Phương trình mũ, Phương trình logarit là gì? Phương pháp giải phương trình mũ và logarit

Phương trình mũ và logarit, phương trình chứa tham số … là những kiến ​​thức toán học quan trọng trong chương trình học của học sinh THPT. Hãy cùng tìm hiểu cụ thể về phương trình mũ, phương trình logarit, phương trình mũ khó qua bài viết dưới đây nhé!

Lý thuyết về phương trình mũ và lôgarit

Phương trình mũ là gì?

Phương trình mũ về cơ bản có dạng: (a ^ {x} = b (a> 0, a neq 1) )

Nghiệm của phương trình mũ

• If (b> 0 Rightarrow a ^ {x} = b Leftrightarrow x = log_ {a} b )
• Nếu (b leqslant 0 Rightarrow a ^ {x} = b ) không có lời giải

Phương trình logarit là gì?

Phương trình lôgarit về cơ bản có dạng: (log_ {a} x = b (a> 0, a neq 1) )

Nghiệm của phương trình logarit

(log_ {a} x = b Leftrightarrow x = a ^ {b} ( forall b) )

Suy ra phương trình: (log_ {a} x = b (a> 0, a neq 1) ) luôn có nghiệm duy nhất (x = a ^ {b} )

Các phương pháp giải phương trình mũ và lôgarit cơ bản

Phương pháp trở về cùng một cơ sở

Sử dụng phép biến đổi lũy thừa và lôgarit đưa phương trình về 1 trong các dạng sau (sử dụng phép biến đổi tương đương):

(a ^ {f (x)} = a ^ {g (x)} Leftrightarrow a = 1 ) hoặc ( left { begin {matrix} 0 & <& a neq 1 \ f ( x) & = & g (x) \ end {matrix} right. )

Lôgarit và quay lại cùng một cơ sở:

Hình thức 1: Phương trình (a ^ {f (x)} = b Leftrightarrow left { begin {matrix} 0 & < &aneq 1,b>0 \ f (x) & = & log_ {a} b \ end {matrix} right. )

Dạng 2: Phương trình (a ^ {f (x)} = b ^ {g (x)} Leftrightarrow log_ {a} a ^ {f (x)} = log_ {a} b ^ {f (x)} Leftrightarrow f ( x) = g (x) .log_ {a} b )

Hoặc: (log_ {b} a ^ {f (x)} = log_ {b} b ^ {g (x)} Leftrightarrow f (x) .log_ {b} a = g (x) )

Ví dụ: Giải phương trình (2 ^ {x ^ {2} -x + 8} = 4 ^ {1-3x} )

Giải: phương trình tương đương (2 ^ {x ^ {2} -x + 8} = 2 ^ {2 (1-3x)} )

( Mũi tên trái x ^ {2} + 5x + 6 = 0 Mũi tên trái x = -2, x = -3 )

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm -2 và -3

Phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt một lũy thừa chứa ẩn trong số mũ hoặc một logarit chứa ẩn số là ẩn số nhỏ, sau đó sử dụng các tính chất của lũy thừa, logarit để biến đổi pt thành phương trình cho ẩn số mới, đưa ra bài toán giải phương trình mới thu được.

(f[a^{g(x)}]= 0 (0 & 0 \ f

Hình thức 1: Chúng ta có dạng tổng quát của bài toán trên là (F (a ^ {f (x)}) = 0 )

Đặt (t = a ^ {f (x)} (t> 0) ) và chuyển về phương trình F

Dạng phổ biến: (ma ^ {f (x)} + nb ^ {f (x)} + p = 0 )

Làm tương tự đối với bất đẳng thức.

Dạng 2:

(ma ^ {f (x)} + nb ^ {f (x)} + p = 0 )

ở đâu (ab = 1 )

Đặt (t = a ^ {f (x)}, t> 0 Mũi tên phải b ^ {f (x)} = frac {1} {t} )

Dạng 3: (ma ^ {2f (x)} + n. (Ab) ^ {f (x)} + pb ^ {2f (x)} = 0 )

Chia cả hai vế cho (b ^ {2f (x)} ) và đặt (t = ( frac {a} {b}) ^ {f (x)}, t> 0 )

Ta có pt: (mt ^ {2} + nt + p = 0 )

Phương pháp lôgarit

Nếu cả hai vế của phương trình có thể được thừa nhận là một tích của các thừa số dương, thì có thể log cả hai vế của pt với cùng một cơ số (logarit biến một tích thành một tổng và một thương thành một hiệu). Chúng ta cũng có thể loại bỏ logarit bằng cách lũy thừa cả hai vế của pt cho cùng một cơ số bằng cách sử dụng thuộc tính (alog_ {a} b = b )

Hình thức 1: (a ^ {g (x)} = f (x) (0 & 0 \ g (x) & = & log_ {a} f (x) \ end {matrix} right. )

Dạng 2: (a ^ {f (x)} = b ^ {g (x)} (0

Phương pháp sử dụng hiệp phương sai hoặc nghịch biến của hàm

Ví dụ: Giải phương trình (2x = 2-log3x )

Phần thưởng:
Dễ dàng nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình
Tôi sẽ chứng minh điều đó x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Thật:

Điều kiện xác định của phương trình là x> 0. Trong khoảng thời gian này, chúng ta có:

Constan (y = 2x ) Đồng biến trong khi hàm (y = 2-log3x )

Đảo ngược

Hãy xem xét hai trường hợp:

• Nếu (x> 1 Rightarrow log3x> 0 ) và (2x> 2 ) thì (2-log3x <2 <2x ). Do đó, pt không có nghiệm.
• Nếu (2-log3x <2 <2x ) và (2x<2) Then (2-log3x>2> 2x ) Do đó pt không có nghiệm.

Kết luận: phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm x = 1

Giải một phương trình mũ có chứa tham số

Đây là một dạng bài tập phương trình mũ cứng trong phần phương trình mũ và lôgarit. Dưới đây là tổng quan về hai phương pháp dễ hiểu nhất và được sử dụng phổ biến nhất để giải quyết dạng bài toán này.

Phương pháp đặt ẩn phụ (t = a ^ {f (x)} )

Chuyển về phương trình bậc hai, sau đó giải điều kiện phương trình bậc hai

Phương pháp cách ly tham số (m)

• Bước 1: (m = f (x) ) (hoặc (m = f
• Bước 2: Khảo sát hs (y = f (x) ), lập bảng biến thiên
• Bước 3: Kết luận.

Trên đây là những thông tin hữu ích về phương trình mũ, phương trình logarit cũng như các dạng bài tập về hai dạng phương trình này. Nếu các bạn có thêm kiến ​​thức và có thắc mắc gì về phương trình mũ và logarit thì hãy để lại bình luận bên dưới để chúng ta cùng trao đổi thêm nhé!