Số phức là gì? Modun số phức? Bài tập công thức số phức

Số phức là gì? Ứng dụng của số phức là gì? Kiến thức về các phép toán số phức? Số phức nghịch đảo, số phức liên hợp là gì?… Trong nội dung bài viết dưới đây Tip.edu.vn sẽ giúp các bạn tìm hiểu sâu hơn về chủ đề Số phức, cùng tìm hiểu nhé !.

Tìm hiểu về số phức?

Định nghĩa của số phức là gì?

Số phức là một biểu thức có dạng a + bi trong đó a, b là các số thực và (i ^ {2} = -1 )
Vì số phức z = a + bi thì ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z và i là đơn vị ảo.
Bộ sưu tập số phức ký hiệu là C.

Nhận xét về số phức

• Mọi số thực a được coi là. số phức với phần ảo b = 0
• Số phức z = a + bi với a = 0 được gọi là số thuần ảo hay số ảo
• Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

Hai số phức bằng nhau

Hai số phức được cho là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau.
Các số phức z = a + bi và z ‘= c + di bằng nhau Mũi tên trái a = c và b = d
Ví dụ: tìm các số thực x, y biết (2x + 1) + 3yi = (x + 2) + (y + 2) i
Câu trả lời: Vì hai số phức bằng nhau nên ( left { begin {matrix} 2x + 1 = x + 2 & \ 3y = y + 2 & end {matrix} right. )
Vậy x = 1, y = 1

Môđun của số phức

Môđun của số phức là gì?

Giả sử M (a; b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi trên mặt phẳng tọa độ.
Độ dài của ( vec {OM} ) là môđun của số phức z. Ký hiệu là | z |.
Ta có: | z | = (| vec {OM} | ) = | a + bi | = ( sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} )

Số phức liên hợp là gì?

Cho số phức z = a + bi, ta gọi a – bi số phức liên hợp của z và được ký hiệu là ( bar {z} = a-bi )
Ví dụ: z = 1 + 2i thì ( bar {z} = 1 – 2i )

Một số tính chất của số phức liên hợp:

• là một số thực.
• =
• =

Xem chi tiết >>> Số phức liên hợp là gì? Cách giải các số phức bằng máy tính cầm tay Casio

Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức z = a + bi được xác định bởi cặp số thực (a; b)
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M (a, b) được biểu diễn bằng một số phức và ngược lại.
Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc O biểu thị số 0, trục hoành Ox biểu thị số thực và trục tung Oy biểu thị số ảo.

Các phép toán với số phức

Cộng và trừ các số phức

Nghịch đảo của số phức z = a + bi là -z = -a – bi
Phép cộng, phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng trừ đa thức.
Cho z = a + bi và z ‘= c + di.
Tính tổng quát: z + z ‘= (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
z – z ‘= (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i
Ví dụ: (5 + 2i) + (6 + i) = (5 + 6) + (2 + 1) i = 11 + 3i
(5 + 2i) – (6 + i) = (5 – 6) + (2 – 1) i = -1 + i

Phép nhân số phức

Phép nhân các số phức có các tính chất giống như phép nhân các số thực
Tính tổng quát: (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i
Ví dụ : (2 – 3i) (6 + 4i) = 12 + 8i – 18i – (12i ^ {2} ) = 12 + 18i – 8i + 12 = 24 – 10i

Phép chia số phức

Số nghịch đảo của số phức (z = a + bi neq 0 ) là (z ^ {- 1} = frac {1} {z} = frac { bar {z}} { left | z right | ^ {2}} )
Hoặc ( frac {1} {a + bi} = frac {a – bi} {a ^ {2} + b ^ {2}} )
Cho hai số phức (z = a + bi neq 0 ) và (z ‘= a’ + b’i )
Sau đó ( frac {z} {z ‘} = frac {z’ bar {z}} { left | z right | ^ {2}} )
hoặc ( frac {a ‘+ b’i} {a + bi} = frac {(a’ + b’i) (a – bi)} {a ^ {2} + b ^ {2}} )

