Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy – Chuyên đề ba đường thẳng đồng quy

Ba đường thẳng đồng quy là dạng toán thường gặp trong các bài toán hình học THCS và THPT. Vậy ba đường thẳng đồng quy là gì? Bài toán tìm m để 3 đường thẳng đồng quy? Điều kiện của 3 đường thẳng đồng quy? Làm thế nào để chứng minh rằng 3 đường thẳng đồng quy? …. Trong bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp các bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy cũng như nội dung liên quan, hãy cùng tìm hiểu nhé !.

Ba đường thẳng đồng quy là gì?

Định nghĩa ba đường thẳng đồng quy: Cho ba đường thẳng (a, b, c ) không trùng nhau. Sau đó, chúng ta nói rằng ba đường (a, b, c ) đồng thời khi ba đường thẳng đó đi qua một điểm (O ) nào đó.

Ba đường thẳng đồng quy trong mặt phẳng

Đồ thị hàm số đồng quy ba đường

Đây là một vấn đề về chức năng. Để chứng minh rằng ba đường thẳng bất kỳ đồng quy tại một điểm, ta cần tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng đó. Khi đó ta chứng minh rằng đường thẳng còn lại cũng đi qua giao điểm nói trên

Ví dụ:

Trong mặt phẳng (Oxy ) cho phương trình ba đường thẳng:

( left { begin {matrix} a: x-y + 6 = 0 \ b: 3x-y + 7 = 0 \ c: (m-2) x + y-1 = 0 end { ma trận} right. )

Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy?

Giải pháp:

Đầu tiên, chúng ta tìm giao điểm (O ) của (a ) và (b )

Vì (O = a cap b Rightarrow ) tọa độ của (O ) là nghiệm của hệ phương trình:

( left { begin {matrix} x-y + 6 = 0 \ 3x-y + 7 = 0 end {matrix} right. )

( Leftrightarrow left { begin {matrix} x = – frac {1} {2} \ y = frac {11} {2} end {matrix} right. )

( Rightarrow O (- frac {1} {2}; frac {11} {2}) )

Để ba dòng (a, b, c ) đồng thời, thì (O (- frac {1} {2}; frac {11} {2}) in c )

( Rightarrow (2-m). Frac {1} {2} + frac {11} {2} -1 = 0 )

( Leftrightarrow m = 11 )

Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy lớp 9

Trong các bài toán hình học phẳng ở THCS, để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, ta có thể dùng các phương pháp sau:

• Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó, rồi chứng minh rằng đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.
• Sử dụng thuộc tính đồng thời trong tam giác:
  • Ba trung tuyến của một tam giác đồng quy tại trọng tâm của tam giác.
  • Ba đường phân giác hội tụ tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
  • Ba đường phân giác vuông góc đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
  • Ba đường cao đồng quy tại trực tâm của tam giác.
• Đặc biệt, ba tâm, trực tâm và chu vi thẳng hàng. Đường thẳng đi qua ba điểm này được gọi là Đường thẳng của Euler của tam giác
• Sử dụng định lý Ceva: Cho tam giác (ABC ) và ba điểm bất kỳ (M, N, P ) nằm trên ba cạnh (BC, CA, AB ). Khi đó ba dòng (AM, BN, CP ) đồng thời nếu và chỉ khi: ( frac {MB} {MC}. Frac {NC} {NA}. Frac {PA} {PB} = 1 )

• Sử dụng bằng chứng mâu thuẫn: Giả sử rằng ba đường thẳng đã cho không đồng thời. Từ đó dẫn đến những điều vô lý

Ví dụ 1:

Cho tam giác (ABC ). Qua mỗi đỉnh (A, B, C ) kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, lần lượt cắt nhau tại (F, D, E ). Chứng minh rằng ba đường thẳng (AD, BE, CF ) đồng quy.

Giải pháp:

Chúng ta có:

( left { begin {matrix} AE || BC \ AB || CE end {matrix} right. Rightarrow ABCE ) là một hình bình hành

( Rightarrow AE = BC )

Chứng minh tương tự ta cũng có (ACBF ) là hình bình hành

( Rightarrow AF = BC )

( Rightarrow AE = AF Rightarrow ) A là trung điểm (EF )

Tương tự, chúng ta cũng có: (B ) là trung điểm (DF )

(C ) là trung điểm (DE )

Do đó, (A, B, C ) là trung điểm của ba cạnh của tam giác (DEF )

Vậy ( Mũi tên phải AD, BE, CF ) đồng quy tại trọng tâm tam giác (DEF )

Ví dụ 2:

Cho tam giác (ABC ) với đường cao (AH ). Lấy (D, E ) trên (AB, AC ) sao cho (AH ) là tia phân giác của góc ( widehat {DHE} ). Chứng minh rằng ba đường thẳng (AH, BE, CD ) đồng quy.

Giải pháp:

Qua (A ) kẻ đường thẳng song song với (BC ) cắt (HD, HE ) lần lượt tại (M, N ).

