ( Ot ) có là tia phân giác của góc ( widehat{xOz}  ) không ? Vì sao ?

Bài 3: Cho hai góc kề ( widehat{AOB}  ) và ( widehat{BOC} ) . Biết số đo của mỗi góc đều bằng ( 120^{circ} )  . Hỏi tia ( OB ) có là tia phân giác của góc ( widehat{AOC} ) không ? Vì sao ?

Bài 4: Cho góc bẹt ( widehat{AOD} ) . Trên nửa mặt phẳng bờ ( AD ) ta vẽ các tia ( OB; OC )  sao cho ( widehat{AOB}=60^{circ}; widehat{AOC} = 120^{circ} ) . Trên hình vẽ, tia nào là tia phân giác của một góc ?

Bài 5: Cho hai góc kề bù ( widehat{AOB}  ) và ( widehat{BOC} ) . Vẽ tia phân giác ( OM ) của góc ( widehat{BOC} ) . Giả sử ( widehat{AOB}  ) gấp đôi ( widehat{BOC} ), tính ( widehat{AOM} )

Tính chất đường phân giác trong tam giác

Tính chất 1: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. Điểm này gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ( Delta ABC ) (hình vẽ) có ba đường phân giác giao nhau tại ( I ) (( I ) là giao điểm 3 đường phân giác). Khi đó:

• ( widehat{A_{1}}=widehat{A_{2}} ) 
• ( widehat{B_{1}}=widehat{B_{2}} ) 
• ( widehat{C_{1}}=widehat{C_{2}} ) 
• ( ID=IE=IF ) 

Vừa rồi chúng ta vừa tìm hiểu về định lí ba đường phân giác trong tam giác. Sau đây chúng ta hãy khám phá xem với các trường hợp tam giác đặc biệt thì có các tính chất nào nhé!

Tính chất 2: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. 

Ví dụ: Cho tam giác ( Delta ABC ) (hình vẽ) có ( AD ) là đường phân giác ứng với đỉnh ( A ) với ( D in BC ) 

Theo tính chất 2 ta có ( frac{DB}{DC}=frac{AB}{AC} ) 

Tính chất 3: Đường phân giác ngoài tại một đỉnh của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn thẳng ấy

Như vậy, chân các đường phân giác trong và phân giác ngoài của một góc tại 1 đỉnh của tam giác là các điểm chia trong và chia ngoài cạnh đối diện theo tỉ số bằng tỉ số của hai cạnh bên tương ứng.

Ví dụ: Ta có tam giác ( Delta ABC ) có ( AD ) và ( AE ) lần lượt là đường phân giác trong và đường phân giác ngoài ứng với góc ( widehat{A} ) 

Ta có ( frac{DB}{DC}=frac{EB}{EC}=frac{AB}{AC} ) 

Một số dạng bài tập áp dụng tính chất đường phân giác

Dạng 1: Tính độ dài cạnh, chu vi, diện tích

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác và tỉ lệ thức để biến đổi và tính toán.

+ Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Ví dụ 1: Hãy chọn câu đúng. Tỉ số ( frac{x}{y} ) của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết các số trên hình cùng đơn vị đo là ( cm ) :

1. ( frac{7}{15} ) 
2. ( frac{1}{7} ) 
3. ( frac{15}{7} ) 
4. ( frac{1}{15} )

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức hình học và các bài toán khác

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác:  “Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hoai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.”

Ví dụ 1: Cho ( Delta ABC ) ; ( AE ) là phân giác ngoài của góc ( widehat{A} ) . Hãy chọn câu đúng:

1. ( frac{AB}{AE}=frac{BE}{CE} ) 
2.  ( frac{AE}{AC}=frac{BE}{CE} ) 
3.  ( frac{AB}{AC}=frac{CE}{BE} ) 
4.  ( frac{AB}{AC}=frac{BE}{CE} ) 

Công thức đường phân giác trong tam giác

Cho tam giác ( Delta ABC ) nhọn có đường phân giác trong ( AD. Ta có công thức tính độ dài đường phân giác trong [latex] AD theo ba cạnh [latex] AB; AC ) và góc ( widehat{A} ) :

( AD=frac{2.AB.AC.cos frac{A}{2}}{AB+AC} ) 

Chứng minh công thức:

( S_{Delta ABD} + S_{Delta ACD}=S_{Delta ABC} ) 

( Leftrightarrow frac{1}{2}AB.AD.sin frac{A}{2} + frac{1}{2}.AD.AC.sin frac{A}{2}=frac{1}{2}.AB.AC.sin A ) 

( Leftrightarrow frac{1}{2}.AD.sin frac{A}{2}(AB+AC)=frac{1}{2}.AB.AC.2.sin frac{A}{2}.cos frac{A}{2} ) 

( Leftrightarrow AD=frac{2.AB.AC.cos frac{A}{2}}{AB+AC}  ) 

Tính chất đường phân giác trong tam giác đặc biệt

Tính chất đường phân giác trong tam giác cân

Định lí: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó. Đồng thời cũng là đường cao ứng với đỉnh đó.

