Phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Thế nào là tứ giác nội tiếp? Tính chất tứ giác nội tiếp? Làm thế nào để chứng minh rằng một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn? Các bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp? Trong phạm vi bài viết dưới đây, chúng ta hãy Tip.edu.vn Tìm hiểu thêm về chủ đề này!

Lý thuyết tứ giác nội tiếp đường tròn

Định nghĩa tứ giác nội tiếp đường tròn

Tứ giác nội tiếp được trong đường tròn là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn.

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn

• Nếu một tứ giác có tổng số đo của hai góc đối diện thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
• Nếu góc bên ngoài ở một đỉnh bằng góc bên trong ở đỉnh đối diện của đỉnh đó thì tứ giác nội tiếp được một đường tròn.
• Một tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
• Nếu một tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc ( alpha ) thì tứ giác đó có thể nội tiếp được trong một đường tròn.

Định lý

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo của hai góc đối diện là (180 ^ { circle} )

Tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O):

( left { begin {matrix} widehat {A} + widehat {B} & = & 180 ^ { circle} \ widehat {B} + widehat {D} & = & 180 ^ { khoanh tròn} end {matrix} right. )

Định lý đảo

Từ định lý tứ giác nội tiếp trên, ta có thể suy ra định lý nghịch đảo sau: Nếu một tứ giác có tổng số đo của hai góc đối diện bằng 180 ^ { circle} thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.

Cách chứng minh tứ giác nội tiếp được đường tròn

Chứng minh rằng bốn đỉnh của một tứ giác đều cách đều một điểm

Nếu cho đường tròn tâm O và bán kính R thì một điểm bất kỳ nằm trên đường tròn (O) cũng cách tâm O một khoảng bằng R. Từ đó suy ra một chứng minh rằng tứ giác nội tiếp hình tròn.

Cụ thể: Cho điểm I cố định và tứ giác ABCD. Nếu chứng minh được 4 điểm A, B, C, D cách đều điểm I nghĩa là (IA = IB = IC = ID ) thì I là tâm của đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C , D Hay tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm I, bán kính IA.

Chứng minh rằng một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 ^ { khoanh}

Cho tứ giác ABCD, dựa vào dấu hiệu nhận biết thứ hai, nếu chứng minh được widehat {A} + widehat {B} & = & 180 ^ { circle} hoặc widehat {C} + widehat {D} & = & 180 ^ { circle} thì tứ giác ABCD là đường tròn nội tiếp.

Chứng minh rằng từ hai đỉnh kề cùng một cạnh của một tứ giác nhìn vào cùng một cạnh dưới và hai góc đồng dạng.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD, nếu chứng minh được rằng từ hai đỉnh A và B thuộc cùng một cạnh AB của tứ giác ta có ( widehat {DAC} = widehat {DBC} ) và nhìn vào cùng cạnh DC thì Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.

Nếu một tứ giác có tổng số đo của hai góc đối diện bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Ví dụ: Cho tam giác ABCD. Nếu chứng minh được rằng ( widehat {A} + widehat {C} = widehat {B} + widehat {D} ) thì tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn.

Đây có thể nói là trường hợp đặc biệt của trường hợp 2.

Chứng minh rằng góc bên ngoài ở một đỉnh bằng góc bên trong ở đỉnh đối diện của đỉnh đó

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD, nếu chứng minh được rằng góc bên ngoài ở đỉnh A bằng góc bên trong ở C (tức là góc C của tứ giác đó) thì tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.

Chứng minh điều đó bằng mâu thuẫn

Có thể chứng minh tứ giác ABCD là một trong các hình đặc biệt sau: Tứ giác ABCD là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.

Các bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp

Ví dụ 1: Cho ABC là tam giác nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

Chứng minh rằng:

1. Tứ giác BECF là tứ giác nội tiếp
2. HA.HD = HB.HE = HC.HF

Giải pháp

a) Ta có: ( widehat {BEC} = widehat {BFC} = 90 ^ { circle} )

Suy ra các điểm E, F thuộc đường tròn đường kính BC hoặc tứ giác BECF nội tiếp.

b) Vẽ đường tròn đường kính BC. Xét các tam giác BHF và CHE có:

( widehat {EBF} = widehat {ECF} ) (2 góc nội tiếp đồng quy)

( widehat {FHB} = widehat {EHC} ) (ngược lại)

Derive ( bigtriangleup BHF sim bigtriangleup CHE ) (gg)

( frac {BC} {CH} = frac {HF} {HE} ) hoặc (HB.HE = HC.HF (1) )

Chứng minh tương tự, chúng tôi có:

(HA.HD = HB.HE (2) )

Từ (1) và (2) suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF

Ví dụ 2: Chứng minh rằng bốn điểm E, F, O, D nằm trên cùng một đường tròn

Giải pháp

Ví dụ 3: Cho tam giác (ABC (AB = AC) ) nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AG, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEHF nội tiếp.

b) AF.AC = AH.AG

Giải pháp

Ví dụ 4: Cho ABC là tam giác vuông tại (A (AB

a) Tứ giác APIH nội tiếp đường tròn tâm K. Xác định tâm K của đường tròn này.

b) Hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc nhau.

Giải pháp:

a) Dùng dấu hiệu 1 để chứng minh rằng APIH nội tiếp trong một đường tròn:

• Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: Vì P nhìn đoạn thẳng AI một góc vuông nên P thuộc đường tròn đường kính AI.
• Chứng minh tương tự đối với điểm H. Từ đó xác định được trọng tâm K (là trung điểm của đoạn AI).
• Cần nắm được kết luận: Quỹ tích của các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB (SGK ngữ văn lớp 9 tập 2 trang 85).

b) Nhắc lại kiến ​​thức về hai đường tròn tiếp tuyến:

• Nếu hai đường tròn đi qua một điểm duy nhất thì chúng là tiếp tuyến; hoặc liên hệ bên trong, hoặc liên hệ với bên ngoài.
• Liên hệ ngoài nếu khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng của hai bán kính. (OO ‘= R + r )
• Tiếp tuyến trong nếu khoảng cách giữa hai tâm bằng hiệu của hai bán kính: (OO ‘= Rr> 0 )

Tính IK để kết luận rằng 2 đường tròn (I) và (K) nội tiếp nhau tại A.

Trên đây là kiến ​​thức về chủ đề cách chứng minh tứ giác nội tiếp được cũng như các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp. Hy vọng bạn sẽ tìm thấy những kiến ​​thức hữu ích. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!.