Tính đơn điệu của hàm số là gì? Khảo sát tính đơn điệu của hàm số bậc 4 và hàm số lượng giác

Tính đơn điệu của hàm số là gì là băn khoăn của rất nhiều bạn học sinh cấp 3. Có thể thấy, tính đơn điệu của hàm số là một chủ đề quan trọng của toán 12. Vậy các hàm số thường gặp là đơn điệu như thế nào? Tất cả những thắc mắc đó sẽ được Tip.edu.vn giải đáp cụ thể trong bài viết dưới đây.

Tính đơn điệu của một hàm là gì?

Tính đơn điệu của chức năng là tính chất quan trọng để giải nhiều dạng toán như bất bình đẳngphương trình, phương trình. Vậy tính đơn điệu của hàm là gì? Nói một cách dễ hiểu, tính đơn điệu bao gồm cả hiệp phương sai và nghịch biến của hàm.

Cụ thể: đối với hàm y = f (x)

Hàm số này đồng biến trên miền D với mọi x1, x2 thuộc D mà x1

Hàm y = f (x) nghịch biến trên miền D với mọi x1, x2 thuộc D trong đó x1 < x2, then f(x1) > f (x2) và đồ thị của hàm số có chiều hướng xuống.

Điều kiện cho tính đơn điệu của hàm

Điều kiện để hàm số y = f (x) đồng biến trên miền D:

Để y = f (x) đồng biến trên miền D thì hàm này phải thỏa mãn hai điều kiện:

• y = f (x) phải được xác định trên miền D
• Đạo hàm y ‘= f’ (x) ≥ 0 với mọi x trong D.

Điều kiện để hàm số y = f (x) nghịch biến trên miền D:

Tương tự, hàm số y = f (x) cũng phải thỏa mãn 2 điều kiện:

• y = f (x) phải được xác định trên miền D
• Đạo hàm y ‘= f’ (x) ≤ 0 với mọi x trong D.

Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số chung

Phương pháp chung để tính đơn điệu của hàm

Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x), ta cần thực hiện các bước sau:

• Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y = f (x).
• Bước 2. Tính đạo hàm f ′ (x) và tìm các điểm x0 sao cho f ′ (x0) = 0 f hoặc f ′ (x0) là ẩn số.
• Bước 3. Lập bảng xét dấu f ′ (x) nêu kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = f (x)

Phương pháp trên có thể áp dụng cho tất cả các bài tập tính đơn điệu của chức năng trắc nghiệm hoặc bài luận.

Tính đơn điệu của một hàm 3

Hàm số bậc ba có dạng: y = ax3 + bx2 + cx + d

Tìm đạo hàm y ‘= 3ax2 + 2bx + c

Nếu 3a = 0 thì hàm trở về hàm bậc nhất, áp dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm bậc nhất.

Ở đây chúng ta sẽ xem xét trường hợp 3a ≠ 0:

Để hàm số y đồng biến trên R thì: y’≥ 0 với mọi x nếu và chỉ khi a> 0 và ∆ ≤ 0.

Để hàm số y nghịch biến trên R thì: y’≤0 với mọi x nếu và chỉ khi a <0 và ∆≤0.

Tính đơn điệu của hàm số bậc hai

Các dạng bài tập về phần hàm số bậc hai này thường có dạng tính đơn điệu của hàm chứa tham số.

Đối với dạng bài tập này, chúng ta có thể giải theo hai cách:

Cách 1: cô lập tham số m, sau đó vẽ bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Tuy nhiên, đây là một thực hành chỉ nên được sử dụng khi m có lũy thừa là 1 và bạn có thể cô lập tham số này.

Cách 2: đây là cách có thể áp dụng cho mọi bài toán, đó là xét dấu của tam thức bậc hai và dựa vào bảng biến thiên để nhận xét về tính đơn điệu của hàm số đó.

Tính đơn điệu của hàm lượng giác

Dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số lượng giác cũng là một dạng bài tập quan trọng không nên bỏ qua. Đây là một dạng bài tập về tính đơn điệu của chức năng nâng cao

Đối với một hàm lượng giác phức tạp, chúng ta sẽ phải chuyển về các dạng cơ bản như y = sinx, y = cosx… Để làm được điều này, bạn cần nắm rõ các công thức lượng giác.

• y = sinU đồng dư trong khoảng (- 2 + k2, 2+ k2) và nghịch đảo trong khoảng (2+ k232+ k2)
• y = cosU đồng biến trong khoảng (- + k2 k2 ) và nghịch biến trong khoảng (k2 , + k2 )

từ đó suy ra tính đơn điệu của các hàm số y = tanU và y = cotU.

Hy vọng qua bài viết trên các bạn đã hiểu hơn về tính đơn điệu của hàm số là gì cũng như tính đơn điệu của một số hàm đơn giản. Hãy đến với Tip.edu.vn để khám phá thêm nhiều kiến ​​thức bổ ích.

Xem nội dung chi tiết bài giảng dưới đây:

https://www.youtube.com/watch?v=SF1FDEAYSBM
(Nguồn: www.youtube.com)