Thiết diện là một dạng toán khó và thường gặp trong chương trình Toán THPT. Vậy thiết diện là gì? Công thức tính thiết diện Cách xác định thiết diện của hình hộp như nào? Lý thuyết cách xác định thiết diện trong quan hệ song song, vuông góc? Các dạng bài tập về diện tích thiết diện?… Trong nội dung bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề thiết diện là gì, cùng tìm hiểu nhé!
Định nghĩa thiết diện là gì?
Cho hình (mathbb{T}) và mặt phẳng ( (P) ), phần mặt phẳng của ( (P) ) nằm trong (mathbb{T}) được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do ( (P) ) cắt một số mặt của (mathbb{T}) được gọi là thiết diện.
Theo cách khác, thiết diện được định nghĩa là các đoạn giao tuyến giữa mặt phẳng và hình chóp khi nối nhau sẽ tạo ra một đa giác phẳng. Đó chính là thiết diện (hay còn gọi là mặt cắt) của mặt phẳng với hình chóp đó.
Ví dụ 1: Cho hình chóp ( S.ABCD ). Lấy ( M ) là trung điểm ( SA ). Khi đó mặt phẳng ( (P) ) đi qua ( M ) và song song với mặt phẳng đáy sẽ cắt hình chóp. Thiết diện là tứ giác ( MNPQ ) với ( N,P,Q ) lần lượt là trung điểm ( SB,SC,SD )
Cách xác định thiết diện trong quan hệ song song và vuông góc
Từ định nghĩa thiết diện là gì, chúng ta cùng nhau tìm hiểu về cách xác định thiết diện trong quan hệ song song, vuông góc. Nhìn chung, để tìm thiết diện tạo bởi hình (mathbb{T}) và mặt phẳng ( (P) ) ta làm như sau :
- Bước 1: Tìm giao điểm của mặt phẳng ( (P) ) với các cạnh của hình (mathbb{T}). Ta có thể tìm giao điểm của ( (P) ) với các mặt của hình (mathbb{T}) rồi từ đó xác định các giao điểm với các cạnh.
- Bước 2: Nối các giao điểm tìm được ở trên. Hình đa diện được tạo bởi các đa diện đó chính là thiết diện cần tìm.
Chú ý: Để tìm thiết diện chúng ta sẽ cần sử dụng một số quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
- Cho đường thẳng ( d in ( P) ). Mặt phẳng ( (Q) ) song song với ( d ) và cắt ( (P) ) tại giao tuyến là đường thẳng ( d’ ). Khi đó ( d || d’ )
- Cho hai mặt phẳng ( (P),(Q) ) thỏa mãn : (left{begin{matrix} (P) bot (Q) \ (P) cap (Q ) =d end{matrix}right.). Khi đó nếu (left{begin{matrix} d’ in (P) \ d’ bot d end{matrix}right. Rightarrow d’ bot (Q))
Cách xác định thiết diện trong quan hệ song song
Bài toán xác định thiết diện song song với đường thẳng.
Ví dụ 2:
Cho hình chóp ( S.ABCD ) có đáy ( ABCD ) là hình bình hành. Gọi ( M ) là một điểm bất kì nằm trên ( SA ). Mặt phẳng ( (P) ) đi qua ( M ) và song song với ( AB ) và ( SC ). Xác định thiết diện của ( S.ABCD ) cắt bởi ( (P) )
Cách giải:
Vì ( (P) || AB ) và ( AB in (SAB) ) nên
(Rightarrow) giao tuyến của ( (P) ) và ( (SAB) ) song song với ( AB )
Trong mặt phẳng ( (SAB) ) dựng ( MN ) song song với ( AB ). Khi đó ((P) cap SB =N)
Ta có:
(left{begin{matrix} (P) || SC \ SC in (SBC) end{matrix}right. Rightarrow SC || ((P)cap (SBC)))
Như vậy : ((P) cap BC = P) với ( NP || SC )
Tương tự:
(left{begin{matrix} (P) || BC \ BC in (ABCD) end{matrix}right. Rightarrow SC || ((P)cap (ABCD)))
Như vậy: ((P) cap AD = Q ) với ( PQ || AB )
Vậy ( MNPQ ) là thiết diện cần tìm.
