Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Định nghĩa, Ví dụ và Cách giải

Khái niệm về một phương trình chứa dấu của giá trị tuyệt đối là gì? Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham số? Cách lập bảng xét dấu giá trị tuyệt đối? Ví dụ và cách giải phương trình ẩn trong dấu của giá trị tuyệt đối? Cùng với nhau Tip.edu.vn Cùng tìm hiểu về chủ đề trên qua bài viết dưới đây!

Phương trình chứa dấu của giá trị tuyệt đối là gì?

Để hiểu phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng ta cần biết về phương trình ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

Một lần nữa về giá trị tuyệt đối

• Giá trị tuyệt đối của số x, ký hiệu là ( left | x right | ) được xác định như sau:

( left | x right | = left { begin {matrix} x , khi , x geq 0 \ – x , khi , x = 0 end {matrix} right. )

Phương trình một ẩn trong dấu của giá trị tuyệt đối

• Phương trình chứa trong dấu tuyệt đối là phương trình có dạng:

( left | f (x) right | = left | g (x) right | ) hoặc ( left | f (x) right | = g (x) )

• Để giải phương trình ẩn trong dấu của giá trị tuyệt đối, ta tìm cách bỏ dấu của giá trị tuyệt đối, bằng cách:

• Sử dụng định nghĩa hoặc thuộc tính của giá trị tuyệt đối.
• Bình phương cả hai vế của phương trình.
• Đặt ẩn phụ.

Phương trình có dấu tuyệt đối và nghiệm

Dạng 1: Giải phương trình ( left | f (x) right | = b , (b geq 0) )

Phương pháp :

( left | f (x) right | = b Leftrightarrow left { begin {matrix} left | f (x) right | = b \ left | f (x) right | = -b end {matrix} right. )

Ví dụ 1: Giải phương trình ( left | 3x + 1 right | = 5 )

Phần thưởng:

( left | 3x + 1 right | = 5 Leftrightarrow left[begin{array}{l}3x+1=5\3x+1=-5end{array}right)[bắtđầu{mảng}{l}3x+1=53x+1=-5end{array}right)[begin{array}{l}3x+1=53x+1=-5end{array}right)[begin{array}{l}3x+1=5x+1=-5end{array}right)

( Leftrightarrow left[begin{array}{l}x=frac{4}{3}\x=-2end{array}right)[begin{array}{l}x=frac{4}{3}x=-2end{array}right)[begin{array}{l}x=frac{4}{3}x=-2end{array}right)[begin{array}{l}x=frac{4}{3}x=-2end{array}right)

Dạng 2: Giải phương trình ( left | f (x) right | = g (x) )

Phương pháp :

• Phương pháp 1:

( left | f (x) right | = g (x) Leftrightarrow left { begin {matrix} f (x) geq 0 \ f (x) = pm g (x) end {matrix} right. Leftrightarrow left { begin {matrix} f (x) geq 0 \ left[begin{array}{l}f(x)=g(x)\f(x)=-g(x)end{array}rightend{matrix}right)[begin{array}{l}f(x)=g(x)f(x)=-g(x)end{array}rightend{matrix}right)[begin{array}{l}f(x)=g(x)f(x)=-g(x)end{array}rightend{matrix}right)[begin{array}{l}f(x)=g(x)f(x)=-g(x)end{array}rightend{matrix}right)

• Phương pháp 2:

( left | f (x) right | = g (x) Leftrightarrow left[begin{array}{l}left{begin{matrix}f(x)geq0\f(x)=g(x)end{matrix}right\left{begin{matrix}f(x)<0\-f(x)=g(x)end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}left{begin{matrix}f(x)geq0f(x)=g(x)end{matrix}right\left{begin{matrix}f(x)<0-f(x)=g(x)end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}left{begin{matrix}f(x)geq0f(x)=g(x)end{matrix}right\left{begin{matrix}f(x)<0-f(x)=g(x)end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}left{begin{matrix}f(x)geq0f(x)=g(x)end{matrix}rightleft{begin{matrix}f(x)<0-f(x)=g(x)end{matrix}rightend{array}right)

Ví dụ 2: Giải phương trình ( left | 2-3x right | = left | 5-2x right | )

Phần thưởng:

( left | 2-3x right | = left | 5-2x right | Leftrightarrow left[begin{array}{l}2-3x=5-2x\2-3x=-(5-2x)end{array}right)[begin{array}{l}2-3x=5-2×2-3x=-(5-2x)end{array}right)[begin{array}{l}2-3x=5-2×2-3x=-(5-2x)end{array}right)[begin{array}{l}2-3x=5-2x-3x=-(5-2x)end{array}right)

