Phương trình trùng phương lớp 9: Lý thuyết, Cách giải, Các dạng bài tập

Phương trình bậc hai là một dạng phương trình thường gặp trong chương trình toán THCS. Vậy phương trình bậc hai là gì? Cách giải phương trình bậc hai lớp 9? Công thức về phương trình bậc hai?… Trong nội dung bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé !.

Phương trình bậc hai là gì?

Phương trình bậc hai theo định nghĩa là một phương trình bậc (4 ) có dạng:

(ax ^ 4 + bx ^ 2 + c = 0 ) với (a neq 0 )

Ta thấy đây thực chất là phương trình bậc hai (2 ) với ẩn (x ^ 2 )

Số nghiệm của phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai có dạng:

(ax ^ 4 + bx ^ 2 + c = 0 ) với (a neq 0 ).

( Delta = b ^ 2-4ac )

Sau đó:

• Phương trình bậc hai có 1 nghiệm ( Leftrightarrow left { begin {matrix} c = 0 \ frac {b} {a} leq 0 end {matrix} right. ) Và nghiệm đó ( = 0 )
• Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt ( Leftrightarrow left { begin {matrix} Delta = 0 \ frac {b} {a} <0 end{matrix}right.) or (left{begin{matrix} Delta >0 \ frac {c} {a} <0 end {matrix} right. )
• Phương trình bậc hai có 3 nghiệm phân biệt ( Leftrightarrow left { begin {matrix} c = 0 \ frac {b} {a} <0 end {matrix} right. ) Và ở đó có a giải pháp (= 0 )
• Phương trình bậc hai có 4 nghiệm phân biệt ( Leftrightarrow left { begin {matrix} Delta> 0 \ frac {b} {a} <0 \ frac{c}{a} >0 end {matrix} right. ). Khi đó tổng của (4 ) nghiệm (= 0 ) và tích (4 ) nghiệm bằng ( frac {c} {a} )
• Phương trình bậc hai không có nghiệm ( Leftrightarrow Delta <0) or (left{begin{matrix} Delta geq 0 \frac{b}{a} >0 \ frac {c} {a} <0 end {matrix} right. )

Ví dụ về lớp 9. phương trình bình phương

Ví dụ 2: Cho phương trình (mx ^ 4 -2 (m-1) x ^ 2 + m-1 = 0 )

Tìm (m ) để phương trình

1. Chỉ có một kinh nghiệm
2. Có hai giải pháp khác nhau
3. Có ba giải pháp riêng biệt
4. Có bốn giải pháp riêng biệt

Giải pháp :

Ta có ( Delta ‘= (m-1) ^ 2-m (m-1) = 1-m )

Áp dụng công thức trên ta có:

• Để phương trình có nghiệm duy nhất, thì ( left { begin {matrix} m-1 = 0 \ frac {m-1} {m} geq 0 end {matrix} right Leftrightarrow m = 1 )
• Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ( left[begin{array}{l} left{begin{matrix} 1-m =0 \frac{m-1}{m} >0 end{matrix}right.\ left{begin{matrix} 1-m >0 \frac{m-1}{m} <0 end{matrix}right.end{array}right. Leftrightarrow m in (0;1))
• Để phương trình có ba nghiệm phân biệt thì (left{begin{matrix} m-1=0 \frac{m-1}{m} >0 end{matrix}right.) ( vô lý ). Vậy không tồn tại giá trị của ( m ) để phương trình có ba nghiệm phân biệt
• Để phương trình có bốn nghiệm phân biệt thì (left{begin{matrix} 1-m >0 \ frac{m-1}{m} >0 \ frac{m-1}{m} >0 end{matrix}right. Leftrightarrow m in (-infty;0))

Các bước giải phương trình trùng phương lớp 9

Để giải phương trình ( ax^4 +bx^2+c =0 ) với ( a neq 0 ) ta làm theo các bước sau đây:

• Bước 1: Đặt ( t=x^2 ). Điều kiện ( tgeq 0 )
• Bước 2: Giải phương trình bậc hai ( at^2+bt +c =0 ) tìm ra ( t )
• Bước 3: Với mỗi giá trị của ( t ) thỏa mãn điều kiện ( tgeq 0 ), giải phương trình ( x^2=t )
• Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu

***Chú ý: Đối với các bài toán phương trình trùng phương lớp 9 thì ta cần thực hiện đầy đủ các bước trên, còn các bài toán phương trình trùng phương lớp 12 thì ta có thể bỏ đi bước thứ nhất để lời giải nhanh gọn

Ví dụ 1:

Giải phương trình ( x^4 -5x^2+4 =0 )

Cách giải:

Đặt ( t= x^2 ). Điều kiện ( t geq 0 )

Khi đó phương trình đã cho trở thành :

( t^2-5t+4=0 )

(Leftrightarrow (t-1)(t-4)=0 Leftrightarrow left[begin{array}{l}t=1 \t=4 end{array}right.)

