Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Phương trình của một đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng

Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I và là tiếp tuyến của đường thẳng ( Delta )

Sau đó là bán kính (R = d (I, Delta) )

Ví dụ 1: Lập phương trình cho đường tròn (C) có tâm I (-1,2) tiếp xúc với đường thẳng ( Delta ) x – 2y + 7 = 0

Phần thưởng: Chúng ta có (d (I, Delta) = frac {| -1-4-7 |} { sqrt {5}} )

Phương trình của đường tròn (C) có dạng ((x + 1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = frac {4} {5} )

Dạng 2: Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng ( Delta )

• Viết phương trình đường trung trực d của đoạn thẳng AB
• Tâm I của (C) thỏa mãn ( left { begin {matrix} I epsilon d & \ d (I, Delta) = IA & end {matrix} right. )
• Bán kính R = IA

Ví dụ 2: Cho điểm A (-1; 0), B (1; 2) và đường thẳng (d): x – y – 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp tuyến của đường thẳng d.

Phần thưởng: Gọi I (x, y) là tâm của đường tròn cần tìm. Từ điều kiện vấn đề, chúng tôi có:

IA = IB = r ( Mũi tên trái ) ((x + 1) ^ 2 + y ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 ) (1)

IA = d (I, d) ( Leftrightarrow ) ( sqrt {(x + 1) ^ 2 + y ^ 2} = frac {| x-1-y |} { sqrt {2}} ) (2)

Giải hệ 2 phương trình (1) và (2) ta được x = 0, y = 1

Vì vậy, I (0,1) IA = r = ( sqrt {2} )

Phương trình của đường tròn (C) có dạng (x ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 2 )

Dạng 3: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ( Delta ) tại điểm B.

• Viết phương trình đường trung trực d của đoạn thẳng AB
• Viết phương trình cho đường ( Delta ‘) đi qua B và ( perp Delta )
• Xác định tâm I là giao điểm của d và ( Delta ‘)
• Bán kính R = IA

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) tiếp tuyến với trục hoành tại A (6,0) và đi qua điểm B (9,9)

Phần thưởng: Gọi I (a, b) là tâm của đường tròn (C).

Vì (C) tiếp xúc với trục hoành tại A (6; 0) nên (I epsilon d: x = 6 )

Mặt khác B nằm trên đường tròn (C) nên I sẽ nằm trên đường trung trực của AB.

Ta có phương trình trực tâm AB: x + 3y – 21 = 0

Thay x = 6 => y = 5
Sau đó chúng ta có thể tìm được tọa độ của điểm I (6; 5), R = 5

Vậy phương trình của đường tròn (C): ((x-6) ^ {2} + (y – 5) ^ {2} = 25 )

>> Xem thêm: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn và các dạng bài tập – Toán 12

Phương trình của một đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng

Dạng 1: Đường tròn (C) đi qua điểm A và là tiếp tuyến của hai đường ( Delta _ {1}, Delta _ {2} )

• Tâm I của (C) thỏa mãn: ( left { begin {matrix} d (I, Delta _ {1}) = d (I, Delta _ {2}) & \ d (I, Delta _ {1}) = IA & end {matrix} right. )
• Bán kính R = IA

Ví dụ 4: Viết phương trình của đường tròn tiếp tuyến với hai đường thẳng 7x – 7y – 5 = 0 và x + y + 13 = 0. Biết đường tròn tiếp xúc với một trong hai đường thẳng tại M (1,2).

Phần thưởng: Gọi I (x, y) là tâm của đường tròn cần tìm. Chúng ta có cùng khoảng cách từ I đến 2 địa chỉ liên hệ, vì vậy ( frac {| 7x-7y-5 |} { sqrt {5}} = frac { left | x + y + 13 right |} { sqrt {1}} ) (1)

và ( frac {| x + y + 13 |} { sqrt {2}} = sqrt {(1-x) ^ 2 + (2-y) ^ 2} ) (2)

Giải hệ 2 phương trình (1) và (2) ta được

• TH1: x = 29, y = – 2 => R = IM = (20 sqrt {2} )

Phương trình của một đường tròn có dạng ((x-29) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = 800 )

• TH2: x = – 6, y = 3 => R = (5 sqrt {2} )

Phương trình của một đường tròn có dạng ((x + 6) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = 50 )

Dạng 2: Đường tròn (C) là tiếp tuyến của hai đường ( Delta _ {1}, Delta _ {2} ) và có tâm nằm trên đường thẳng d.

• Tâm I của (C) thỏa mãn ( left { begin {matrix} d (I, Delta _ {1}) = d (I, Delta _ {2}) & \ I epsilon d & end {matrix} right. )
• Bán kính (R = d (I, Delta _ {1}) )

Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn đi qua A (2, -1) và tiếp tuyến của hai trục tọa độ

Phần thưởng: Gọi I (a, b) là tâm của đường tròn (C).

Vì (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên I cách đều 2 trục tọa độ. Bắt nguồn từ: | a | = | b |

Nhận xét: Vì đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên toàn bộ đường tròn nằm ở 1 trong 4 góc của hệ trục và A (2, -1) nằm trong góc phần tư thứ tư.

=> Tâm I thuộc tứ phân => a> 0, b <0

Vậy tọa độ tâm là I (a, -a), bán kính R = a, với a> 0

Ta có phương trình của đường tròn (C) có dạng ((xa) ^ 2 + (y + a) ^ 2 = a ^ 2 )

Vì A (-2; 1) thuộc đường tròn (C) nên thay tọa độ của A vào phương trình (C) ta được: ((2-a) ^ 2 + (1 + a) ^ 2 = a ^ 2 )

Giải phương trình ta được a = 1 hoặc a = 5

• Với a = 1 ta có phương trình (C) ((x-1) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 1 )
• Với a = 5 ta có phương trình (C) ((x-5) ^ 2 + (y + 5) ^ 2 = 5 ^ 2 )

Đây là bài tổng hợp kiến ​​thức viết phương trình của đường tròn tiếp tuyến với đường thẳng. Nếu có bất kỳ nghi ngờ, thắc mắc hay góp ý xây dựng bài viết, hãy để lại bình luận bên dưới. Cảm ơn các bạn, nếu thấy thích thì đừng quên chia sẻ nhé <3