Phương trình chứa căn thức: Lý thuyết, Phương pháp giải và Bài tập

Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa nghiệm nguyên là dạng toán thường gặp trong chương trình toán lớp 9, lớp 10. Vậy những loại PT chứa gốc nào? Phương pháp giải phương trình chứa nghiệm nguyên?… Trong nội dung bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp các bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề PT chứa căn, cùng tìm hiểu nhé!

Nhắc lại những điều cơ bản

Để giải các bài toán về phương trình chứa căn, trước hết bạn phải nắm được kiến ​​thức về căn cũng như các hằng đẳng thức quan trọng.

Định nghĩa cơ bản là gì?

Căn bậc hai (căn bậc hai) của một số không âm (a ) là số (x ) sao cho (x ^ 2 = a )

Do đó, mọi số dương (a ) đều có hai căn bậc hai ( sqrt {a}; – sqrt {a} )

Tương tự, chúng ta có định nghĩa của căn bậc 3, căn bậc 4:

Căn bậc hai (căn bậc hai) của một số (a ) là số (x ) sao cho (x ^ 3 = a ). Mọi số (a ) chỉ có một căn bậc hai là 3

Căn bậc hai của một số không âm (a ) là số (x ) sao cho (x ^ 4 = a ). Mọi số dương (a ) đều có hai căn bậc hai ( sqrt[4]{a}; – sqrt[4]{Một})

Các hằng số bình đẳng quan trọng

Xem chi tiết >>> 7 Hằng đẳng thức cơ bản và mở rộng đáng nhớ

Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc hai

Định nghĩa của một phương trình chứa một căn bậc hai là gì?

Phương trình có chứa căn bậc hai là phương trình có chứa đại lượng ( sqrt {f (x)} ). Với dạng toán này, trước khi bắt đầu giải, chúng ta luôn phải tìm điều kiện để biểu thức ở gốc có nghĩa, tức là tìm khoảng giá trị từ (x ) đến (f (x) geq 0 ).

Phương pháp đơn giản để giải phương trình có chứa căn bậc hai

Phương pháp bình phương hai vế dùng để giải PT chứa căn bậc hai. Đây được coi là phương pháp đơn giản nhất và được sử dụng phổ biến nhất, thường được sử dụng với các phương trình có dạng: ( sqrt {f (x)} = g (x) )

• Bước 1: Tìm điều kiện của (x ) để (f (x) geq 0; g (x) geq 0 )
• Bước 2: Vuông cả hai bên, sau đó giảm bớt
• Bước 3: Giải cho (x ) và kiểm tra xem điều kiện có được thỏa mãn hay không.

Ví dụ :

Giải phương trình: ( sqrt {x ^ 2-4x + 3} = 3x-7 )

Giải pháp:

SPC:

( left { begin {matrix} x ^ 2-4x + 3 geq 0 \ 3x-7 geq 0 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} (x – 1) (x-3) geq 0 \ 3x geq 7 end {matrix} right. )

( Leftrightarrow left { begin {matrix} left[begin{array}{l} x geq 3\x leq 1 end{array}right.\ xgeq frac{7}{3} end{matrix}right. Leftrightarrow xgeq 3)

Bình phương 2 vế, ta có :

(x^2-4x+3=3x-7 Leftrightarrow x^2-7x+10=0)

 (Leftrightarrow (x-2)(x-5)=0 Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=2\x=5 end{array}right.)

Kiểm tra điều kiện thấy (x=5) thỏa mãn

Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là (x=5)

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 lớp 9 nâng cao

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Phương pháp này sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để chứng minh:

Vế trái (geq) Vế phải hoặc  Vế trái (leq) Vế phải rồi sau đó “ép” cho dấu “=” xảy ra.

Ví dụ :

 Giải phương trình : (sqrt{5x-x^2-4} + sqrt{x-1} =2sqrt{2})

Cách làm :

Điều kiện xác định :

(left{begin{matrix} 5x-x^2-4 geq 0\ x-1 geq 0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} (x-1)(x-4) leq 0\ x geq 1 end{matrix}right. Leftrightarrow 1leq x leq 4)

Áp dụng BĐT (sqrt{a} + sqrt{b} leq sqrt{2(a+b)}), ta có :

(sqrt{5x-x^2-4} + sqrt{x-1} leq sqrt{2(6x-x^2-5)})

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

 ( 5x-x^2-4=x-1 Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0 )

( Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=1\x=3 end{array}right. hspace{1cm}  (1))

Ta có : (6x-x^2-5 = -(x^2-6x+9)+4 =4-(x-3)^2leq 4)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x=3  hspace{1cm} (2))

Vậy :

