Tính diện tích hình phẳng: Lý thuyết, Công thức tính và Bài tập

Tính diện tích hình phẳng là một ứng dụng quan trọng của tích phân trong chương trình toán THPT. Vậy diện tích của hình phẳng là gì? Các dạng bài tập tìm diện tích hình phẳng? Làm thế nào để tìm diện tích của một hình phẳng? Trong bài viết dưới đây Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề này!

Diện tích của một hình phẳng là gì?

Trong đời sống thực tiễn cũng như khoa học kỹ thuật, chúng ta cần tính diện tích các hình phẳng phức tạp mà các công thức thông thường không tính được. Ví dụ: Diện tích mặt hồ tự nhiên, mặt cắt ngang sông… Vì vậy ta cần áp dụng tích phân để có thể tính được diện tích của các hình phức tạp đó.

Công thức tính diện tích hình phẳng cơ bản

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và các trục tọa độ

Nếu hàm (y = f (x) ) liên tục trên đoạn ([a;b]) thì diện tích (S ) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = f (x) ), trục hoành và hai đường (x = a, x = b ) là :

(S = int_ {a} ^ {b} | f (x) | dx )

Ví dụ:

Tính diện tích (S ) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = x ^ 3 -x ), đường thẳng (x = 2 ), các trục tung và hoành.

Giải pháp:

Vì trục tung có phương trình tọa độ là (x = 0 ) nên áp dụng công thức trên ta có:

(S = int_ {0} ^ {2} | x ^ 3-x | dx )

Bởi vì ( left { begin {matrix} x ^ 3-x leq 0 hspace {5mm} forall hspace {5mm} 0 leq x leq 1 \ x ^ 3-x geq 0 hspace {5mm} forall hspace {5mm} 1 leq x leq 2 end {matrix} right. )

Vì vậy chúng tôi có:

(S = int_ {0} ^ {1} (xx ^ 3) dx + int_ {1} ^ {2} (x ^ 3-x) dx )

(S = ( frac {x ^ 2} {2} – frac {x ^ 4} {4}) Big | _ {0} ^ {1} + ( frac {x ^ 4} {4} – frac {x ^ 2} {2}) Big | _ {1} ^ {2} )

(S = frac {1} {4} + frac {9} {4} = frac {5} {2} ) (thiết bị)

Công thức chung để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

Công thức tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi (y = f (x) ), (y = g (x) ) là liên tục trên ( [a;b] ) và hai dòng (x = a ), (x = b ):

(S = int_ {a} ^ {b} | f (x) -g (x) | dx )

Ví dụ:

Tìm thiết diện của hình phẳng (S ) giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số (y = x ^ 2 + 2 ) và (y = 3x )

Giải pháp:

Đầu tiên, chúng ta sẽ điều phối giao điểm của hai hàm số trên bằng cách giải phương trình:

(x ^ 2 +2 = 3x )

( Mũi tên trái x ^ 2-3x + 2 = 0 Mũi tên trái phải (x-1) (x-2) = 0 )

( Leftrightarrow left { begin {matrix} x = 1 \ x = 2 end {matrix} right. )

Vậy hình phẳng (S ) được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số (y = x ^ 2 + 2 ), (y = 3x ) và hai đường (x = 1 ), (x = 2 )

Áp dụng công thức trên ta có:

(S = int_ {1} ^ {2} | x ^ 2-3x + 2 | dx )

(= int_ {1} ^ {2} (3x-x ^ 2-2) dx )

(= ( frac {3x ^ 2} {2} – frac {x ^ 3} {3} -2x) Big | _ {1} ^ {2} = frac {1} {6} ) (dvdt)

Công thức diện tích phẳng nâng cao

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 hàm số

Vấn đề đặt ra: Tính diện tích hình phẳng (S ) giới hạn bởi đồ thị của ba hàm số: (y = f (x); y = g (x); y = h (x) )

Các bước thực hiện như sau:

• Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của từng cặp đồ thị là (x_1; x_2; x_3 ) với (x_1 leq x_2 leq x_3 )
• Bước 2: Diện tích của mặt phẳng (S ) sẽ được tính theo công thức:

(S = int_ {x_1} ^ {x_2} | u (x) | dx + int_ {x_2} ^ {x_3} | v (x) | dx )

Trong đó (u (x) ) là một hàm của phương trình cần tìm (x_1 )

(v (x) ) là một hàm của phương trình để tìm (x_2 )

Ví dụ:

Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi ba hàm: (y = 3 ^ x ), (y = 4-x ), (y = 1 )

Giải pháp:

Ta tìm tọa độ giao điểm của từng cặp hàm số:

( left { begin {matrix} 3 ^ x = 4-x Rightarrow x = 1 \ 3 ^ x = 1 Rightarrow x = 0 \ 4-x = 1 Rightarrow x = 3 end { ma trận} right. )

Vì vậy, áp dụng công thức trên, chúng ta có:

(S = int_ {0} ^ {1} | 3 ^ x -1 | dx + int_ {1} ^ {3} | 4-x-1 | dx )

(= ( frac {3 ^ x} { ln 3} -x) Big | _ {0} ^ {1} + (3x- frac {x ^ 2} {2}) Big | _ { 1} ^ {3} )

