Tích phân từng phần – Các dạng bài tập và Cách giải tích phân từng phần

Tích phân theo bộ phận là một vấn đề quan trọng trong môn toán lớp 12. Vậy công thức tích phân từng phần là gì? Và cách làm các bài tập về tích phân theo từng phần như thế nào? Hãy cùng Tip.edu.vn tìm hiểu qua bài viết dưới đây nhé!

Tích phân theo công thức bộ phận

Tích phân từng phần là một kiểu phân tích các hàm dựa trên việc phân tích các đạo hàm và nguyên hàm của các hàm đó. Đây là cách chuyển đổi sản phẩm của các nguyên thủy thành một nguyên mẫu mới, đơn giản hơn.

Để tính tích phân theo bộ phận, người ta thường áp dụng các công thức sau:

Giả sử u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm liên tục trong miền D, thì ta có:

• Công thức nguyên thủy: udv = uv – vdu
• Công thức tích phân: mộtbudv = b một – mộtbvdu

Đối với loại phần tích phân, chúng ta cần quan tâm đến thứ tự ưu tiên đặt u. Trước hết, cần đặt u và v sao cho du và dv dễ tính nhất. Cách đơn giản nhất là chọn ku và kv với k = 1. Vì nếu k là số khác 1 thì đạo hàm sẽ phức tạp và rắc rối hơn. Cách đặt tích phân theo từng bộ phận rất quan trọng. Vị trí càng đơn giản thì càng dễ giải, bài toán sẽ càng đơn giản.

>>> Bấm Xem thêm: Lũy thừa là gì? Quyền hạn của Sản phẩm và Quyền hạn của Quyền hạn

Tích phân theo phương pháp bộ phận

Cách làm từng phần một bao gồm các bước sau:

Bước 1: Biến đổi biểu thức ban đầu về dạng I = mộtbf (x). g (x) dx

Bước 2: đặt {u = f (x) dv = g (x) dx suy ra {du = f ‘(x) dx v = g (x) dx

Bây giờ chúng ta cần chọn v là một nguyên hàm của g (x).

Bước 3: Sau đó, tôi = mộtbudv = b một – mộtbvdu

Khi đặt bạn có thể đặt hàng theo lời khuyên: log thứ nhất thứ hai đa giác bậc hai. Vì với cài đặt này, tính toán đạo hàm riêng sẽ đơn giản hơn.

Một số dạng sản phẩm từng phần

Dạng 1: tách tích phân thành 2 phần, mỗi phần 1 phần sao cho phần dư giảm vdu

Vấn đề chung: tìm nguyên thủy: I = e2x (x2 + 4x +1) dx

Thông thường, chúng tôi sẽ đặt u = x2 + 4x +1. Tuy nhiên, với cách làm này, chúng ta sẽ phải tích hợp 2 lần. Vì vậy, để tiết kiệm thời gian và làm cho vấn đề đơn giản hơn, chúng ta có thể đặt: {u = x2 dv = e2xde suy ra: du = 2xdx và v = 1 / 2eGấp đôi

Bây giờ, -vdu = -xeGấp đôi dx. Vì vậy, chúng tôi đã phá hủy tất cả những chiếc xeGấp đôi vì vậy hãy thêm u + 3x để phần còn lại chỉ là ô tôGấp đôi.

Dạng 2: thêm hằng số cho v

Trong các bài toán chứa mẫu số, ta nên chọn cho v một hằng số C thích hợp để thành phần vdu thu gọn phân số.

Ví dụ, tích phân: 04ln (sinx + cosx)cos2x

Cho u = ln (sinx + cosx) được: du = cosx -sinxsinx + cosxdx và V = Đầu tiêncox2xdx

Chọn v = tan x +1 = sinx + cosxcosx

Thông thường, chúng ta thường chọn v = tan x, nhưng với dạng bài toán tích phân từng phần này, chúng ta nên thêm hằng số C = 1 vào ví dụ để làm cho bài toán đơn giản hơn.

Cuối cùng, bạn chỉ cần nhập số và tính toán như bình thường.

Để các biểu thức được tích phân là logarit, chúng ta cũng có thể sử dụng tích phân từng phần bằng cách biến u thành hàm logarit và dv = dx.

Qua hai dạng bài trên có thể thấy để làm được tích phân nói riêng và tích phân theo phần nói chung, các em cần nắm được các công thức và quy tắc tính đạo hàm. Từ đó giúp cho việc vận dụng và xử lý vấn đề một cách linh hoạt và suôn sẻ hơn.

Hi vọng qua bài viết trên các bạn đã hiểu rõ hơn về tích phân bằng phần, phương pháp hay cũng như một số cách giải bài toán đơn giản hơn. Đây là dạng toán không khó nhưng cần sự chú ý và tập trung cao độ khi học. Bên cạnh bài soạn Tích phân từng phần, các em nhớ truy cập Tip.edu.vn để tìm hiểu thêm nhiều kiến ​​thức nhé.