(sqrt{5x-x^2-4} + sqrt{x-1} leq sqrt{2(6x-x^2-5)} leq sqrt{8}=2sqrt{2}) 

Do đó, để thỏa mãn phương trình đã cho thì ((1)(2)) phải thỏa mãn, hay (x=3)

Phương pháp đặt ẩn phụ quy về hệ phương trình

Với các phương trình dạng : (sqrt{f(x)} pm sqrt{g(x)} =k) ta có thể đặt ẩn phụ (left{begin{matrix} a=sqrt{f(x)}\ b=sqrt{g(x)} end{matrix}right.) rồi giải hệ phương trình hai ẩn (a,b)

Ví dụ :

Giải phương trình :(sqrt{x^2+5} – sqrt{x^2-3} =2)

Cách giải:

Điều kiện xác định : (left[begin{array}{l} x geq sqrt{3}\x leq -sqrt{3} end{array}right.)

Đặt (left{begin{matrix} a= sqrt{x^2+5}\ b= sqrt{x^2-3} end{matrix}right.) ta có :

(left{begin{matrix} a-b =2\ a^2-b^2=8 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} a-b=2\ (a-b)(a+b)=8 end{matrix}right.)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} a-b=2\a+b=4 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} a=3\ b=1 end{matrix}right.)

Thay vào ta tìm được (x=1) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là (x=1)

Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 3

Giải phương trình chứa căn bậc 3 (sqrt[3]{f (x)} = g (x) )

Với dạng bài toán này, chúng ta lập phương cả hai vế để bẻ gốc rồi rút gọn rồi rút gọn để tìm nghiệm của phương trình: (g ^ 3 (x) -f (x) = 0 )

Ví dụ:

Giải phương trình: ( sqrt[3]{3x-4} = x-2 )

Giải pháp:

Bình phương cả hai vế của phương trình, ta có:

(3x-4 = (x-2) ^ 3 Mũi tên trái x ^ 3-6x ^ 2 + 9x-4 = 0 )

( Leftrightarrow (x-1) ^ 2 (x-4) = 0 )

( Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=1\x=4 end{array}right.)

Giải phương trình chứa căn bậc 3 (sqrt[3]{A} + sqrt[3]{B} = sqrt[3]{C})

Với dạng bài toán này, chúng ta bình phương cả hai vế, phương trình trở thành:

(A + B +3 sqrt[3]{AB} ( sqrt[3]{A} + sqrt[3]{B}) = C )

Thay thế ( sqrt[3]{A} + sqrt[3]{B} = sqrt[3]{C} ) trong chúng tôi nhận được:

( sqrt[3]{ABC} = CAB (2) )

Phương trình trở về dạng ( sqrt[3]{f (x)} = g (x) ).

Lưu ý: Sau khi giải xong ta cần thử lại phương trình đã cho vì phương trình ((2) ) chỉ là hệ quả của phương trình ban đầu

Ví dụ :

Giải phương trình:

( sqrt[3]{3x-4} + sqrt[3]{x + 3} = sqrt[3]{4x-1} )

Giải pháp:

Vuông cả hai mặt, ta được:

((3x-4) + (x + 3) +3 sqrt[3]{(3x-4) (x + 3)}. ( Sqrt[3]{3x-4} + sqrt[3]{x + 3}) = 4x-1 )

( Rightarrow 3 sqrt[3]{(3x-4) (x + 3)}. Sqrt[3]{4x-1} = 0 )

( Rightarrow 3 sqrt[3]{(3x-4) (x + 3)}. Sqrt[3]{4x-1} = 0 Mũi tên phải trái[begin{array}{l} x=frac{4}{3}\x=-3 \ x=frac{1}{4} end{array}right.)

Thử lại thấy cả 3 nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là : (frac{4}{3}; -3; frac{1}{4})

Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 4

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 4 là gì?

Để giải phương trình chứa căn bậc 4 thì ta cần năm rõ hằng đẳng thức sau đây:

((x+y)^4=x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4)

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 4

Ví dụ :

Giải phương trình : (sqrt[4]{x ^ 4-4x ^ 3 + 17} -x + 1 )

Giải pháp :

Điều kiện xác định:

( left { begin {matrix} x ^ 4-4x ^ 3 + 17 geq 0 \ x geq 1 end {matrix} right. )

Phương trình đã cho tương đương với:

( sqrt[4]{x ^ 4-4x ^ 3 + 17} = x-1 Mũi tên phải x ^ 4-4x ^ 3 + 17 = (x-1) ^ 4 )

( Phím phải x ^ 4-4x ^ 3 + 17 = x ^ 4 – 4 x ^ 3 + 6 x ^ 2 – 4 x + 1 )

( Rightarrow 6x ^ 2-4x-16 = 0 Rightarrow (x-2) (3x + 4) = 0 )

( Rightarrow left[begin{array}{l} x=2\x=-frac{4}{3} end{array}right.)

