Chia sẻ những tip thiết thực

Chuyên đề Cực trị hàm số bậc 3 và Công thức tính nhanh cực trị

0

Cực trị của hàm số bậc 3 là một dạng toán cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và ôn thi THPT Quốc gia. Vậy điểm cực trị của hàm số bậc 3 là gì? Công thức tính nhanh cực trị của hàm số bậc 3? Lý thuyết và Bài tập về cực trị của hàm số bậc 3… Trong bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!

Điểm cực trị của hàm số là gì?

Cho hàm (y = f (x) ) liên tục và được xác định trên khoảng ((a; b) ) và điểm (x_0 trong (a; b) )


  • Hàm (f (x) ) đạt cực đại tại (x_0 ) nếu tồn tại một số (h> 0 ) sao cho (f (x)
  • Hàm (f (x) ) có cực tiểu tại (x_0 ) nếu tồn tại một số (h> 0 ) sao cho (f (x)> f (x_0) ) cho tất cả ( x in (x_0-h; x_0 + h) ) và (x neq x_0 )

Định lý:

Cho hàm (y = f (x) ) liên tục, xác định và có đạo hàm cấp hai trên khoảng ((a; b) ). sau đó

  • Nếu ( left { begin {matrix} f ‘(x_0) = 0 \ f ”(x_0)> 0 end {matrix} right Rightarrow ) (x_0 ) là mức tối thiểu của hàm (f )
  • Nếu ( left { begin {matrix} f ‘(x_0) = 0 \ f ”(x_0) <0 end {matrix} right Rightarrow ) (x_0 ) là điểm tối đa của hàm (f )

Xem chi tiết >>> Điểm cực trị của hàm số là gì? Cực trị của một số hàm

Cực trị của một hàm số bậc ba là gì?

Cho một hàm bậc ba (y = f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d )

Đạo hàm (y ‘= f’ (x) = 3ax ^ 2 + 2bx + c )

  • Hàm (f (x) ) có cực trị ( Leftrightarrow f (x) ) có cực đại và cực tiểu

( Leftrightarrow f ‘(x) = 0 ) có hai nghiệm riêng biệt ( Leftrightarrow Delta’ = b ^ 2-3ac> 0 )

  • Hàm (f (x) ) không có cực trị ( Leftrightarrow Delta ‘= b ^ 2-3ac leq 0 )

cực trị của hàm bậc 3 và hình ảnh minh họa

Bài tập về cực trị của hàm đa thức bậc 3

Dạng 1: Tìm điểm cực trị của hàm số bậc 3

Đây là dạng cơ bản nhất, chỉ cần sử dụng Định lý ở phần trên để tìm cực đại và cực tiểu của hàm số.

Ví dụ:

Tìm cực trị của hàm: (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2-2 )

Giải pháp:

Nhóm được chỉ định (D = mathbb {R} )

Chúng ta có :

(f ‘(x) = 3x ^ 2-6x = 3x (x-2) )

Vậy (f ‘(x) = 0 Leftrightarrow left[begin{array}{l}x=0\x=2end{array}right)[begin{array}{l}x=0x=2end{array}right)[begin{array}{l}x=0x=2end{array}right)[begin{array}{l}x=0x=2end{array}right)

Mặt khác :

(f ” (x) = 6x-6 )

( Rightarrow f ” (0) = -6 <0 Rightarrow ) hàm cực đại tại điểm ((0; -2) )

(f ” (2) = 6> 0 Rightarrow ) hàm cực đại tại điểm ((2; -6) )

Dạng 2: Tìm (m ) để hàm số bậc 3 có 2 cực trị

Vấn đề: Tìm (m ) để hàm số (y = f (x; m) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ) có (2 ) điểm cực trị với (a, b, c , d ) là các hệ thống chứa (m )

Làm:

  • Bước 1: Đã chỉ định tập hợp (D = mathbb {R} ). Tính đạo hàm (y ‘= 3ax ^ 2 + 2bx + c )
  • Bước 2: Hàm có cực trị (2 ) ( Leftrightarrow Delta ‘= b ^ 2-3ac> 0 )
  • Bước 3: Giải bất phương trình trên, tìm điều kiện của (m )

Ví dụ:

Tìm (m ) để hàm (f (x) = y = 2x ^ {3} +3 (m-1) x ^ {2} +6 (m-2) x – 1 ) có hai điểm cực

Giải pháp:

Xét (y = 2x ^ {3} +3 (m-1) x ^ {2} +6 (m-2) x – 1 ) có tập (D = mathbb {R} )

Chúng ta có :

(y ‘= 6x ^ 2 + 6 (m-1) x + 6 (m-2) )

Để một hàm số có hai cực trị thì (y ‘= 0 ) có hai nghiệm phân biệt

( Leftrightarrow x ^ 2 + (m-1) x + (m-2) = 0 ) có hai nghiệm phân biệt

( Leftrightarrow Delta = (m-1) ^ 2-4 (m-2)> 0 )

( Mũi tên trái m ^ 2-6m + 9 = (m-3) ^ 2> 0 )

( Leftrightarrow m neq 3 )

Dạng 3: Tìm (m ) để hai cực trị thoả mãn điều kiện

Vấn đề: Tìm (m ) để hàm (y = f (x; m) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ) có (2 ) điểm cực trị (x_1; x_2 ) thoả mãn thỏa mãn điều kiện (K ) trong đó (a, b, c, d ) là các hệ chứa (m )

