Tổng hợp câu hỏi nâng cao trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6

By Mắt Cận Last updated Th8 13, 2023

Bài tập nâng cao trong các đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6 do đội ngũ thầy cô giáo của Tip.edu.vnbiên soạn bao gồm các câu hỏi khó dành điểm 10 trong đề thi học kì Toán lớp 6 kèm với đáp án chi tiết. Hi vọng tài liệu này giúp các em học sinh lớp 6 tự ôn luyện và vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải bài tập toán. Chúc các em học tốt.

Mời các em học sinh tham khảo thêm:

A. Các câu hỏi nâng cao xuất hiện trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6

Bài 1: Tính tổng $A = frac{1}{{1.3}} + frac{1}{{3.5}} + frac{1}{{5.7}} + ... + frac{1}{{2019.2021}}$

Bài 2: Chứng tỏ $B = frac{{14n + 3}}{{21n + 5}}left( {n in N} right)$ là phân số tối giản

Bài 3: Cho $A = frac{{{2^{2018}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}}}} + frac{{{3^{2019}}}}{{{3^{2019}} + {5^{2020}}}} + frac{{{5^{2020}}}}{{{5^{2020}} + {2^{2018}}}}$ và $B = frac{1}{{1.2}} + frac{1}{{3.4}} + frac{1}{{5.6}} + ... + frac{1}{{2019.2020}}$ . So sánh A và B

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức $A = left( {frac{1}{{4.9}} + frac{1}{{9.14}} + ... + frac{1}{{44.49}}} right).frac{{1 - 3 - 5 - 7 - ... - 49}}{{89}}$

Bài 5: Cho $A = frac{1}{{{2^2}}} + frac{1}{{{3^2}}} + frac{1}{{{4^2}}} + ... + frac{1}{{{{2020}^2}}}$ . Chứng tỏ A < 1

Bài 6: Tính tỉ số $frac{A}{B}$ biết $A = frac{4}{{7.31}} + frac{6}{{7.41}} + frac{9}{{10.41}} + frac{7}{{10.57}}$ và $B = frac{7}{{19.31}} + frac{5}{{19.43}} + frac{3}{{23.43}} + frac{{11}}{{23.57}}$

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức $A = frac{3}{2} - frac{5}{6} + frac{7}{{12}} - frac{9}{{20}} + frac{{11}}{{30}} - frac{{13}}{{42}} + frac{{15}}{{56}} - frac{{17}}{{72}} + frac{{19}}{{90}}$

Bài 8: Cho biểu thức $P = frac{1}{2}.frac{3}{4}.frac{5}{6}...frac{{399}}{{400}}$ . Chứng tỏ rằng $A < frac{1}{{20}}$

Bài 9: Tính nhanh $A = 1 + frac{1}{{1 + 2}} + frac{1}{{1 + 2 + 3}} + ... + frac{1}{{1 + 2 + ... + 8}}$

Bài 10: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức dưới đây đạt giá trị nhỏ nhất: $A = left| {x - 9} right| + 10$

B. Lời giải các câu hỏi nâng cao trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6

Bài 1:

$A = frac{1}{{1.3}} + frac{1}{{3.5}} + frac{1}{{5.7}} + ... + frac{1}{{2019.2021}}$

$= 2.frac{1}{2}.left( {frac{1}{{1.3}} + frac{1}{{5.7}} + ... + frac{1}{{2019.2021}}} right)$

$= frac{1}{2}.left( {frac{2}{{1.3}} + frac{2}{{3.5}} + frac{2}{{5.7}} + ... + frac{2}{{2019.2021}}} right)$

$= frac{1}{2}.left( {frac{{3 - 1}}{{1.3}} + frac{{5 - 3}}{{3.5}} + ... + frac{{2021 - 2019}}{{2019.2021}}} right)$

$= frac{1}{2}.left( {1 - frac{1}{3} + frac{1}{3} - frac{1}{5} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + ... + frac{1}{{2018}} - frac{1}{{2019}} + frac{1}{{2019}} - frac{1}{{2021}}} right)$

$= frac{1}{2}.left( {1 - frac{1}{{2021}}} right) = frac{1}{2}.frac{{2020}}{{2021}} = frac{{1010}}{{2021}}$

Bài 2:

Đề B là phân số tối giản thì ước chung của tử và mẫu bằng 1 hoặc

Gọi d là ước chung của 14n + 3 và 21n + 5 (d tự nhiên)