Bởi vì ( left { begin {matrix} MN || BC \ AH bot BC end {matrix} right. Rightarrow AH bot MN )

Mặt khác (AH ) là tia phân giác ( widehat {MHN} )

( Rightarrow AH ) vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác (MHN )

( Rightarrow Delta MHN ) bằng (H ) và (AH ) cũng là trung bình của (MN )

( Rightarrow AM = AN ; ; ; ; (1) )

Vì (MN || BC ) chúng ta có:

( Delta DMA sim Delta DHB Rightarrow frac {AD} {BD} = frac {MA} {HB} ; ; ; ; (2) )

Tương tự, chúng ta cũng có:

( Delta ENA sim Delta EHC Rightarrow frac {AE} {CE} = frac {NA} {HC} ; ; ; ; (3) )

Từ ((1) (2) (3) ) chúng ta có:

( frac {DA} {DB}. frac {HB} {HC}. frac {EC} {EA} = frac {MA} {HB}. frac {HB} {HC}. frac { HC} {NA} = frac {AM} {AN} = 1 )

Vì vậy, áp dụng định lý Ceva cho ( Delta ABC Rightarrow ) ba đường thẳng (AH, BE, CD ) thẳng hàng.

Ba dòng đồng thời trong không gian

Trong không gian cho ba dòng (a, b, c ). Để chứng minh ba đường thẳng này cắt nhau, ta có thể sử dụng hai cách sau:

• Phương pháp 1:

Tìm (I = a cap b )

Tìm hai mặt phẳng ((P), (Q) ) chứa (I ) thoả mãn (c = (P) cap (Q) ). Sau đó rõ ràng là (Tôi trong c )

• Phương pháp 2:

Ta áp dụng định lý: Nếu (3 ) một mặt phẳng kép cắt nhau bởi (3 ) giao tuyến thì (3 ) giao tuyến đó song song hoặc đồng quy.

Áp dụng cho bài toán, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng ba đường thẳng (a, b, c ) không đồng phẳng và cắt nhau một nửa.

Ví dụ 1:

Cho hai hình bình hành (ABCD, ABEF ) nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường (EC, DF ) lần lượt lấy hai điểm (M, N ) sao cho (AM, BN ) cắt nhau. Gọi (I, K ) lần lượt là giao điểm của các đường chéo của hai hình bình hành. Chứng minh rằng ba đường thẳng (IK, AM, BN ) đồng quy.

Giải pháp:

Gọi (O = AM cap BN )

Xét hai mặt phẳng ((ACE), (BDF) ) ta có:

( left { begin {matrix} AC cap BD = I \ AE cap BF = K end {matrix} right Rightarrow IK = (AEC) cap (BDF) ; ; ; ; (đầu tiên))

Mặt khác, chúng tôi có:

( left { begin {matrix} O = AM cap BN \ AM in (AEC) \ BN in (BDF) end {matrix} right. Rightarrow O ) nằm trên cả hai mặt phẳng ((ACE), (BDF) ; ; ; ; (2) )

Từ ((1) (2) Mũi tên phải O trong KI )

Vì vậy (AM, BN, KI ) đồng thời tại (O )

Ví dụ 2: Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy.

Tìm m để (d1): y = 2x + 1; (d2): y = -x-2; (d3): y = (m-1) x – 4

Tìm m để 3 đường thẳng đó đồng quy và vẽ hình để minh họa.

Giải pháp:

Xét phương trình tọa độ giao điểm của (d1) và (d2)

y = 2x + 1 = -x-2

⇔ 3x = -3 x = -1

Vậy ta có y = 2 (-1) + 1 = -1

Vậy giao điểm của (d1) và (d2) là I (-1; -1).

Để ba đường thẳng đồng quy (cắt nhau) thì điểm I phải nằm trên đường thẳng (d3).

=> -1 = (m – 1) (- 1) – 4

⇔ m = -2

Khi đó phương trình của đường thẳng (d3): y = -3x – 4

Bài tập ba đường thẳng đồng quy

Dưới đây là một số bài tập về 3 đoạn thẳng đồng quy để bạn đọc tự luyện tập:

Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy 9

Trong mặt phẳng (Oxy ) cho ba đường thẳng:

( left { begin {matrix} d_1: y = 2x + 1 \ d_2: y = -x-2 \ d_3: (m-1) x-4 end {matrix} right. )

Tìm giá trị của (m ) để ba đường thẳng trên đồng quy.

Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy

Cho tứ giác lồi (ABCD ) và tam giác (ABM ) nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các cạnh (MA, MB ) của tam giác (MAB ) ta lấy các điểm tương ứng (A ‘, B’ ) sao cho các đường (CA ‘, DB’ ) cắt nhau. Gọi (H ) là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác (ABCD ). Chứng minh rằng các đường thẳng (MH, CA ‘, DB’ ) đồng quy.

Ba đường thẳng đồng thời tại một điểm

Qua các điểm (A, D ) nằm trên đường tròn kẻ các đường tiếp tuyến, chúng cắt nhau tại (S ). Trên cung (AD ) lấy các điểm (A, B ). Các đường (AC, BD ) cắt nhau tại điểm (P ). Chứng minh rằng ba đường thẳng (AB, CD, SP ) đồng quy

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết cũng như phương pháp chứng minh 3 đường thẳng đồng quy. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề ba đường thẳng đồng quy. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem nội dung chi tiết bài giảng dưới đây:

Phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy lớp 7

Chứng minh ba đường thẳng đồng quy lớp 9

Phương pháp chứng minh thẳng hàng, đồng quy lớp 11

https://www.youtube.com/watch?v=NlvBaqoRqCg
(Nguồn: www.youtube.com)