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là (x=1)

Tìm hiểu về bất phương trình chứa căn thức

Về cơ bản, cách giải bất phương trình chứa căn thức không khác cách giải PT chứa căn nhiều, nhưng trong khi trình bày chúng ta cần chú ý về dấu của bất phương trình.

Các dạng bất phương trình chứa căn lớp 10

Cách giải bất phương trình chứa căn khó 

Giải bất phương trình chứa căn bậc hai bằng cách bình phương hai vế

Các bước làm cũng tương tự cách giải PT chứa căn

Ví dụ :

Giải bất phương trình : (x-3-sqrt{5-x} geq 0)

Cách giải:

Điều kiện xác định :

(left{begin{matrix} x-3 geq 0\ 5-x geq 0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x geq 3\ x leq 5 end{matrix}right. Leftrightarrow 3 leq x leq 5)

Bất phương trình đã cho tương đương với :

(x-3 geq sqrt{5-x} Leftrightarrow x^2-6x+9 geq 5-x)

(Leftrightarrow x^2-5x+4 geq 0 Leftrightarrow (x-4)(x-1)geq 0)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} x geq 4\ x leq 1 end{matrix}right.)

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là (x in mathbb{R} | xgeq 4)

Giải bất phương trình chứa căn bậc hai bằng cách nhân liên hợp

Đây là phương pháp nâng cao, dùng để giải các bài toán bất PT chứa căn khó. Phương pháp này dựa trên việc áp dụng các đẳng thức sau :

(sqrt{a} – sqrt{b} =frac{a-b}{sqrt{a} + sqrt{b}})

(sqrt{a} + sqrt{b} =frac{a-b}{sqrt{a} – sqrt{b}})

(sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b} = frac {ab} { sqrt[3]{a ^ 2} + sqrt[3]{ab} + sqrt[3]{b ^ 2}} )

( sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b} = frac {a + b} { sqrt[3]{a ^ 2} – sqrt[3]{ab} + sqrt[3]{b ^ 2}} )

Ví dụ :

Giải bất phương trình: ( sqrt {x + 5} – sqrt {2x + 3} geq x ^ 2-4 )

Giải pháp:

Tình trạng :

( left { begin {matrix} x geq -5 \ x geq – frac {3} {2} end {matrix} right. Leftrightarrow x geq – frac {3} { 2} )

Chúng ta có:

( sqrt {x + 5} – sqrt {2x + 3} = frac {(x + 5) – (2x + 3)} { sqrt {x + 5} + sqrt {2x + 3}} = frac {2-x} { sqrt {x + 5} + sqrt {2x + 3}} )

(x ^ 2-4 = (x-2) (x + 2) )

Vậy bất đẳng thức đã cho tương đương với:

( frac {2-x} { sqrt {x + 5} + sqrt {2x + 3}} geq (x-2) (x + 2) )

( Leftrightarrow (x-2) (x + 2 + frac {1} { sqrt {x + 5} + sqrt {2x + 3}}) leq 0 )

Từ CRC có (x geq frac {3} {2} Rightarrow x + 2 geq frac {1} {2}> 0 )

Để có thể :

(x + 2 + frac {1} { sqrt {x + 5} + sqrt {2x + 3}} geq 0 )

Vậy bất đẳng thức đã cho tương đương với:

(x-2 leq 0 Left rightarrow x leq 2 )

Kết hợp các điều kiện xác định, ta nhận được nghiệm của bất phương trình đã cho là:

(- frac {3} {2} leq x leq 2 )

Tìm hiểu về hệ phương trình chứa nghiệm nguyên

Giải hệ phương trình chứa nghiệm bằng phương pháp thay thế

Đây là một phương pháp đơn giản và thường được sử dụng trong các bài toán về hệ PT chứa nghiệm nguyên. Để giải hệ phương trình có chứa nghiệm nguyên bằng phương pháp thay thế, ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm Điều kiện Xác định
• Bước 2: Chọn cái đơn giản hơn trong số hai cái, chuyển nó thành dạng: (x = f (y) )
• Bước 3: Thay (x = f (y) ) vào phương trình còn lại rồi giải phương trình ẩn (y )
• Bước 4: Thay (y ) bằng (x = f (y) ) để tìm (x ). Đối mặt với KẾT LUẬN và sau đó kết luận

Ví dụ :

Giải hệ phương trình:

( left { begin {matrix} sqrt {x + 1} = y + 2 \ sqrt {x + 2y-1} = 2y + 1 end {matrix} right. )