Cách xác định thiết diện trong quan hệ vuông góc
Từ khái niện thiết diện là gì, hãy cùng Tip.edu.vn tìm hiểu qua bài toán xác định thiết diện vuông góc với đường thẳng.
Phương pháp:
Cho mặt phẳng (α) cùng với đường thẳng a không vuông góc với (α). Hãy xác định mặt phẳng (β) chứa a và vuông góc với (α).
Cách giải:
- Đầu tiên ta cần chọn một điểm A∈a
- Tiếp theo dựng đường thẳng b đi qua A và vuông góc với (α). Khi đó mp (a,b) chính là mặt phẳng (β).
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, bên cạnh đó SA ⊥ (ABCD). Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD). Vậy (α) cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?.
Cách giải:
Diện tích thiết diện là gì?
Diện tích thiết diện là gì? Đây hẳn là câu hỏi được rất nhiều học sinh quan tâm. Diện tích thiết diện theo định nghĩa chính là diện tích phần mặt cắt (thiết diện) được tạo bởi mặt phẳng ( (P) ) và hình (mathbb{T}) như đã nói ở trên.
Cách tính thiết diện?
Để tính được diện tích thiết diện thì ta cần sử dụng một số công thức tính diện tích hình phẳng như hình tam giác, hình chữ nhật ,… Sau đó ta có thể chia nhỏ thiết diện thành các hình đơn giản trên để tính toán rồi sau đó cộng lại.
Ví dụ 4:
Cho hình chóp ( S.ABCD ) có đáy là hình vuông tâm ( O ) và ( AB=a ). Biết rằng ( SA bot (ABCD) ) và ( SA = asqrt{2} ). Mặt phẳng ( (P) ) đi qua ( B ) và vuông góc vuoonlt SC [/latex]. Tính diện tích thiết diện của hình chóp ( S.ABCD ) cắt bởi mặt phẳng ( (P) )
Cách giải:
Ta có:
(SA bot (ABCD) Rightarrow SA bot BD)
( BD bot AC ) ( do là hai đường chéo của hình vuông ( ABCD ) )
(Rightarrow BD bot (SAC))
(Rightarrow BD bot SC ;;;; (1))
Trong mặt phẳng ( (SAC) ) kẻ ( OE bot SC ;;;; (2) )
Từ ( (1)(2) Rightarrow (BED) bot SC )
Vậy mặt phẳng ( (BED) ) chính là mặt phẳng ( (P) ) và thiết diện cần tìm là tam giác ( BED )
Vì hình vuông ( ABCD ) có độ dài cạnh ( AB=a ) nên (Rightarrow ) đường chéo ( AC = BD = asqrt{2} ;;;; (3) )
Trong mặt phẳng ( (SAC) ) xét tam giác ( SAC ) vuông tại ( A ).
(Rightarrow SC = sqrt{SA^2+AC^2 }=2a)
(OC = frac{AC}{2} =frac{a}{sqrt{2}})
Xét (Delta SAC) và (Delta OEC) có :
(widehat{A} = widehat{E} =90^{circ})
(widehat{C} ) chung
(Rightarrow Delta SAC sim Delta OEC)
Vậy ta có :
(frac{OE}{SA} = frac{OC}{SC} Rightarrow OE =frac{OC.SA}{SC}=frac{frac{a}{sqrt{2}}.asqrt{2}}{2a}=frac{a}{2} ;;; (4) )
Vì ( BD bot (SAC ) nên ( BD bot EO ;;;; (5) )
Từ ( (3)(4)(5) ) ta có :
(S_{BED}=frac{BD.EO}{2}=frac{asqrt{2}.frac{a}{2}}{2}=frac{a^2}{2sqrt{2}})
Vậy diện tích thiết diện là (frac{a^2}{2sqrt{2}}) đơn vị diện tích
Công thức tính thiết diện của một số hình đặc biệt
Các ví dụ trên chúng ta đã cùng nói về khái niệm thiết diện là gì, kiến thức thiết diện của hình chóp. Bây giờ chúng ta sẽ nói đến thiết diện của một số hình khối khác.
