Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

By Mắt Cận Last updated Th12 30, 2023

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R Toán 12

I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
II. Bài tập tự luyện

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, tip.edu.vn xin mời các bạn tham khảo tài liệu Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R. Bộ tài liệu hướng dẫn chi tiết cách tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R và bài tập rèn luyện … được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

300 câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12 (Có đáp án)
Bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số và điểm uốn (Có đáp án)
Bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số
Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Cực trị của hàm số

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 12, tip.edu.vn mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 12 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 12. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Bản quyền thuộc về tip.edu.vn.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên $mathbb{R}$

– Định lí: Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng

+ Hàm số đồng biến trên khoảng $left( a,b right)$ khi và chỉ khi với mọi giá trị x thuộc khoảng . Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số $y=fleft( x right)$ nghịch biến trên khoảng $left( a,b right)$ khi và chỉ khi với mọi giá trị x thuộc khoảng . Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

– Để giải bài toán này trước tiên chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số y=f(x) đồng biến trên R thì điều kiện trước tiên hàm số phải xác định trên $mathbb{R}$ .

+ Giả sử hàm số y=f(x) xác định và liên tục và có đạo hàm trên $mathbb{R}$ . Khi đó hàm số y=f(x) đơn điệu trên $mathbb{R}$ khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện sau:

Hàm số y=f(x) xác định trên $mathbb{R}$ .
Hàm số y=f(x) có đạo hàm không đổi dấu trên $mathbb{R}$ .

+ Đối với hàm số đa thức bậc nhất:

Hàm số y = ax + b đồng biến trên $mathbb{R}$ khi và chỉ khi a > 0.
Hàm số y = ax + b $(a ne 0)$ nghịch biến trên $mathbb{R}$ khi và chỉ khi a < 0.

– Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:

Xét hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+dRightarrow y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$

TH1: $a=0$ (nếu có tham số)

TH2: $ane 0$

+ Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{matrix} a>0 \ Delta le 0 \ end{matrix} right.$

+ Hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{matrix} a<0 \ Delta le 0 \ end{matrix} right.$

Chú ý: Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.

– Các bước tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên $mathbb{R}$

Bước 1. Tìm tập xác định $mathbb{R}$ .
Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f’(x).
Bước 3. Biện luận giá trị m theo bảng quy tắc.
Bước 4. Kết luận giá trị m thỏa mãn.

II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=-frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+left( 3m-2 right)x+1$ . Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên

$A. left( -2,-1 right)$	$B. left[ -2,-1 right]$
$C.left( -infty ,-2 right)cup left( -1,+infty right)$	$D. left( -infty ,-2 right]cup left[ -1,+infty right)$

Hướng dẫn giải

Ta có: $y'=-{{x}^{2}}+2mx+3m-2$

Hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{matrix} a<0 \ Delta le 0 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} -1<0 \ 4{{m}^{2}}-4left( 3m-2 right)le 0 \ end{matrix}Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2le 0 right.Leftrightarrow min left[ -2,-1 right]$

Đáp án B

Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm m để hàm số nghịch biến trên .

$A. -3le mle 1$	$B. 0le mle 1$
$C.left( 0,1 right]$	$D. left[ 0,1 right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

TH1: . Hàm số nghịch biến trên

TH2: . Hàm số nghịch biến trên khi:

$left{ begin{matrix} a<0 \ Delta 'le 0 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} m<1 \ {{left( m-1 right)}^{2}}+left( m-1 right)le 0 \ end{matrix}Leftrightarrow left{ begin{matrix} m<1 \ {{m}^{2}}-mle 0 \ end{matrix} right. right.Leftrightarrow min left[ 0,1 right)$

Đáp án D

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số đồng biến trên .

$A. -4le mle -frac{1}{4}$	$B. -4< m< -frac{1}{4}$
$C.left[ begin{matrix} m<-4 \ m>-frac{1}{4} \ end{matrix} right.$	$D. left[ begin{matrix} mle -4 \ mge -dfrac{1}{4} \ end{matrix} right.$

Hướng dẫn giải

$y'=3{{x}^{2}}+4left( m+1 right)x-3m$

Để hàm số đồng biến trên thì:

$left{ begin{matrix} a>0 \ Delta 'le 0 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} 1>0 \ 4{{left( m+1 right)}^{2}}+9m \ end{matrix}Leftrightarrow min left[ -4,-frac{1}{4} right] right.$

Đáp án A

Ví dụ 4: Cho hàm số . Tìm tất cả giá trị của m sao cho hàm số luôn nghịch biến.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D=mathbb{R}$

Tính đạo hàm:

TH1: Với m = 1 ta có

Vậy m = 1 không thỏa mãn điều kiện đề bài.

TH2: Với ta có:

Hàm số luôn nghịch biến

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số $y=frac{1}{3}left( m+3 right){{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+mx$ nghịch biến trên $mathbb{R}$

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D=mathbb{R}$

Đạo hàm: $y'=left( m+3 right){{x}^{2}}-4x+m$

TH1: Với m = -3 $Rightarrow y'=-4x-3Rightarrow m=-3$ (thỏa mãn)

Vậy m = -3 hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$

TH2: Với $mne -3$

Hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$ khi $y'le 0,forall x$

$begin{align} & Rightarrow left( m+3 right){{x}^{2}}-4x+mle 0,forall xRightarrow left{ begin{matrix} m+3<0 \ -{{m}^{2}}-3m+4le 0 \ end{matrix} right. \ & Leftrightarrow mle -4 \ end{align}$

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Hàm số nào đồng biến trên ?

