Câu 51 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Câu 51 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Cho tam giác ABC.
a. Tìm trên cạnh AB điểm M sao cho ({{AM} over {MB}} = {2 over 3}); tìm trên cạnh AC điểm N sao cho ({{AN} over {NC}} = {2 over 3})
b. Vẽ đoạn thẳng MN. Hỏi rằng hai đường thẳng MN và BC có song song với nhau không ? Vì sao ?
c. Cho biết chu vi và diện tích tam giác ABC thứ tự là P và S. Tính chu vi và diện tích tam giác AMN.
Giải:
a. Cách vẽ:
– Kẻ tia Ax bất kì khác tia AB, AC.
– Trên tia Ax, lấy hai điểm E và F sao cho AE = 2 (đvd), EF = 3 (đvd)
– Kẻ đường thẳng FB.
– Từ E kẻ đường thẳng song song với FB cắt AB tại M
– Kẻ đường thẳng FC
– Từ E kẻ đường thẳng song song với FC cắt AC tại N
Ta có M, N là hai điểm cần vẽ.
Chứng minh:
Trong tam giác AFB, ta có: EM // FB
Theo Định lí Ta-lét, ta có:
({{AM} over {MB}} = {{AE} over {EF}} = {2 over 3})
Trong tam giác AFC, ta có: EN // FC
Theo Định lí Ta-lét, ta có:
({{AN} over {NB}} = {{AE} over {EF}} = {2 over 3})
Vậy M, N là hai điểm cần tìm.
b. Trong tam giác ABC, ta có: ({{AM} over {MB}} = {{AN} over {NC}} = {2 over 3})
Suy ra: MN // BC (theo định lí đảo của định lí Ta-lét)
c. Gọi p’ và S’ là chu vi và diện tích của ∆ AMN
Trong tam giác ABC, ta có: MN // BC
Suy ra: ∆ AMN đồng dạng ∆ ABC
Theo tính chất hai tam giác đồng dạng ta có:
(eqalign{  & {{p’} over p} = {2 over 3} = k Rightarrow p’ = {2 over 3}p  cr  & {{S’} over S} = {left( {{2 over 3}} right)^2} = {4 over 9} = {k^2} Rightarrow S’ = {4 over 9}S cr} )