Ví dụ: Tìm (z = frac {4 + 2i} {1 + i} )
Phần thưởng: Ta có z (1 + i) = 4 + 2i.
Nhân cả hai vế của phương trình trên với liên hợp của 1 + i với 1 – i, ta được:
(1 + i) (1 – i) z = (1 – i) (4 + 2i)
=> 2z = 6 – 2i
=> z = 3 – i
Vì vậy: (3-i = frac {4 + 2i} {1 + i} )

Dạng lượng giác của số phức

Trong mặt phẳng phức, số phức z với (z neq 0 ) được biểu diễn bằng vectơ ( vec {OM} ) với M (a; b).
Góc lượng giác (( vec {Ox}, vec {OM}) = varphi + 2k pi, k epsilon mathbb {Z} )
Số đo của mỗi góc lượng giác trên được gọi là tích của z.
Gọi ( varphi ) là một tích số và r> 0 là môđun của số phức z = a + bi khác 0, dạng lượng giác của z là:
(z = r (acos varphi + isin varphi) )
Với (r = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} )
và ( varphi ) được xác định bởi (cos varphi = frac {a} {r} ) và (sin varphi = frac {b} {r} )
Ghi chú:

• | z | = 1 ( Leftrightarrow ) (z = (cos varphi + isin varphi) ), ( varphi in R )
• z = 0 thì | z | = r = 0 nhưng tích của z không được xác định là tùy ý.

Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho trước (z = r (cos varphi + isin varphi) ), (z ‘= r’ (cos varphi ‘+ isin varphi’) ) (r> 0, r ‘> 0)
(z.z ‘= r.r’ (cos ( varphi + varphi ‘) + isin ( varphi + varphi’)) )
( frac {z} {z ‘} = frac {r} {r’}[cos(varphi -varphi ‘)+isin(varphi -varphi ‘)])
khi r> 0

Xem chi tiết >>> Số phức lượng giác và cách chuyển đổi số phức lượng giác

Ứng dụng của số phức là gì?

Sử dụng số phức để giải hệ phương trình
Xét hệ phương trình ( left { begin {matrix} f (x; y) = g (x; y) (1) & \ h (x; y) = k (x; y) (2 ) & end {matrix} right. )
Lấy (2) lần i rồi cộng / trừ (1) ở cả hai vế, ta được:
f (x; y) + h (x; y) i = g (x; y) + k (x; y) i

Cho z = x + yi, biểu diễn thông qua các đại lượng z, môđun z…
Ví dụ: Giải hệ phương trình: ( left { begin {matrix} x + frac {3x – y} {x ^ {2} + y ^ {2}} = 3 (1) & \ y = frac {x + 3y} {x ^ {2} + y ^ {2}} (2) & end {matrix} right. )
Phần thưởng:
Lấy (2) lần tôi rồi thêm (1) ta được:
(x + yi + frac {(3x-y) – (x + 3y) i} {x ^ {2} + y ^ {2}} = 3 )
( Leftrightarrow x + yi + frac {3 (x – yi)} {x ^ {2} + y ^ {2}} – frac {(x-yi) i} {x ^ {2} + y ^ {2}} = 3
)
Đặt z = x + yi với x, y ( epsilon mathbb {R} ).
(Mũi tên bên phải
Leftrightarrow z + frac {(3 – i) bar {z}} { left | z right | ^ {2}} = 3 Leftrightarrow z + frac {(3 – i)} {z} = 3 )

( Leftrightarrow ) z = 2 + i hoặc z = 1 – i

(x + yi = 2 + i Leftrightarrow left { begin {matrix} x = 2 & \ y = 1 & end {matrix} right. )

(x + yi = 1 – i Leftrightarrow left { begin {matrix} x = 1 & \ y = -1 & end {matrix} right. )