Sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác và Các dạng bài tập

Điều kiện cần và đủ để hàm đồng biến và nghịch biến

Cho hàm: (y = f (x) ) có đạo hàm trên K.

• Điều kiện tiên quyết:

+ Nếu (f (x) ) đồng biến trên K thì (f ‘(x) geq 0, forall x in K. )

+ Nếu (f (x) ) nghịch đảo trên K thì (f ‘(x) leq 0, forall x in K. )

• Điều kiện đủ:

+ Nếu (f ‘(x) geq 0, forall x in K ) và (f ‘(x) = 0 ) chỉ tại một số điểm hữu hạn trong K thì (f ‘(x) ) hiệp biến trên K.

+ Nếu (f ‘(x) leq 0, forall x in K ) và (f ‘(x) = 0 ) chỉ tại một số điểm hữu hạn trong K thì (f ‘(x) ) nghịch đảo trên K.

+ Nếu (f ‘(x) = 0, forall x in K ) sau đó (f (x) ) là một hàm hằng trên K.

Các bước xét đồng phương sai và nghịch biến của hàm số

• Bước 1: Tìm tập xác định.
• Bước 2: Tính đạo hàm. Tìm điểm trong đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
• Bước 3: Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thể.
• Bước 4: Nêu kết luận về khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số.

Hiệp phương sai nghịch đảo của các hàm lượng giác

Hàm lượng giác là hàm có dạng y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x.

• hàm sin: Đặt quy tắc tương ứng từng số thực x với số thực sin x.

(sin x: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} )

(x mapsto y = sin x )

được gọi là một hàm sin, ký hiệu là y = sin x.

Tập xác định của hàm sin là: ( mathbb {R} )

• Cos. hàm số: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cos x.

(cos x: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} )

(x mapsto y = cos x )

được gọi là hàm cos, ký hiệu là y = cos x.

Tập xác định của hàm sin là: ( mathbb {R} )

• chức năng tan: là một hàm được xác định bởi công thức:
  (y = frac {sin x} {cos x} (cos x neq 0) )ký hiệu là y = tan x.

Tập xác định của hàm tan là: (D = mathbb {R} setminus left { frac { pi} {2} + K pi, k in mathbb {Z} right } )

• Chức năng cót: là một hàm được xác định bởi công thức:
  (y = frac {cos x} {sin x} (sin x neq 0) )ký hiệu là y = cot x.

Tập xác định của hàm y = cot x là: (D = mathbb {R} setminus left {k pi, k in mathbb {Z} right } ).

Các dạng toán về tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Khi học về đồng biến và nghịch biến của hàm số lượng giác, các em cần nắm chắc các dạng toán sau:

Dạng 1: Tìm tập xác định của lớp 11. hàm lượng giác

Ta có 4 hàm lượng giác cơ bản như sau: y = sinx, y = cox, y = tanx và y = cotx. Mỗi hàm trên có một bộ xác định riêng, cụ thể:

y = sinx, y = cosx có D = R.

y = tanx có D = R {π / 2 + kπ, k ∈ Z}

y = cotx có tập xác định D = R {kπ, k ∈ Z}.

Phương pháp giải bài tập này như sau:

Khi tìm hiểu về tính đơn điệu của hàm số lượng giác, các em cần lưu ý một số kiến ​​thức quan trọng sau:

• Hàm số y = sinx sẽ đồng biến trên từng khoảng (-π / 2 + k2π; π / 2 + k2π) và nghịch biến trên từng khoảng (π / 2 + k2π).
• Hàm số y = cosx sẽ nghịch biến trên từng khoảng (k2π; π + k2π) và đồng biến trên khoảng (-π + k2π; k2π).
• Hàm số y = tanx sẽ đồng biến trên từng khoảng (-π / 2 + kπ; π / 2 + kπ).
• Hàm số y = cotx sẽ nghịch biến trên từng khoảng (kπ; π + kπ).

Dạng 2: Tìm tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Với dạng toán tính đơn điệu của hàm số lượng giác, các em hoàn toàn có thể sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh bài toán này, cụ thể:

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Để tìm giá trị lớn nhất của một hàm số hoặc giá trị nhỏ nhất của một hàm số, bạn cần ghi nhớ lý thuyết sau:

Dạng 4: Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Phương pháp giải bài toán về tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác như sau:

• Hàm số y = f (x) với tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu:
  • Với ∀ x ∈ D thì -x ∈ D và f (x) = f (-x). Đồ thị của hàm số chẵn lấy trục tung làm trục đối xứng.
• Hàm y = f (x) với tập xác định D được cho là hàm lẻ nếu:
  • Với ∀ x ∈ D thì -x ∈ D và f (-x) = -f (x).
• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng.

Dạng 5: Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Với dạng toán tính tuần hoàn của hàm số lượng giác, bạn cần làm theo các bước sau:

• Hàm số y = f (x) xác định trên tập D được gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một số T ≠ 0 sao cho ∀ x ∈ D. Khi đó x ± T∈ D và f (x + T) = f ( x).
• ***Ghi chú: Các hàm số y = sin (ax + b), y = cos (ax + b) tuần hoàn với chu kỳ T = 2π / | a |
• Các hàm số tan (ax + b), y = cot (ax + b) tuần hoàn với chu kì T = π / | a |.

Hiệp phương sai nghịch đảo của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Xác định hiệp phương sai của hàm số mũ và hàm số lôgarit

• Một hàm mũ là một hàm có dạng y = ax (với a> 0, a ≠ 1).
• Hàm logarit là một hàm có dạng y = logmộtx (với a> 0, a ≠ 1)

Tính chất của hàm mũ y = ax (a> 0, a ≠ 1).

• Tập hợp xác định: ( mathbb {R} )
• Phát sinh: ( forall x in mathbb {R}, y = a ^ {x} lna )
• Hướng biến đổi:
  • Nếu a> 1 thì hàm số luôn đồng biến.
  • Nếu 0
• Đường tiệm cận: trục Ox là đường tiệm cận ngang.
• Biểu đồ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành (y = ax > 0, ∀x), và luôn cắt trục tung tại (0; 1) và đi qua (1; a).

Tính chất của hàm logarit y = logmộtx (a> 0, a ≠ 1).

• Tập hợp định nghĩa: ((0; + infty) )
• Phát sinh: ( forall x in (0; + infty), y = frac {1} {xlna} )
• Hướng biến đổi:
• +) Nếu a> 1 thì hàm số luôn đồng biến.
• +) Nếu 0
• Đường tiệm cận: Trục Oy là một tiệm cận đứng.
• Đồ thị nằm hoàn toàn bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm (1,0) và đi qua điểm (a; 1).

• Nếu a> 1 thì (lna> 0 )suy luận ((a ^ {x}) ‘> 0, forall x ) và ((log_ {a} x) ‘> 0, forall x> 0 ); Hàm số mũ và hàm số lôgarit có cơ số lớn hơn 1 là những hàm số luôn đồng biến.
• Nếu 0 (lna <0 ), ((a ^ {x}) ‘<0 ) và ((log_ {a} x) ‘< 0, forall x> 0 ); Hàm số mũ và hàm số lôgarit có cơ số nhỏ hơn 1 luôn là hàm số nghịch biến.