Khi đó ta có $left( {14n + 3} right) vdots d Rightarrow 3.left( {14n + 3} right) vdots d Rightarrow 42n + 9 vdots d$

Và $left( {21n + 5} right) vdots d Rightarrow 2.left( {21n + 5} right) vdots d Rightarrow 42n + 10 vdots d$

Ta có nếu a > b và a và b đều chia hết cho cùng một số thì hiệu a – b cũng chia hết cho số đó

Vậy ta có $left( {42n + 10} right) - left( {42n + 9} right) vdots d Rightarrow 1 vdots d$

Vậy B là phân số tối giản

Bài 3:

Ta có $frac{{{2^{2018}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}}}} > frac{{{2^{2018}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}} + {5^{2020}}}}$

$frac{{{3^{2018}}}}{{{3^{2019}} + {5^{2020}}}} > frac{{{3^{2018}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}} + {5^{2020}}}}$

$frac{{{5^{2020}}}}{{{5^{2020}} + {2^{2018}}}} > frac{{{5^{2020}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}} + {5^{2020}}}}$

Từ đó $A > frac{{{2^{2018}} + {3^{2019}} + {5^{2020}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}} + {5^{2020}}}} = 1$

$B = frac{1}{{1.2}} + frac{1}{{3.4}} + frac{1}{{5.6}} + ... + frac{1}{{2019.2020}}$

$B = frac{{2 - 1}}{{1.2}} + frac{{4 - 3}}{{3.4}} + ... + frac{{2020 - 2019}}{{2019.2020}}$

$B = 1 - frac{1}{2} + frac{1}{2} - frac{1}{3} + frac{1}{3} - frac{1}{4} + ... + frac{1}{{2018}} - frac{1}{{2019}} + frac{1}{{2019}} - frac{1}{{2020}}$

$B = 1 - frac{1}{{2020}} = frac{{2019}}{{2020}} < frac{{2020}}{{2020}} = 1$

Vậy A > B

Bài 4:

$A = left( {frac{1}{{4.9}} + frac{1}{{9.14}} + ... + frac{1}{{44.49}}} right).frac{{1 - 3 - 5 - 7 - ... - 49}}{{89}}$

Có $frac{1}{{4.9}} + frac{1}{{9.14}} + ... + frac{1}{{44.49}} = 5.frac{1}{5}.left( {frac{1}{{4.9}} + frac{1}{{9.14}} + ... + frac{1}{{44.49}}} right)$

$= frac{1}{5}.left( {frac{5}{{4.9}} + frac{5}{{9.14}} + ... + frac{5}{{44.49}}} right) = frac{1}{5}.left( {frac{1}{4} - frac{1}{{49}}} right) = frac{9}{{196}}$

Có $frac{{1 - 3 - 5 - 7 - ... - 49}}{{89}} = frac{{1 - left( {3 + 5 + + ... + 49} right)}}{{89}}$

Tổng 3 + 5 + … + 49 là tổng của dãy số lẻ liên tiếp từ 3 đến 49. Vậy 3 + 5 + … + 49 = 624

$A = frac{9}{{196}}.frac{{1 - 624}}{{89}} = frac{9}{{196}}.frac{{left( { - 623} right)}}{{89}} = frac{{ - 9}}{{28}}$

Bài 5:

$frac{1}{{{2^2}}} < frac{1}{{1.2}};frac{1}{{{3^2}}} < frac{1}{{2.3}};...;frac{1}{{{{2020}^2}}} < frac{1}{{2019.2020}}$

Vậy $A < frac{1}{{1.2}} + frac{1}{{2.3}} + ... + frac{1}{{2019.2020}} = frac{1}{1} - frac{1}{{2020}} = frac{{2019}}{{2020}} < frac{{2020}}{{2020}} = 1$

Bài 6:

$A = frac{4}{{7.31}} + frac{6}{{7.41}} + frac{9}{{10.41}} + frac{7}{{10.57}} Rightarrow frac{A}{5} = frac{4}{{35.31}} + frac{6}{{35.41}} + frac{9}{{50.41}} + frac{7}{{50.57}}$

$frac{A}{5} = frac{1}{{31}} - frac{1}{{35}} + frac{1}{{35}} - frac{1}{{41}} + frac{1}{{41}} - frac{1}{{50}} + frac{1}{{50}} - frac{1}{{57}}$

$frac{A}{5} = frac{1}{{31}} - frac{1}{{57}} = frac{{26}}{{31.57}} Rightarrow A = frac{{130}}{{31.57}}$