( Leftrightarrow left[begin{array}{l}x=-3\x=frac{7}{5}end{array}right)[begin{array}{l}x=-3x=frac{7}{5}end{array}right)[begin{array}{l}x=-3x=frac{7}{5}end{array}right)[begin{array}{l}x=-3x=frac{7}{5}end{array}right)

Dạng 3: Giải phương trình ( left | f (x) right | + left | g (x) right | = b )

Phương pháp:

• Phương pháp 1:

Bước 1: Lập bảng ngắt dấu giá trị tuyệt đối

Bước 2: Giải các phương trình theo các khoảng trong bảng

• Phương pháp 2: Lấy 4 trường hợp sau:

(TH1: , left { begin {matrix} f (x) geq 0 \ g (x) geq 0 end {matrix} right. )

Chúng tôi giải phương trình (f (x) + g (x) = b )

(TH2: , left { begin {matrix} f (x) geq 0 \ g (x) <0 end {matrix} right. )

Chúng tôi giải phương trình (f (x) – g (x) = b )

(TH3: , left { begin {matrix} f (x) <0 \ g (x) geq 0 end {matrix} right. )

Chúng tôi giải phương trình (- f (x) + g (x) = b )

(TH3: , left { begin {matrix} f (x) <0 \ g (x) <0 end {matrix} right. )

Chúng tôi giải phương trình (- f (x) – g (x) = b )

Ví dụ 3: Giải phương trình ( left | x + 1 right | + left | x-1 right | = 10 )

Phần thưởng: TH1:

( left { begin {matrix} x + 1 geq 0 \ x-1 geq 0 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} x geq -1 x geq 1 end {matrix} right. Rightarrow x geq 1 )

(Mũi tên bên phải Mũi tên trái x + 1 + x-1 = 10 Mũi tên trái x = 5 ) thoả mãn điều kiện (x geq -1 )

TH2:

( left { begin {matrix} x + 1 geq 0 \ x-1 <0 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} x geq -1 \ x <1 end {matrix} right Rightarrow -1 leq x <1 )

(Mũi tên bên phải Mũi tên trái x + 1-x + 1 = 10 Mũi tên trái sang phải 2 = 10 ) (vô lý)

( Rightarrow ) phương trình không có nghiệm

TH3:

( left { begin {matrix} x + 1 <0 \ x-1 geq 0 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} x <-1 \ x geq 1 end {matrix} right. ) (không xảy ra)

TH4: ( left { begin {matrix} x + 1 <0 \ x-1 <0 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} x <-1 \ x <1 end {matrix} right. Rightarrow x <-1 )

(Mũi tên bên phải

• Leftrightarrow – (x + 1) – (x-1) = 10 Leftrightarrow x = -5 ) đáp ứng điều kiện (x <-1 )
• Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 5 và x = -5
• Dạng 4: Giải các bất phương trình chứa dấu tuyệt đối
• Phương pháp:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho biểu thức trong phương trình, bất phương trình. Bước 2: Lập bảng xét dấu của các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, sau đó chia trục số thành các khoảng sao cho trong mỗi khoảng các biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối chỉ nhận một dấu xác định.

Bước 3: Giải (hoặc biện luận) phương trình, bất phương trình trên từng khoảng bị chia.

Bước 4: Kết luận.

Ví dụ 4:[begin{array}{l}left{begin{matrix}x-2>0\frac{1}{x-3}geq3end{matrix}right\left{begin{matrix}x-2<0\frac{1}{3-x}geq3end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}left{begin{matrix}x-2>0frac{1}{x-3}geq3end{matrix}rightleft{begin{matrix}x-2<0frac{1}{3-x}geq3end{matrix}rightend{array}right)

Giải bất phương trình ( frac { left | x-2 right |} {x ^ 2 – 5x +6} geq 3 )[begin{array}{l}left{begin{matrix}x>2\frac{10-3x}{x-3}geq0end{matrix}right\left{begin{matrix}x<2\frac{3x-8}{3-x}geq0end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}left{begin{matrix}x>2frac{10-3x}{x-3}geq0end{matrix}rightleft{begin{matrix}x<2frac{3x-8}{3-x}geq0end{matrix}rightend{array}right)

Phần thưởng:

Biến đổi tương đương của bất phương trình về dạng:

( left[begin{array}{l}left{begin{matrix}x-2>0\frac{1}{x-3}geq3end{matrix}right\left{begin{matrix}x-2<0\frac{1}{3-x}geq3end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}left{begin{matrix}x-2>0\frac{1}{x-3}geq3end{matrix}right\left{begin{matrix}x-2<0\frac{1}{3-x}geq3end{matrix}rightend{array}right)