Tam giác đồng dạng là gì? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

Tam giác đồng dạng là gì? Làm thế nào để chứng minh rằng các tam giác đồng dạng? Lý thuyết, bài tập và cách giải toán về hai tam giác đồng dạng? Trong phạm vi bài viết dưới đây, cùng Tip.edu.vn Tìm hiểu về chủ đề trên!

Lý thuyết về hai tam giác đồng dạng

Định nghĩa hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác đồng dạng là gì? “Tương tư” là một từ Hán Việt và vốn có nghĩa giống nhau. Hai tam giác đồng dạng khi chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau.

Tam giác ABC và tam giác A’B’C ‘đồng dạng nếu: ( hat {A} = hat {A’}; hat {B} = hat {B ‘}; hat {C} = hat {C ‘} )

và ( frac {A’B ‘} {AB} = frac {B’C’} {BC} = frac {A’C ‘} {AC} )

Các ký hiệu cho hai tam giác đồng dạng: ( bigtriangleup ABC sim bigtriangleup A’B’C ‘)

Tỉ số: ( frac {A’B ‘} {AB} = frac {B’C’} {BC} = frac {A’C ‘} {AC} = k ) được gọi là dạng tỉ số đồng .

Các trường hợp đồng dư của một tam giác thông thường

• Trường hợp 1: Ba cạnh tương ứng tỉ lệ thuận (c – c – c).

Xét hai tam giác ABC và DEF có:

( frac {AB} {DE} = frac {AC} {DF} = frac {BC} {EF} )

Xuất phát: ( bigtriangleup ABC sim bigtriangleup DEF ) (c – c – c)

• Trường hợp 2: Hai cạnh tương ứng tỉ lệ thuận – góc kể đến giữa hai cạnh bằng nhau (c – g – c).

Xét hai tam giác ABC và DEF, ta có:

( frac {AB} {DE} = frac {AC} {DF} )

( hat {A} = hat {D} )

Truy xuất: ( bigtriangleup ABC sim bigtriangleup DEF ) (c – g – c)

• Trường hợp 3: Hai góc tương ứng là đồng dư (g – g)

Xét hai tam giác ABC và DEF có:

( hat {A} = hat {D} )

( hat {B} = hat {E} )

Xuất phát: ( bigtriangleup ABC sim bigtriangleup DEF ) (g – g)

Định lý đồng dạng của tam giác vuông

• Định lý 1: Hypotenuse – Cạnh của góc vuông

Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông khác thì hai tam giác đó đồng dạng.

• Định lý 2: Hai cạnh góc vuông

Nếu hai cạnh của một tam giác vuông tỉ lệ với hai cạnh của một tam giác vuông khác thì hai tam giác đó đồng dạng.

• Định lý 3: Góc của hai tam giác vuông

Nếu góc nhọn của một tam giác vuông bằng góc nhọn của tam giác vuông khác thì hai tam giác đó đồng dạng.

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Quan hệ

Bài toán: Cho ( bigtriangleup ABC (AB

• Một) ( bigtriangleup ADB sim bigtriangleup CDI )
• b) ( frac {AD} {AC} = frac {AB} {AI} )
• c) QUẢNG CÁO2 = AB.AC – BD.DC

Giải pháp:

a) Xem xét ( bigtriangleup ADB ) và ( bigtriangleup CDI ) Chúng ta có:

( widehat {BCx} = widehat {BAD} ) (gt)

( widehat {D_ {1}} = widehat {D_ {2}} ) (ngược lại)

Có nguồn gốc từ: ( bigtriangleup ADB sim bigtriangleup CDI )

b) Xem xét ( bigtriangleup ABD ) và ( bigtriangleup AIC ) Chúng ta có :

( widehat {B} = widehat {I} ) ( ( bigtriangleup ADB sim bigtriangleup CDI ))

( widehat {A_ {1}} = widehat {A_ {2}} ) (AD là đường phân giác)

tôi đoán ( bigtriangleup ABD sim bigtriangleup AIC )

Suy ra ( frac {AD} {AC} = frac {AB} {AI} ), suy ra AD.AI = AB.AC (1)

C) Có ( frac {AD} {CD} = frac {BD} {BI} ) ( bigtriangleup ADB sim bigtriangleup CDI )

Bắt nguồn: AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2):

Suy ra: AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD (AI – DI) = AD.AD = AD2

Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lý Talet và Hai đường thẳng song song

Vấn đề:

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE. Vẽ các đường cao DF và EG của tam giác ADE. Chứng tỏ:

• Một) ( bigtriangleup ADB sim bigtriangleup AEG )
• b) AD.AE = AB.AG = AC.AF
• c) FG // BC

Giải pháp:

a) Xét các tam giác ABD và AEG, ta có:

BD AC (BD là đường cao)

VÍ DỤ AC (EG là đường cao)

Suy ra: BD // EG

Có nguồn gốc từ: ( bigtriangleup ADB sim bigtriangleup AEG )

b) Từ a) Xuất phát ( frac {AB} {AE} = frac {AD} {AG} )

( Rightarrow ) AD.AE = AB.AG (1)

CM tương tự, ta được: AD.AE = AC.AF (2)

Từ (1) và (2) nó như sau:

AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) Xét tam giác ABC, ta có:

AB.AG = AC.AF (cmb) suy ra: ( frac {AB} {AF} = frac {AC} {AG} )

Suy luận: FG // BC (Định lý nghịch đảo Talet)

Chứng minh rằng hai tam giác đồng dạng – các góc tương ứng của chúng đồng dạng

Bài toán: Cho ABC là tam giác có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

• a) Tam giác HBE và tam giác HCE đồng dạng.
• b) ( bigtriangleup HED sim bigtriangleup HBC )

và ( widehat {HDE} = widehat {HAE} )

Giải pháp:

a) Xét tam giác HBE và tam giác HCD, ta có:

( widehat {BEH} = widehat {CDH} = 90 ^ { circle} ) (gt)

( widehat {H_ {1}} = widehat {H_ {2}} ) (ngược lại)

Có nguồn gốc từ: ( bigtriangleup HBE sim bigtriangleup HCD ) (g – g)

b) Xét tam giác HED và HBC, ta có:

( frac {HE} {HD} = frac {HD} {HC} ) ( ( bigtriangleup HBE sim bigtriangleup HCD ))

Xuất phát: ( frac {HE} {HD} = frac {HD} {HC} )

( widehat {EHD} = widehat {CHB} ) (ngược lại)

tôi đoán ( bigtriangleup HED sim bigtriangleup HBC )(c – g – c)

Xuất phát: ( widehat {D_ {1}} = widehat {C_ {1}} ) (1)

mà còn: các đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

Do đó H là trực tâm nên (AH perp BC ) tại M.

Giảm bớt ( widehat {A_ {1}} + widehat {ABC} = 90 ^ { circle} )

Nếu không: ( widehat {C_ {1}} + widehat {ABC} = 90 ^ { circle} )

Xuất phát: ( widehat {A_ {1}} = widehat {C_ {1}} ) (2)

Từ (1) và (2) => ( widehat {A_ {1}} = widehat {D_ {1}} )

hoặc: ( widehat {HDE} = widehat {HAE} )

Trên đây là tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề Hai tam giác đồng dạng. Hi vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin hữu ích cho quá trình học tập. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem nội dung chi tiết bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)