Cách xác định thiết diện của hình trụ
Định nghĩa hình trụ là gì?
Khi quay một hình chữ nhật quanh một trục cố định, ta được một hình trụ với hai đáy là hai đường tròn bằng nhau.
Ví dụ thiết diện hình trụ
- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là ( r ) ) bởi một mặt phẳng ( (alpha ) ) vuông góc với trục ( Delta ) ( song song với hai mặt đáy ) thì ta được thiết diện là đường tròn có tâm nằm trên ( Delta ) và có bán kính bằng ( r )
- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là ( r ) ) bởi một mặt phẳng ( (alpha ) ) không vuông góc với trục ( Delta ) nhưng cắt tất cả các đường sinh thì ta được thiết diện là một đường Elip có trục nhỏ bằng ( 2r ) và trục lớn bằng (frac{2r}{sin phi}) với (phi) là góc giữa trục ( Delta ) và mặt phẳng ( ( alpha ) ) và (0 < phi< 90^{circ})
Cho mặt phẳng ( ( alpha ) ) song song với trục ( Delta ) của mặt trụ tròn xoay và cách ( Delta ) một khoảng ( k ) .
- Nếu ( k<r ) thì mặt phẳng ( ( alpha ) ) cắt mặt trụ theo hai đường sinh và thiết diện là hình chữ nhật.
- Nếu ( k=r ) thì mặt phẳng ( ( alpha ) ) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
- Nếu ( k >r ) thì mặt phẳng ( ( alpha ) ) không cắt mặt trụ.
Ví dụ 5:
Một hình trụ có bán kính đáy bằng ( 3a ) và thể tích bằng ( 90pi a^3 ). Một mặt phẳng song song với trục và cách trục ( 2a ) cắt khối chóp tạo thành một thiết diện. Tính diện tích thiết diện đó
Cách giải:
Do mặt phẳng song song với trục và cách trục ( 2a < 3a=r ) nên (Rightarrow) thiết diện là hình chữ nhật ( ABCD ) với ( AB=CD ) là đường cao của hình trụ
Do đó : (AB=CD = frac{V}{S}=frac{90pi a^3}{2pi. 9a^2}=5a)
Kẻ ( OH bot BC ). Do tam giác ( OBC ) cân tại ( O ) nên ta có :
(left{begin{matrix} OH = 2a\ OB = 3a end{matrix}right.Rightarrow BC =2BH = 2sqrt{OB^2-OH^2}=2sqrt{5}a)
Như vậy diện tích thiết diện :
(S_{ABCD}=AB.BC= 5a. 2sqrt{5}a=10sqrt{5}a^2) đơn vị diện tích
Cách xác định thiết diện của hình hộp
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
Hình hộp có ( 6 ) mặt là hình bình hành. Hai mặt đối diện song song và bằng nhau
Hình hộp có ( 12 ) cạnh chia làm ( 3 ) nhóm. Mỗi nhóm gồm ( 4 ) cạnh song song và bằng nhau.
Để xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng ( (alpha) ) thì ta cần sử dụng các quan hệ song song, vuông góc để tìm giao của ( (alpha) ) với các cạnh của hình hộp.