Ví dụ:

Cho tam giác ( Delta ABC ) (hình vẽ) cân tại ( A ) (( AB=AC ) ) và  ( AD ) là đường phân giác tương ứng với đỉnh ( A ) (( widehat{A_{1}}=widehat{A_{2}} ) ) 

Ta có ( BD=BC ) và ( AD bot BC ) 

Chứng minh: 

Ta có ( AB=AC ) , ( AD ) chung và ( widehat{A_{1}}=widehat{A_{2}} ) 

suy ra ( Delta BAD = Delta CAD (c.g.c) ) 

từ đó tương ứng ta có ( BD=CD ) nên ( AD ) là đường trung tuyến của tam giác ( Delta ABC ).

Ngoài ra do ( Delta BAD = Delta CAD (c.g.c) )  nên ( widehat{ADB} = widehat{ADC} ) 

mặt khác ( widehat{ADB}+widehat{ADC}=180^{circ} ) 

nên ( widehat{ADB} = widehat{ADC}=90^{circ} ) 

Vì vậy  ( AD bot BC ) 

Các dạng toán thường gặp về đường phân giác trong tam giác

Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất:

• Ta sử dụng định lý: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
• Giao điểm của hai đường phân giác của hai góc trong một tam giác nằm trên đường phân giác của góc thứ ba.
• Giao điểm các đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.

Dạng 2: Chứng minh hai góc bằng nhau

Phương pháp:

Ta sử dụng định lý: Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Dạng 3: Chứng minh tia phân giác của một góc

Phương pháp:

Ta sử dụng một trong các cách sau:

• Sử dụng định lý: Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
• Sử dụng định nghĩa phân giác.
• Chứng minh hai góc bằng nhau nhờ hai tam giác bằng nhau.

Dạng 4: Bài toán về đường phân giác với các tam giác đặc biệt  

Đây là dạng toán về đường phân giác với các tam giác đặc biệt như tam giác cân, tam giác đều… 

Phương pháp:

Ta sử dụng định lý: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.

Bài toán cách chứng minh tia phân giác

Để chứng minh tia ( Oz ) là tia phân giác của góc ( widehat{xOy} ) trong mặt phẳng các bạn có thể sử dụng một trong 8 cách sau đây:

1. Chứng minh tia ( Oz ) nằm giữa tia ( Ox; Oy ) và ( widehat{xOz}=widehat{yOz} ) 
2. Chứng minh ( widehat{xOz}=frac{1}{2}widehat{xOy} ) hay ( widehat{yOz}=frac{1}{2}widehat{xOy} ) 
3. Chứng minh trên tia ( Oz ) có một điểm cách đều hai tia ( Ox ) và ( Oy ) 
4. Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân.
5. Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường phân giác.
6. Sử dụng tính chất đường chéo của hình thoi, hình vuông.
7. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn.
8. Sử dụng tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Vừa rồi chúng ta đã làm quen với những khái niệm cơ bản về góc nói chung và đường phân giác của góc cũng như của tam giác nói chung. Các bạn hãy đọc lại bài thật kĩ và luyện tập thông qua một số bài tập sau đây nhé!.

Bài tập tự luyện tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 1: Cho tam giác tam giác ( delta ABC ) với ( AB=c ) ; ( AC=b ) ; ( BC=a ) . Kẻ tia phân giác ( AD ) của góc ( widehat{A} ) .

1. Tính độ dài các đoạn thẳng ( BD; CD ) 
2. Đường thẳng song song với ( AC ) , kẻ từ ( D ) , cắt cạnh ( AB ) tại điểm ( E ) . Tính ( BE; AE ) và ( DE ) .