Vậy nên:

(left[begin{array}{l}x^2=1 \x^2=4 end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=pm 1\ x=pm 2end{array}right.)

Vậy phương trình đã cho có ( 4 ) nghiệm phân biệt : ( x= -1;1;-2;2 )

Một số phương trình trùng phương biến đổi (xrightarrow frac{1}{x}) hoặc các biểu thức chứa căn thì đầu tiên ta cần tìm điều kiện của phương trình trùng phương rồi mới tiến hành giải

Ví dụ 2:

Giải phương trình:

(frac{1}{x^4}-frac{5}{x^2}+6=0)

Cách giải:

Điều kiện: ( x neq 0 )

Phương trình đã cho tương đương với :

((frac{1}{x^2}-3)(frac{1}{x^2}-2)=0 Leftrightarrow left[begin{array}{l} frac{1}{x^2}=3\ frac{1}{x^2}=2end{array}right.)

(Leftrightarrow left[begin{array}{l} frac{1}{x}=pm sqrt{3}\ frac{1}{x}=pm sqrt{2}end{array}right.)

(Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=pm frac{1}{sqrt{3}}\ x=pm frac{1}{sqrt{2}}end{array}right.) ( thỏa mãn )

Vậy phương trình đã cho có ( 4 ) nghiệm phân biệt (x=-frac{1}{sqrt{2}};-frac{1}{sqrt{3}};frac{1}{sqrt{2}};frac{1}{sqrt{3}})

Giải phương trình số phức bậc 4 trùng phương

Đây là một dạng phương trình trùng phương nâng cao trong chương trình Toán lớp 12. Để giải bài toán này thì ta cần nhắc lại một số kiến thức về số phức

• Biểu thức dạng ( a+bi ) với (a;b in mathbb{R}) và ( i^2=-1 ) được gọi là một số phức với ( a ) là phần thực và ( b ) là phần ảo
• Phương trình bậc hai ( ax^2+bx+c =0) với ( Delta <0 ) có hai nghiệm phức là (frac{-bpm isqrt{Delta}}{2a})

Như vậy một phương trình bậc ( 4 ) trùng phương luôn có đủ ( 4 ) nghiệm. Đó có thể là nghiệm thực, nghiệm kép và nghiệm phức

Để giải phương trình số phức bậc 4 trùng phương, ta tiến hành các bước sau đây :

• Bước 1: Đặt ( t=x^2 ). Điều kiện ( tgeq 0 )
• Bước 2: Giải phương trình bậc hai ( at^2+bt +c =0 ) tìm ra ( t ) (tìm cả nghiệm phức)
• Bước 3: Với mỗi giá trị của ( t [/latex, giải phương trình [latex] x ^ 2 = t )
• Bước 4: Kết luận của phương trình ban đầu

Ví dụ 3:

Giải phương trình: (x ^ 4-x ^ 2-2 = 0 )

Giải pháp:

Phương trình đã cho tương đương với:

((x ^ 2 + 1) (x ^ 2-2) -0 )

( Leftrightarrow left[begin{array}{l}x^2=-1\x^2=2end{array}right)[begin{array}{l}x^2=-1x^2=2end{array}right)[begin{array}{l}x^2=-1x^2=2end{array}right)[begin{array}{l}x^2=-1x^2=2end{array}right)

( Leftrightarrow left[begin{array}{l}x=i\x=pmsqrt{2}end{array}right)[begin{array}{l}x=ix=pmsqrt{2}end{array}right)[begin{array}{l}x=ix=pmsqrt{2}end{array}right)[begin{array}{l}x=ix=pmsqrt{2}end{array}right)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: (- sqrt {2}; sqrt {2}; i )

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải phương trình bậc hai lớp 9. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chuyên đề. Phương trình bậc hai lớp 9. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!.

Xem thêm:

• Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2
• Chuyên đề Hệ phương trình cơ bản và nâng cao

Các khoa liên quan:

• phương trình bình phương lớp 12
• giải bất phương trình bậc hai
• phương trình bậc hai nâng cao
• phương trình bậc hai nâng cao
• phương trình trùng hợp caprolactam
• các bước giải phương trình bậc hai
• điều kiện của phương trình bậc hai
• Thuật toán giải phương trình bậc hai
• Khi nào thì phương trình bậc hai vô nghiệm?