Ví dụ 6:
Cho hình hộp ( ABCD.A’B’C’D’ ). Trên ba cạnh ( AB, DD’,BB’ ) lần lượt lấy ba điêm ( M,N,P ) thỏa mãn (frac{AM}{AB}=frac{D’N}{D’D}=frac{B’P}{B’B})
Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng ( (MNP) )
Cách giải:
Trên ( AD ) lấy điểm ( E ) sao cho : (frac{AM}{AB}=frac{AE}{AD})
(Rightarrow ME || BD)
Vì (frac{B’P}{B’B}=frac{D’N}{D’D}Rightarrow PN || B’D’Rightarrow PN || BD)
(Rightarrow ME || PN Rightarrow E in (MNP) ;;;; (1))
Trên ( B’C’ ) lấy điểm ( F ) sao cho : (frac{B’F}{B’C}=frac{B’P}{B’B})
(Rightarrow PF || BC’)
Vì (frac{AE}{AD}=frac{D’N}{D’D}Rightarrow EN || AD’Rightarrow EN || BC’)
(Rightarrow PF || EN Rightarrow F in (MNP) ;;;; (2))
Trên ( C’D’ ) lấy điểm ( K ) sao cho : (frac{C’K}{C’D’}=frac{C’F}{C’B’})
(Rightarrow KF || B’D’)
Vì ( PN || B’D’ Rightarrow PN || KF Rightarrow K in (MNP) ;;;; (3))
Từ ( (1)(2)(3) Rightarrow ) thiết diện là lục giác ( MPFKNE )
Cách tìm thiết diện của hình lập phương
Hình lập phương là một hình hộp đặc biệt, do đó các tìm thiết diện khi cắt hình lập phương bởi mặt phẳng ( (alpha) ) cũng giống như bài toán tìm thiết diện của hình hộp chữ nhật. Tuy nhiên do tính chất đặc biệt của hình lập phương mà chúng ta có thể sử dụng các tính chất đó để tìm thiết diện một cách dễ dàng hơn
Ví dụ 7:
Cho hình lập phương ( ABCD.A’B’C’D’ ) có độ dài cạnh bằng ( a ) . Gọi ( M,N,P ) lần lươt là trung điểm ( AD, CD, BB’ ). Tính diện tích thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mặt phẳng ( (MNP) )
Cách giải:
Xét mặt phẳng ( (ABCD) ). Kéo dài ( MN ) cắt đường thẳng ( AB,BC ) lần lượt tại ( K,H )
Gọi (left{begin{matrix} F= PK cap AA’ \ E= PH cap CC’ end{matrix}right.)
Như vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác ( MNEPF )
Ta có :
(left{begin{matrix} MN ||AC \ AM || CH end{matrix}right. Rightarrow AMHC) là hình bình hành
(Rightarrow CH = AM =frac{a}{2})
Tương tự ta được : (Rightarrow AK=CH =frac{a}{2})
(Rightarrow BK=BH =frac{3a}{2})
Theo định lý Pitago (Rightarrow PH=PK =sqrt{BP^2+BK^2}=frac{asqrt{10}}{2})
Do ( AF|| BP ) nên (frac{PF}{PK}=frac{BA}{BK}Rightarrow PF =frac{BA.PK}{BK}=frac{a.frac{asqrt{10}}{2}}{frac{3a}{2}}=frac{asqrt{10}}{3})
Tương tự ta cũng có (PE=frac{asqrt{10}}{3})
Mặt khác (frac{AF}{BP}=frac{KA}{KB}=frac{HC}{HB}=frac{CE}{BP} Rightarrow AF = CE Rightarrow ACEF) là hình bình hành
(Rightarrow EF=AC =asqrt{2})
Như vậy tam giác ( PEF ) cân tại ( P ) và có :
(left{begin{matrix} PE=PF =frac{asqrt{10}}{3}\ EF= AC =asqrt{2} end{matrix}right.)
Vậy (S_{PEF}= frac{EF.2sqrt{PF^2-(frac{EF}{2})^2}}{2}=asqrt{2}.sqrt{frac{10a^2}{9}-frac{a^2}{2}}= frac{a^2sqrt{11}}{3} ;;;; (1) )
Do (Delta AMF = Delta CNE) (c.g.c) nên
(Rightarrow MF=EN)
Mặt khác (Rightarrow MN ||EF) ( do cùng song song với ( AC ) )
(Rightarrow MNEF) là hình thang cân có (left{begin{matrix} MN =frac{a}{2}\ EF= asqrt{2} end{matrix}right.)
