Chuyên đề chia đa thức cho đa thức: Lý thuyết và Bài tập

Chia đơn thức cho đa thức là một dạng toán quan trọng trong chương trình toán lớp 8 THCS. Trong bài viết dưới đây, chúng ta hãy Tip.edu.vn Tìm hiểu thêm về chủ đề này!

Lý thuyết chia đa thức cho đa thức

Chia đa thức A cho đa thức B. Gọi A và B là hai đa thức tùy ý cùng biến ((B neq 0) ) thì chỉ tồn tại một cặp đa thức Q và R sao cho (A = B.Q + R ), trong đó (R = 0 ) hoặc độ R nhỏ hơn độ B.

Q được gọi là đa thức có thương và R được gọi là phần dư trong phép chia A cho B.

Nếu (R = 0 ) thì phép chia A cho B là phép chia hết.

Hằng đẳng thức có thể được sử dụng để đơn giản hóa phép chia

((A ^ {3} + B ^ {3}) 🙁 A + B) = A ^ {2} -AB + B ^ {2} )

((A ^ {3} -B ^ {3}) 🙁 AB) = A ^ {2} + AB + B ^ {2} )

((A ^ {2} -B ^ {2}) 🙁 A + B) = AB )

Ví dụ: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

1. ((125x ^ {3} + 1): (5x + 1) )
2. ((x ^ {2} –2xy + y ^ {2}): (y – x) )

Hướng dẫn giải pháp:

1. ((125x ^ {3} + 1): (5x + 1) = [(5x)^{3} + 1] : (5x + 1) = (5x) ^ {2} -5x + 1 = 25x ^ {2} -5x + 1 )
2. ((x ^ {2} -2xy + y ^ {2}): (yx) = (xy) ^ {2}: [-(x-y)] = – (xy) = yx )

Hoặc ((x ^ {2} –2xy + y ^ {2}) 🙁 yx) = (y ^ {2} -2xy + x ^ {2}): (yx) )

Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

Tìm thương và dư trong phép chia đa thức

Phương pháp giải: Từ điều kiện bài toán đã cho, chia A: B được thương Q và R dư.

Tìm điều kiện của m để đa thức A chia hết cho đa thức B

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của n để biểu thức (4n ^ {3} -4n ^ {2} -n + 4 ) chia hết cho biểu thức (2n + 1 )

Hướng dẫn giải pháp:

Thực hiện phép chia (4n ^ {3} -4n ^ {2} -n + 4 ) cho (2n + 1 ) ta được:

(4n ^ {3} -4n ^ {2} -n + 4 = (2n + 1) (n ^ {2} +1) +3 )

Từ đó, để có điều kiện chia hết là 3 chia hết cho (2n + 1 ), tức là ta cần tìm giá trị nguyên của n để (2n + 1 ) là ước của 3, ta được :

(2n + 1 = 3 Mũi tên trái n = 1 )

(2n + 1 = 1 Mũi tên trái n = 0 )

(2n + 1 = -3 Mũi tên trái n = -2 )

(2n + 1 = -1 Mũi tên trái n = -1 )

Vậy (n = 1; n = 0; n = 2 ) thoả mãn điều kiện bài toán.

Áp dụng định lý Bezout khi giải

Ngoài ra còn có các dạng toán liên quan như: phép chia đa thức chứa tham số; chia đa thức với đa thức nguyên hàm.

Bài tập chia đa thức cho đa thức lớp 8

Giải câu 67 SGK Toán 8 tập 1 Trang 31

1. (x3 – 7x + 3 – x2): (x – 3).
2. (2 lần)4 – 3x2 – 3x2 – 2 + 6x): (x2 – 2).

Hướng dẫn giải pháp:

1. (x3 – 7x + 3 – x2): (x – 3)

2. (2 lần4 – 3x2 – 3x2 – 2 + 6x): (x2 – 2)

Giải câu 69 SGK Toán 8 tập 1 Trang 31

Cho hai đa thức (A = 3x ^ {4} + x ^ {3} + 6x-5 ) và (B = x ^ {2} +1 ). Tìm phần dư R trong phép chia A cho B rồi viết A là (A = B. Q + R )

Hướng dẫn giải pháp:

Để có thể tìm được phần dư R và Q, ta cần đặt tính và thực hiện phép chia đa thức:

Phép chia đa thức (A = 3x ^ {4} + x ^ {3} + 6x-5 ) cho (B = x ^ {2} +1 ) được thực hiện như sau:

Suy ra (Q = 3x ^ {2} + x-3; R = 5x – 2 )

Kết luận: (3x ^ {4} + x ^ {3} + 6x- 5 = (x ^ {2} + 1) (3x ^ {2} + x-3) + 5x – 2 )

Giải câu 71 SGK Toán 8 tập 1 Trang 32

Không thực hiện phép chia hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B không?

1. (A = 15x ^ {4} -8x ^ {3} + x ^ {2} )

(B = frac {1} {2} x ^ {2} )

2. (A = x ^ {2} -2x + 1 )

(B = 1-x )

Hướng dẫn giải pháp:

1. Chúng ta thấy mỗi số hạng của A: (15x ^ {4}; 8x ^ {3}; x ^ {2} ) chia hết cho (x ^ {2} )

Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B.

2. Ta có: (A = x ^ {2} -2x + 1 = (1-x) ^ {2} ), chia hết cho (1-x )

Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B.

Giải câu 73 SGK Toán 8 tập 1 Trang 32

Tính toán nhanh:

1. ((4x ^ {2} -9y ^ {2}): (2x-3y) )
2. ((27x ^ {3} -1): (3x-1) )
3. ((8x ^ {3} +1): (4x ^ {2} -2x + 1) )
4. ((x ^ {2} – 3x + xy -3y): (x + y) )

Hướng dẫn giải pháp:

1. ((4x ^ {2} -9y ^ {2}): (2x-3y) = [(2x)^{2}–(3y)^{2}] : (2x-3y) = 2x + 3y )
2. ((27x ^ {3} -1): (3x-1) = [(3x)^{3}-1] : (3x-1) = (3x) ^ {2} + 3x + 1 = 9x ^ {2} + 3x + 1 )
3. ((8x ^ {3} +1) 🙁 4x ^ {2} –2x + 1) =[(2x)^{3}+1]: (4x ^ {2} -2x + 1) = (2x + 1)[(2x)^{2}–2x+1]: (4x ^ {2} –2x + 1) = (2x + 1) (4x ^ {2} –2x + 1) 🙁 4x ^ {2} –2x + 1) = 2x + 1 )
4. ((x ^ {2} -3x + xy -3y): (x + y) = [(x^{2}+ xy)-(3x+3y)] : (x + y) = [x(x + y)-3(x + y)] : (x + y) = (x + y) (x-3): (x + y) = x-3 )

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp các kiến ​​thức về chủ đề chia đa thức cho đa thức: lý thuyết, ví dụ minh họa và cách thực hiện. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem thêm >>> 7 Hằng số đáng nhớ cơ bản và mở rộng

Xem thêm >>> Định lý Talet trong tam giác, trong hình thang

Xem thêm >>> Quy tắc nhân đơn thức với đa thức và Một số dạng bài tập

Xem thêm >>> Chuyên đề về dấu của tam thức bậc hai và Một số dạng bài tập

Xem nội dung chi tiết bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)