Tích vô hướng của hai vectơ: Một số dạng bài tập và Ứng dụng

Tích dấu chấm của hai vectơ là một phần vô cùng quan trọng trong chương trình toán THPT. Vậy tích chấm của hai vectơ là gì? Nêu định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích chấm của hai vectơ? Hãy Tip.edu.vn Cùng tìm hiểu chủ đề tích dấu chấm của hai vectơ lớp 10 qua bài viết dưới đây nhé!

Tích của hai vectơ là gì?

Xác định tích số chấm của hai vectơ

Tích số chấm của hai vectơ ( vec {a} ) và ( vec {b} ) là một số, được ký hiệu là ( vec {a}. Vec {b} ), được định nghĩa bởi công thức ( vec {a}. vec {b} = left | vec {a} right |. left | vec {b} right | .cos ( vec {a}, vec {b}) ) (1)

Lưu ý về tích số chấm của hai số 10. vectơ lớp

Với ( vec {a} ) và ( vec {b} ) khác với ( vec0} ), chúng ta có:

( vec {a}. vec {b} = 0 Leftrightarrow vec {a} perp vec {b} )

Hai vectơ (khác vectơ 0) vuông góc với nhau nếu và chỉ khi tích chấm của chúng bằng 0.

Khái niệm bình phương vô hướng là gì?

Khi ( vec {a} = vec {b} ) thì công thức (1) trở thành:

( vec {a}. vec {a} = left | vec {a} right |. left | vec {a} right | .cos0 ^ { circle} = left | vec {a} right | ^ 2 )

Mọi người ký hiệu sản phẩm dấu chấm ( vec {a}. Vec {a} ) là (( vec {a}) ^ 2 ) hoặc đơn giản là ( vec {a} ^ 2 ) và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ ( vec {a} ).

Do đó, chúng ta có:

( vec {a} ^ 2 = left | vec {a} right |. left | vec {a} right | .cos0 ^ { circle} = left | vec {a} phải | ^ 2 )

Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương chiều dài của vectơ ở đó.

Các thuộc tính của sản phẩm chấm

Cho hai số thực a và b, ta có ab = ba; a (b + c) = ab + ac. Vì vậy, với hai vectơ ( vec {a} ) và ( vec {b} ), chúng ta có các thuộc tính tương tự.

Cho ba vectơ tùy ý ( vec {a}, vec {b}, vec {c} ) và tất cả các số thực k, chúng ta có:

( vec {a}. vec {b} = vec {b}. vec {a} ) (Thuộc tính giao hoán)

((k vec {a}). vec {b} = vec {a}. (k vec {b}) = k ( vec {a}. vec {b}) )

( vec {a}. ( vec {b} + vec {c}) = vec {a}. vec {b} + vec {a}. vec {c} ) (Thuộc tính) phân phối để bổ sung)

Biểu thức tọa độ của sản phẩm chấm

Trên mặt phẳng tọa độ ((O; vec {i}, vec {j}) ), cho hai vectơ ( vec {a} = (a_ {1}, a_ {2}), , vec {b} = (b_ {1}, b_ {2}) ).

Sau đó, chúng tôi có công thức:

( vec {a}. vec {b} = a_ {1} .b_ {1} + a_ {2} .b_ {2} )

Nhận xét:

hai vectơ ( vec {a} = (a_ {1} .a_ {2}) ) và ( vec {b} = (b_ {1} .b_ {2}) ) khác vectơ ( vec {0} ) vuông góc nếu và chỉ khi (a_ {1} .b_ {1} + a_ {2} .b_ {2} = 0 )

( vec {a} perp vec {b} Leftrightarrow a_ {1} .b_ {1} + a_ {2} .b_ {2} = 0 )

Ứng dụng tích điểm của hai vectơ

Từ biểu thức tọa độ của tích chấm, suy ra các quan hệ quan trọng sau, có thể tính được: độ dài và góc của hai vectơ biết tọa độ của chúng và tính khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ của hai điểm đó.

Chiều dài của vectơ

Chiều dài của vectơ ( vec {a} = (a_ {1}; a_ {2}) ) được tính bằng công thức

( left | vec {a} right | = sqrt {a_ {1} ^ 2 + a_ {2} ^ 2} )

Góc giữa hai vectơ

Với hai vectơ ( vec {a} = (a_ {1}; a_ {2}) ) và ( vec {b} = (b_ {1}; b_ {2}) ) khác với ( vec {0} ), từ định nghĩa của tích số chấm và quan hệ độ dài ở trên, chúng ta suy ra góc giữa hai vectơ được xác định theo quan hệ sau:

(cos ( vec {a}, vec {b}) = frac { vec {a}. vec {b}} { left | vec {a} right |. left | vec {b} right |} = frac {a_ {1} .b_ {1} + a_ {2} .b_ {2}} { sqrt {a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2}. sqrt {b_1 ^ 2 + b_2 ^ 2}} )

Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm (A (x_ {A}; y_ {A}), B (x_ {B}; y_ {B}) ) được tính theo công thức sau:

(AB = sqrt {(x_ {B} – x_ {A}) ^ 2 + (y_ {B} – y_ {A}) ^ 2} )

Tích của 2 vectơ và cách giải

Dạng 1: Xác định biểu thức của tích chấm, góc giữa hai vectơ

• Phương pháp:

Dựa trên định nghĩa ( vec {a}. Vec {b} = left | vec {a} right |. Left | vec {b} right | .cos ( vec {a}; vec {b}) )

Sử dụng thuộc tính và các hằng đẳng thức của tích số chấm của 2 vectơ

Ví dụ 1: Cho ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, BC = 2a. Tính tích số chấm ( vec {BA}. Vec {BC}

Giải pháp:

Theo định nghĩa của sản phẩm dot, chúng tôi có:[latex] vec {BA}. vec {BC} = left | vec {BA} right |. left | vec {BC} right | cos vec {BA}; vec {BC} = 2a ^ 2cos vec {BA}, vec {BC} )

Ngược lại (cos vec {BA}, vec {BC} = cosABC = frac {a} {2a} = frac {1} {2} )

Vì vậy, ( vec {BA}. Vec {BC} = a ^ 2 )

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức về tích chấm hoặc độ dài đoạn thẳng

• Phương pháp:

Nếu phương trình chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng, thì chúng ta chuyển đổi cạnh vectơ theo đẳng thức (AB ^ 2 = vec {AB} ^ 2 )

Sử dụng các thuộc tính của tích dấu chấm, các quy tắc của phép toán vectơ

Sử dụng bình đẳng vectơ cho sản phẩm chấm

Ví dụ 2: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng ( vec {MA}. Vec {MB} = IM ^ 2 – IA ^ 2 )

Giải pháp:

Đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành ( vec {MA}. Vec {MB} = vec {IM ^ 2} – vec {IA ^ 2} )

Để xuất hiện ( vec {IA}, vec {IM} ) ở phía bên phải, sử dụng quy tắc ba điểm để chèn điểm tôi vào, chúng ta nhận được:

(VT = vec {MI} + vec {IA}. Vec {MI} + vec {IB} = vec {MI} + vec {IA}. Vec {MI} – vec {IA } = vec {IM} ^ 2 – vec {IA} ^ 2 = VP ) (đpcm)

Trên đây là những kiến ​​thức liên quan đến chủ đề Tích của 2 vectơ. Hi vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin hữu ích phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của bản thân về tích dấu chấm của hai vectơ. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem nội dung chi tiết bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)
Xem thêm >>> Vectơ chỉ phương của đoạn thẳng là gì? Phương trình tham số của đường thẳng