Kẻ ( MI bot EF ), ta có :
(FI=frac{EF-MN}{2}=frac{2sqrt{2}-1}{4}a)
(frac{AF}{BP}=frac{KA}{KB} Rightarrow AF = frac{KA.BP}{KB} = frac{a}{3})
(Rightarrow FM =sqrt{AF^2+AM^2}=frac{asqrt{13}}{6})
Như vậy (Rightarrow MI = sqrt{FM^2-FI^2}=frac{asqrt{36sqrt{2}-29}}{12})
(Rightarrow S{MNEF}=frac{(MN+EF).MI}{2}=frac{(2sqrt{2}+1)sqrt{36sqrt{2}-29}}{24}a^2 ;;;; (2))
Từ ((1)(2) Rightarrow S{MNEPF}=S_{PEF}+S_{MNEF}=frac{8sqrt{11}+(2sqrt{2}+1)sqrt{36sqrt{2}-29}}{24}a^2) đon vị diện tích
Một số dạng bài tập về diện tích thiết diện
Sau đây là một số bài tập tìm thiết diện và diện tích thiết diện có đáp số để các bạn có thể tự luyện tập.
Bài 1:
Cho hình chóp tứ giác đều ( S.ABCD ) có độ dài cạnh đáy bằng ( a ). Gọi ( M,N,P ) lần lượt là trung điểm của ( SA,SB,SC ). Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( (MNP) ) và tính diện tích thiết diện đó ?
Đáp số : Thiết diện là ( MNPQ ) với ( Q ) là trung điểm ( SD ) và (S_{MNPQ}=frac{a^2}{4})
Bài 2 :
Cho tứ diện ( ABCD ) có ( AB bot CD ) và ( AB=a; CD =b ). Gọi ( I,J ) lần lượt là trung điểm ( AB, CD ). Trên ( IJ ) lấy điểm ( M ) sao cho (IM = frac{IJ}{3}). Mặt phẳng ( (alpha) ) đi qua ( M ) và song song với ( AB,CD ) cắt tứ diện tạo thành một thiết diện. Tính diện tích thiết diện đó ?
Đáp số : (S= frac{2ab}{9})
Bài 3:
Cho hình trụ tròn xoay có trục là ( OO’ ). Thiết diện qua trục ( OO’ ) là một hình vuông cạnh bằng ( 2a ). Gọi ( M ) là trung điểm ( OO’ ). Mặt phẳng ( (P) ) đi qua ( M ) tạo với đáy một góc bằng (30 ^{circ}) cắt khối trụ theo một thiết diện hình Elip. Tính diện tích thiết diện Elip đó ?
Đáp số : (S= frac{2pi}{sqrt{3}}a^2)
Bài viết trên đây của Tip.edu.vn đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết thiết diện là gì, cách tìm thiết diện cũng như công thức tính diện tích thiết diện. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề thiết diện là gì. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem chi tiết qua bài giảng của thầy Nguyễn Quốc Chí:
(Nguồn: www.youtube.com)
Xem thêm:
- Phương trình chứa căn thức: Lý thuyết, Phương pháp giải và Bài tập
- Vecto trong không gian lớp 11 và Các dạng toán vecto trong không gian
Xem thêm nhiều bài viết hay về Hỏi Đáp Toán Học
▪️ TIP.EDU.VN chia sẻ tài liệu môn Toán các lớp 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10, 11, 12 và ôn thi THPT Quốc gia, phục vụ tốt nhất cho các em học sinh, giáo viên và phụ huynh học sinh trong quá trình học tập – giảng dạy.
▪️ TIP.EDU.VN có trách nhiệm cung cấp đến bạn đọc những tài liệu và bài viết tốt nhất, cập nhật thường xuyên, kiểm định chất lượng nội dung kỹ càng trước khi đăng tải.
▪️ Bạn đọc không được sử dụng những tài nguyên trang web với mục đích trục lợi.
▪️ Tất cả các bài viết trên website này đều do chúng tôi biên soạn và tổng hợp. Hãy ghi nguồn website https://tip.edu.vn/ khi copy bài viết.