Giải pháp:

Điều kiện xác định:

( left { begin {matrix} x geq -1 \ y geq -2 \ x geq 1-2y \ y geq – frac {1} {2} end {matrix} right. Leftrightarrow left { begin {matrix} x geq -1 \ x geq 1-2y \ y geq – frac {1} {2} end {matrix} right. )

Từ PT (1) ta có:

(x + 1 = (y + 2) ^ 2 = y ^ 2 + 4y + 4 )

( Leftrightarrow x = y ^ 2-4y + 3 hspace {1 cm}

)

Thay PT (2) ta được:

( sqrt {y ^ 2 + 4y + 3 + 2y-1} = 2y + 1 )

( Mũi tên trái y ^ 2 + 6y + 2 = 4y ^ 2 + 4y + 1 )

( Mũi tên trái 3y ^ 2 -2y-1 = 0 )[begin{array}{l} y=1\ y=-frac{1}{3} end{array}right.)

Thay vảo ((*)) ta được :

(left[begin{array}{l} y=1 ; x= 8\ y=-frac{1}{3}; x=frac{1}{9} end{array}right.)

Kết hợp điều kiện xác định thấy cả hai cặp nghiệm đều thỏa mãn.

Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn

Nhắc lại về hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình gồm 2 ẩn (x;y) sao cho khi ta thay đổi vai trò (x;y) cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi:

(left{begin{matrix} f(x;y)=0\g(x;y)=0 end{matrix}right.)

Với:

(left{begin{matrix} f(x;y)=f(y;x)\g(x;y)= g(y;x) end{matrix}right.)

Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn

Đối với dạng toán này, cách giải vẫn giống như các bước giải hệ phương trình đối xứng loại 1, chú ý có thêm bước tìm ĐKXĐ

• Bước 1: Tìm Điều kiện xác định
• Bước 2: Đặt (S = x + y; P = xy)  (với (S^2 geq 4P)) . Khi đó, ta đưa hệ về hệ mới chứa (S;P)  .
• Bước 3: Giải hệ mới tìm (S;P) . Chọn (S;P)  thỏa mãn (S^2 geq 4P)
• Bước 4: Với (S;P) tìm được thì (x;y)  là nghiệm của phương trình: (t^2 -St +P =0) ( sử dụng định lý Vi-ét đảo để giải )

Chú ý:

Một số biểu diễn đối xứng qua (S;P):

Nếu ((x;y)=(a;b)) là nghiệm thì ((x;y)=(b;a)) cũng là nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{begin{matrix} x+y-sqrt{xy}=3\ sqrt{x+1} + sqrt{y+1}=4 end{matrix}right.)

Cách giải :

ĐKXĐ:

(left{begin{matrix} x geq -1\y geq -1 \ xy geq 0 end{matrix}right. hspace{1cm} (*))

Đặt (S=x+y hspace{5mm}; P=xy) với (left{begin{matrix} S^2 geq 4P\ Pgeq 0 \ S geq -2 end{matrix}right. hspace{1cm} (**))

Bình phương 2 vế PT (2) hệ phương trình đã cho tương đương với :

(left{begin{matrix} x+y-sqrt{xy}=3\ x+y+2+sqrt{x+y+xy+1}=16 end{matrix}right.)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} S- sqrt{P} =3 \S+2+2sqrt{S+P+1}=16 end{matrix}right.)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} P= S^2 -6S +9\ S -14 =-2sqrt{S+P+1} end{matrix}right.) với (3leq Sleq 14)

Thay ( P= S^2 -6S +9 ) từ PT (1) vào PT (2) ta có :

(S-14 = -2sqrt{S^2-5S+10})

(Leftrightarrow S^2-28S+196 = 4(S^2-5S+10))

(Leftrightarrow 3S^2+8S-156=0 Leftrightarrow (S-6)(3S+26)=0)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} S=6\S=-frac{26}3{} end{matrix}right.)

Kết hợp ĐKXĐ ta được (S=6 Rightarrow P=9)

Vậy (x;y) là nghiệm của phương trình :

(t^2-6t+9 =0 Leftrightarrow t=3)

Vậy (x=y=3) ( thỏa mãn điều kiện).

Xem chi tiết >>> Các phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2

Xem thêm >>> Chuyên đề Hệ phương trình đẳng cấp cơ bản và nâng cao

Bài viết trên đây của Tip.edu.vn đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về PT chứa căn thức cũng như phương pháp giải phương trình chứa căn, bất phương trình, hệ PT chứa căn. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương trình chứa căn thức. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

( Leftrightarrow (3y + 1) (y-1) = 0 Leftrightarrow left
https://www.youtube.com/watch?v=-B-L79A4voc