Cách giải:

1. Ta có, theo định lí về tính chất của đường phân giác

( frac{DB}{DC}=frac{AB}{AC}Rightarrow frac{DB}{DC}=frac{c}{b}Rightarrow frac{DB}{DB+DC}=frac{c}{b+c} ) 

( Rightarrow frac{DB}{BC}=frac{c}{b+c} Rightarrow DB=frac{ac}{b+c} ) 

Tương tự ta có: ( DC=frac{ab}{b+c} ) 

    2. Ta có ( DE parallel AC ) nên:

( frac{BE}{BA}=frac{BD}{BC}Rightarrow frac{BE}{c}=frac{c}{b+c} ) 

( Rightarrow BE = frac{c^{2}}{b+c} ) 

Tương tự ta có ( Rightarrow AE = frac{bc}{b+c} ) 

( AD ) là phân giác góc ( widehat{A} ) nên ( widehat{A_{1}}=widehat{A_{2}} ) 

Ta có ( DE parallel AC ) nên: ( widehat{D}=widehat{A_{1}} ) 

( Rightarrow Delta AED  ) cân tại ( E ) cho ta ( DE=AE=frac{bc}{b+c} ) 

Bài 2: Cho tam giác tam giác ( delta ABC ) có cạnh ( BC ) cố định ; đỉnh ( A ) thay đổi nhưng tỉ số ( frac{AB}{AC}=k ) , với ( k ) là một số thực dương cho trước. Các tia phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh ( A ) cắt cạnh ( BC ) và cắt đường thẳng ( BC ) theo thứ tự tại các điểm ( D; E ) .

1. Chứng minh rằng ( D; E ) là hai điểm cố định.
2. Tìm quỹ tích điểm ( A ) 

Cách giải:

1. Ta có theo định lí về tính chất của đường phân giác ta có:

( frac{DB}{DC}=frac{AB}{AC}=k ) 

( frac{EB}{EC}=frac{AB}{AC}=k ) 

Các tỉ số ( frac{DB}{DC} ) và ( frac{EB}{EC} ) bằng ( k ) không đổi; hai điểm ( B ) và ( C ) cố định, suy ra hai điểm ( D ) và ( E ) chia trong và chia ngoài đoạn thẳng cố định ( BC ) theo một tỉ số không đổi nên ( D ) và [/latex] E [/latex] là hai điểm cố định. 

   2. ( AD ) và ( AE ) là các tia phân giác của hai góc kề bù vì vậy:

( AD bot AE Rightarrow widehat{DAE}=90^{circ} ) 

Điểm ( A ) nhìn đoạn thẳng cố định ( DE ) dưới một góc vuông. Vì vậy quỹ tích điểm ( A ) là đường tròn đường kính ( DE ) (có tâm là trung điểm ( I ) của đoạn thẳng ( DE ) và bán kính là ( frac{DE}{2} ) )

Bài 3: Cho tam giác ( delta ABC ), kẻ tia phân giác ( AD ) . Trên tia đối của tia ( BA ) lấy điểm ( E ) sao cho ( BE=BD ) và trên tia đối của tia ( CA ) lấy điểm ( F ) sao cho ( CF=CD ) 

1. Chứng minh ( EF parallel BC ) 
2. Chứng minh ( ED ) là phân giác của góc ( widehat{BEF} ) và ( FD ) là phân giác của góc ( widehat{CFE} ) 

Cách giải:

1. Ta có ( AD ) là phân giác của góc ( widehat{A} ) nên:

( frac{BD}{CD}=frac{AB}{AC} ) 

Theo giả thiết ta có ( BE=BD ) và ( CF=CD ) nên ta được: 

( frac{EB}{FC}=frac{AB}{AC}Rightarrow frac{EB}{AB}=frac{FC}{AC} ) 

Theo định lí Talet ta suy ra ( EF parallel BC ) 

     2. ( Delta DBE  ) cân ( Rightarrow widehat{E_{1}}=widehat{D_{1}} ) 

( EF parallel BCRightarrow widehat{D_{1}}=widehat{E_{2}}Rightarrow widehat{E_{1}}=widehat{E_{2}} ) 

( Rightarrow ED ) là tia phân giác của góc ( widehat{BEF} ) 

Trường hợp còn lại, chứng minh tương tự (hoặc có thể nhân xét, ( D ) là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác ( delta AEF) .

Như vậy thông qua bài viết trên, Tip.edu.vn hi vọng đã giúp các bạn, đặc biệt là các em học sinh có một cái nhìn chung nhất về các khái niệm và tính chất đường phân giác của góc, cũng như đường phân giác trong tam giác. Các bạn hãy đọc kĩ để nắm vững lí thuyết sau đó hãy luyện tập thông qua các bài tập ở cuối bài viết nhé!. Nếu có bất cứ thắc mắc, câu hỏi hay đóng góp gì liên quan đến chủ đề tính chất đường phân giác của tam giác, đừng quên để lại ở nhận xét bên dưới nhé. Chúc các bạn học tập thật tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây nhé:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm:

• Định lý Talet trong tam giác, trong hình thang – Toán lớp 8
• Hình chóp đều: hình chóp đều tam giác, hình chóp đều tứ giác
• Tam giác đồng dạng là gì? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng
• Hình lăng trụ đứng là gì? Cách tính Diện tích và Thể tích hình lăng trụ đứng