$A. fleft( x right)={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+4$	$B. fleft( x right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+10x+2$
$C.fleft( x right)=-frac{4}{5}{{x}^{5}}+frac{4}{3}{{x}^{3}}-x$	$D. fleft( x right)={{x}^{3}}+10x-{{cos }^{2}}x$

Câu 2: Cho hàm số . Hỏi hàm số đồng biến trên khi nào?

$A. left[ begin{matrix} a=b=c=0 \ a<0,{{b}^{2}}-3ac<0 \ end{matrix} right.$	$B. left[ begin{matrix} a=b=0,c>0 \ a<0,{{b}^{2}}-3acle 0 \ end{matrix} right.$
$C. left[ begin{matrix} a=b=0,c>0 \ a>0,{{b}^{2}}-3acle 0 \ end{matrix} right.$	$D. left[ begin{matrix} a=b=0,c>0 \ a>0,{{b}^{2}}-3acge 0 \ end{matrix} right.$

Câu 3: Cho các hàm số sau:

$(1): y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+1$

$(2): y=-sqrt{{{x}^{3}}+2}$

$(3): y=-2x+sin x$

$(4): y=frac{2-x}{x-1}$

Hàm số nào nghịch biến trên $mathbb{R}$ ?

$A. left( 1 right),left( 2 right)$	$B. left( 1 right),left( 2 right),left( 3 right)$
$C. left( 1 right),left( 2 right),left( 4 right)$	$D. left( 2 right),left( 3 right)$

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số luôn nghịch biến trên $mathbb{R}$

$A. -3le mle 1$	$B. mle 1$
$C.-3< m< 1$	$D. mge -3$

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số luôn đồng biến trên

$A. -1le mle 1$

$B. m>frac{sqrt{3}}{2}$ $C.m<frac{1}{2}$

$D. left[ begin{matrix} mge 1 \ mle -1 \ end{matrix} right.$

Câu 6: Cho hàm số $y=frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-mx-m$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hàm số luôn đồng biến trên $mathbb{R}$

$A. m=0$	$B. m=-1$
$C.m=-5$	$D. m=-6$

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) = x³ – 6x² + 9x – 1. Phương trình f(x) = -13 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0	B. 3
C. 2	D. 1

Câu 8: Xác định giá trị của m để hàm số y = $dfrac{1}{2}$ x³ – mx² + (m + 2)x – (3m – 1) đồng biến trên $mathbb{R}$

A. m < -1	B. m > 2
C. -1 ≤ m ≤ 2	D.-1 < m < 2

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y = $dfrac{1}{3}$ x³ – mx² +(2m – 3) – m + 2 luôn nghịch biến trên $mathbb{R}$

A. -3 ≤ m ≤ 1	B. m ≤ 2
C. m ≤ -3; m ≥ 1	D. -3 < m < 1

Câu 10: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng y = x³ – 3mx² đồng biến trên $mathbb{R}$

A. m ≥ 0	B. m ≤ 0
C. m < 0	D. m =0

Câu 11: Cho hàm số: y = $dfrac{-1}{3}$ x³ + (m +1)x² – (m + 1) + 2. Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

A. m > 4	B. -2 ≤ m ≤ -1
C. m < 2	D. m < 4

Câu 12: Cho hàm số: y = $dfrac{-1}{3}$ x³ + 2x² – mx + 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

A. m ≥ 4	B. m ≤ 4
C. m > 4	D. m < 4

Câu 13: Tìm tham số m để hàm số $y=frac{{x - m}}{{x + 1}}$ đồng biến trên tập xác định của chúng:

A. m ≥ -1	B. m ≤ -1
C. m ≤ 1	D. m ≥ 2

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:

a. y = (m + 2). $frac{x^3}{3}$ – ( m + 2)x² – (3m – 1)x + m² đồng biến trên $mathbb{R}$ .

b. y = (m – 1)x³ – 3(m – 1)x² + 3(2m – 3)x + m nghịch biến trên $mathbb{R}$ .

——————————————————————–

Trên đây Tip.edu.vn đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R. Để có kết quả cao hơn trong học tập, tip.edu.vn xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà tip.edu.vn tổng hợp và đăng tải.

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

45 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án môn Toán lớp 12: Tính đơn điệu của hàm số
Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
100 bài tập trắc nghiệm chuyên đề hàm số có đáp án
Trắc nghiệm Toán 12 chương 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

▪️ TIP.EDU.VN chia sẻ tài liệu môn Toán các lớp 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10, 11, 12 và ôn thi THPT Quốc gia, phục vụ tốt nhất cho các em học sinh, giáo viên và phụ huynh học sinh trong quá trình học tập – giảng dạy.
▪️ TIP.EDU.VN có trách nhiệm cung cấp đến bạn đọc những tài liệu và bài viết tốt nhất, cập nhật thường xuyên, kiểm định chất lượng nội dung kỹ càng trước khi đăng tải.
▪️ Bạn đọc không được sử dụng những tài nguyên trang web với mục đích trục lợi.
▪️ Tất cả các bài viết trên website này đều do chúng tôi biên soạn và tổng hợp. Hãy ghi nguồn website https://tip.edu.vn/ khi copy bài viết.

Rate this post