Làm:

  • Bước 1: Đã chỉ định tập hợp (D = mathbb {R} ). Tính đạo hàm (y ‘= 3ax ^ 2 + 2bx + c )
  • Bước 2: Hàm có cực trị (2 ) ( Leftrightarrow Delta ‘= b ^ 2-3ac> 0 ). Giải bất phương trình này để tìm (m trong D_1 )
  • Bước 3: Gọi (x_1; x_2 ) là hai nghiệm của phương trình (y ‘= 0 ). Theo Việt chúng tôi có:

( left { begin {matrix} S = x_1 + x_2 = frac {-b} {3a} \ P = x_1.x_2 = frac {c} {3a} end {matrix} right. )

  • Bước 4: Chuyển điều kiện bắt buộc của bài toán thành dạng (S ) và (P ). Từ đó, hãy giải quyết để tìm (m trong D_2 )
  • Bước 5: Giá trị kết luận của (m ) thỏa mãn (m = D_1 cap D_2 )

Ví dụ:

Cho hàm số (y = 4x ^ 3 + mx ^ 2-3x ). Tìm (m ) để hàm đã cho có hai cực trị (x_1; x_2 ) thoả mãn (x_1 = -4x_2 )

Giải pháp:

Nhóm được chỉ định (D = mathbb {R} )

Đạo hàm: (y ‘= 12x ^ 2 + 2mx-3 )

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình (y ‘= 0 ) có hai nghiệm phân biệt

( Leftrightarrow Delta ‘= m ^ 2 + 36> 0 )

Điều này đúng với bất kỳ (m in mathbb {R} )

Vì vậy (y ) luôn có hai điểm cực trị có toạ độ (x_1; x_2 ) thoả mãn

( left { begin {matrix} x_1 + x_2 = frac {-m} {6} \ x_1x_2 = frac {-1} {4} end {matrix} right. ) (theo Vi -et)

Vì (x_1 = -4x_2 ) nên thay thế hệ thống trên, chúng ta có:

( left { begin {matrix} -3x_2 = frac {-m} {6} \ -4x_2 ^ 2 = frac {-1} {4} end {matrix} right. )

( Leftrightarrow left { begin {matrix} m = 18x_2 \ x_2 ^ 2 = frac {1} {16} end {matrix} right. )

( Leftrightarrow left[begin{array}{l}left{begin{matrix}x_2=frac{1}{4}\m=frac{9}{2}end{matrận}right\left{begin{matrix}x_2=frac{-1}{4}\m=-frac{9}{2}end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}left{begin{matrix}x_2=frac{1}{4}m=frac{9}{2}end{matrix}right\left{begin{matrix}x_2=frac{-1}{4}m=-frac{9}{2}end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}left{begin{matrix}x_2=frac{1}{4}m=frac{9}{2}end{matrix}right\left{begin{matrix}x_2=frac{-1}{4}m=-frac{9}{2}end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}left{begin{matrix}x_2=frac{1}{4}m=frac{9}{2}end{matrix}rightleft{begin{matrix}x_2=frac{-1}{4}m=-frac{9}{2}end{matrix}rightend{array}right)

Vì vậy, (m = frac {9} {2} ) hoặc (m = – frac {9} {2} )

Công thức tính nhanh các cực trị của 3. chức năng

Dưới đây là một số công thức giúp chúng ta giải nhanh các bài toán trắc nghiệm mà không cần tính toán phức tạp.

Cho hàm số (y = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ) có hai cực trị phân biệt (A, B ). Sau đó:

  • Phương trình dòng (AB ):

( frac {2} {3} (c- frac {b ^ 2} {3a}) x + (d- frac {bc} {9a}) )

Xem chi tiết >>> Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số 3

  • Độ dài dòng (AB ):

(AB = sqrt { frac {4e (4e ^ 2 + 1)} {a}} ) với (e = frac {b ^ 2-3ac} {9a} )

Bài tập về hàm số cực trị bậc 3

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết và bài tập về chủ đề Hàm số cực trị bậc 3 cũng như cách giải. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề Hàm số cực trị của hàm số 3. Chúc các bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> Tìm m để hàm số có 3 cực trị: Lý thuyết và Các dạng bài tập

Xem thêm nhiều bài viết hay về Hỏi Đáp Toán Học

▪️ TIP.EDU.VN chia sẻ tài liệu môn Toán các lớp 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10, 11, 12 và ôn thi THPT Quốc gia, phục vụ tốt nhất cho các em học sinh, giáo viên và phụ huynh học sinh trong quá trình học tập – giảng dạy.
▪️ TIP.EDU.VN có trách nhiệm cung cấp đến bạn đọc những tài liệu và bài viết tốt nhất, cập nhật thường xuyên, kiểm định chất lượng nội dung kỹ càng trước khi đăng tải.
▪️ Bạn đọc không được sử dụng những tài nguyên trang web với mục đích trục lợi.
▪️ Tất cả các bài viết trên website này đều do chúng tôi biên soạn và tổng hợp. Hãy ghi nguồn website https://tip.edu.vn/ khi copy bài viết.

Rate this post
Leave a comment