(= ( frac {3 ^ x} { ln 3} -x) Big | _ {0} ^ {1} + (3x- frac {x ^ 2} {2}) Big | _ { 1} ^ {3} = frac {2} { ln 3} +1 ) (được cung cấp)

Diện tích của một mặt phẳng giới hạn bởi một parabol

Diện tích của một mặt phẳng giới hạn bởi một parabol và một đường thẳng

Cho Parabol (y = ax ^ 2 + bx + c ) với (b ^ 2-4ac> 0 ). Khi đó diện tích của hình phẳng (S ) giới hạn bởi đồ thị của Parabol với trục hoành được tính như sau:

(S = int_ {x_1} ^ {x_2} (ax ^ 2 + bx + c) dx )

Trong đó (x_1; x_2 ) là hai nghiệm của Parabol

Bằng cách biến đổi đơn giản theo định lý Viet, từ công thức trên ta được:

(S ^ 2 = frac {(b ^ 2-4ac) ^ 3} {36a ^ 4} ) hoặc (S = frac {(b ^ 2-4ac) sqrt {b ^ 2-4ac} } {6a ^ 2} )

Công thức này thường được áp dụng trong các bài toán trắc nghiệm cần tính toán nhanh!

Ví dụ:

Tính diện tích hình phẳng (S ) giới hạn bởi Parabol (y = x ^ 2-5x +6 ) và trục hoành

Giải pháp:

Áp dụng công thức trên với (a = 1: b = -5; c = 6 ) ta có:

(S = frac {(b ^ 2-4ac) sqrt {b ^ 2-4ac}} {6a ^ 2} = frac {1} {6} ) (ví dụ)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường tròn

Với dạng toán này, chúng ta cần vẽ hình sơ bộ để nhận biết hình phẳng để tính diện tích sau đó sử dụng các công thức cơ bản nêu trên để tính toán cho phù hợp.

Chú ý: Với dạng bài toán này, khi cần tính tích phân ta sẽ sử dụng phương pháp biến thiên để tính tích phân cần tìm.

Xem chi tiết >>> Phương pháp chuyển đổi các biến trong Nguyên thủy và Tích phân

Ví dụ:

Tìm diện tích của hình phẳng (S ) giới hạn bởi Parabol (y = sqrt {2x} ) và hình tròn (x ^ 2 + y ^ 2 = 8 )

Giải pháp:

Giao của parabol và đường tròn là nghiệm của hệ phương trình:

( left { begin {matrix} y = sqrt {2x} \ x ^ 2 + y ^ 2 = 8 end {matrix} right. ) với (x geq 0 )

( Rightarrow x ^ 2 + 2x-8 = 0 Rightarrow (x-2) (x + 4) = 0 )

( Rightarrow left[begin{array}{l} x=2 \ x=-4 end{array}right.)

Vì ( x geq 0 ) nên ( x=2 )

Hoành độ giao điểm của đường tròn và trục hoành là điểm (x= 2sqrt{2}) và (x= -2sqrt{2})

Qua hình vẽ ta thấy ( S ) được chia làm hai phần gồm:

( S_1 ) là phần tô màu vàng

( S_2 ) là phần tô màu đỏ

( S= S_1 + S_2 )

( S_1 ) là hình phẳng được giới hạn bởi Parabol (y= sqrt{2x}) và hai đường thẳng ( x=0 ; x=2 ) . Vậy

(S_1 = 2int_{0}^{2}sqrt{2x} hspace{2mm} dx = 2. frac{2sqrt{2}}{3} xsqrt{x} bigg |_{0}^{2} =frac{8}{3})

( S_2 ) là hình phẳng được giới hạn bởi đường tròn (x^2 + y^2 =8) và hai đường thẳng (x=2 ; x=2sqrt{2}). Vậy

(S_2= 2 int_{2}^{2sqrt{2}} sqrt{x^2-8} hspace{2mm} dx)

Đặt (x= 2sqrt{2}sin t) với (0 leq t leq frac{pi}{2})

(Rightarrow dx = 2sqrt{2} cos t hspace{2mm}dt)

(Rightarrow S_2 =2 int_{frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}}2sqrt{2}.sqrt{8-8 sin ^2 t}. cos t hspace{2mm} dt)

(=16int_{frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}}cos^2t hspace{2mm} dt)

(=8int_{frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}} (1+ cos 2t)dt)

(=8(t+frac{sin 2t}{2}) bigg |_{frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}} =2pi -4)

Vậy (S=S_1 + S_2 = 2pi + frac{4}{3}) (đvdt)

Chú ý: Qua các ví dụ trên ta nhận thấy công thức tính diện tích tổng quát (S=int_{a}^{b} |f(x)-g(x)|dx) được sử dụng ở hầu hết các bài toán. Vì vậy đây là một công thức cơ bản quan trọng mà chúng ta cần ghi nhớ.

Bài viết trên đây của Tip.edu.vn đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về các công thức diện tích hình phẳng bằng tích phân cũng như một số dạng bài tập tính diện tích hình phẳng. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

https://www.youtube.com/watch?v=HmHSx-vAXr8
(Nguồn: www.youtube.com)