$frac{B}{2} = frac{7}{{38.31}} + frac{5}{{38.43}} + frac{3}{{46.43}} + frac{{11}}{{46.57}} Rightarrow frac{B}{2} = frac{1}{{31}} - frac{1}{{57}} = frac{{26}}{{31.57}}$

$Rightarrow B = frac{{52}}{{31.57}}$

$frac{A}{B} = frac{{130}}{{31.51}}:frac{{52}}{{31.57}} = frac{5}{2}$

Bài 7:

$A = frac{3}{2} - frac{5}{6} + frac{7}{{12}} - frac{9}{{20}} + frac{{11}}{{30}} - frac{{13}}{{42}} + frac{{15}}{{56}} - frac{{17}}{{72}} + frac{{19}}{{90}} = frac{2}{3} + frac{2}{{15}} + frac{2}{{35}} + frac{2}{{63}} + frac{2}{{90}}$

$frac{2}{3} + frac{2}{{3.5}} + frac{2}{{5.7}} + frac{2}{{7.9}} + frac{2}{{9.10}} = frac{2}{3} + frac{1}{3} - frac{1}{5} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + frac{1}{7} - frac{1}{9} + frac{1}{9} - frac{1}{{10}}$

$= frac{2}{3} + frac{1}{3} - frac{1}{{10}} = 1 - frac{1}{{10}} = frac{9}{{10}}$

Bài 8:

$P = frac{1}{2}.frac{3}{4}.frac{5}{6}...frac{{399}}{{400}}$

Có $P = frac{1}{2}.frac{3}{4}.frac{5}{6}...frac{{399}}{{400}}$ và $Q = frac{2}{3}.frac{4}{5}.frac{6}{7}.....frac{{400}}{{401}}$

Và $frac{1}{2} < frac{2}{3};frac{3}{4} < frac{4}{5};...;frac{{399}}{{400}} < frac{{400}}{{401}}$

$P.Q = left( {frac{1}{2}.frac{3}{4}.frac{5}{6}...frac{{399}}{{400}}} right).left( {frac{2}{3}.frac{4}{5}.frac{6}{7}...frac{{400}}{{401}}} right) = frac{1}{{401}}$

Có P.P < P.Q

hay $P.P < frac{1}{{401}} < frac{1}{{400}} Rightarrow P < frac{1}{{20}}$

Bài 9:

$A = 1 + frac{1}{{1 + 2}} + frac{1}{{1 + 2 + 3}} + ... + frac{1}{{1 + 2 + ... + 8}} = 1 + frac{1}{{2.3:2}} + frac{1}{{3.4:2}} + ... + frac{1}{{8.9:2}}$

$= 1 + 2.left( {frac{1}{{2.3}} + frac{1}{{3.4}} + ...frac{1}{{8.9}}} right) = 1 + 2.left( {frac{1}{2} - frac{1}{9}} right) = 1 + 2.frac{7}{{18}} = frac{{16}}{9}$

Bài 10:

Có $left| {x - 9} right| ge 0forall x Rightarrow left| {x - 9} right| + 10 ge 10forall x$

Dấu “=” xảy ra khi x = 9

Vậy minA = 10 khi x = 9

————–

Ngoài các dạng toán toán nâng cao trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6 trên, các em học sinh lớp 6 còn có thể tham khảo đề thi học kì 1 lớp 6 hay đề thi học kì 2 lớp 6 mà Tip.edu.vn đã sưu tầm và chọn lọc. Hy vọng với những tài liệu này, các em học sinh sẽ học tốt môn Toán lớp 6 và Ngữ Văn lớp 6 hơn.

▪️ TIP.EDU.VN chia sẻ tài liệu môn Toán các lớp 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10, 11, 12 và ôn thi THPT Quốc gia, phục vụ tốt nhất cho các em học sinh, giáo viên và phụ huynh học sinh trong quá trình học tập – giảng dạy.
▪️ TIP.EDU.VN có trách nhiệm cung cấp đến bạn đọc những tài liệu và bài viết tốt nhất, cập nhật thường xuyên, kiểm định chất lượng nội dung kỹ càng trước khi đăng tải.
▪️ Bạn đọc không được sử dụng những tài nguyên trang web với mục đích trục lợi.
▪️ Tất cả các bài viết trên website này đều do chúng tôi biên soạn và tổng hợp. Hãy ghi nguồn website https://tip.edu.vn/ khi copy bài viết.

Rate this post