Phân tích đa thức thành nhân tử: Lý thuyết, Bài tập nâng cao và Ứng dụng

Nhân tử đa thức là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 8 và Toán 9. Vậy đa thức nhân tử là gì? Làm thế nào để giải đa thức thành nhân tử lớp 8 và lớp 9? Ứng dụng của phép phân tích đa thức thành nhân tử?… Trong nội dung bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!

Nhân tử đa thức là gì?

Theo định nghĩa, một đa thức là một biểu thức được viết dưới dạng tổng của các đơn thức. Mỗi đơn thức sẽ là tích của một số thuộc ( mathbb {R} ) với lũy thừa tự nhiên của biến.

Nói cách khác, tính thừa một đa thức là viết một đa thức dưới dạng tích của các đa thức con. Mỗi đơn thức con như vậy sẽ được gọi là một cấp số nhân

Ví dụ:

(x ^ 2-3x-10 = (x-5) (x + 2) )

Trong biểu thức trên:

• (x ^ 2-3x-10 ) là đa thức được tính nhân tử
• ((x-5) (x + 2) ) là kết quả nhân tử của đa thức đó
• ((x-5) ) và ((x + 2) ) là các hệ số

Phương pháp nhân tử các đa thức lớp 8

Phương pháp thừa số hóa phổ biến

Bài toán: Nhân tử hóa đa thức (A (x) + B (x) )

Các bước:

• Bước 1: Biến đổi (A (x) = C (x) .A_1 (x) ); (B (x) = C (x) .B_1 (x) )
• Bước 2: Khi đó chúng ta có: (A (x) + B (x) = C (x)[A_1(x)+B_1(x)])

Ví dụ:

Nhân tử của đa thức: (x ^ 2-4 + frac {x + 2} {3} )

Giải pháp:

Chúng ta có :

(x ^ 2-4 + frac {x + 2} {3} = (x-2) (x + 2) + frac {x + 2} {3} )

(= (x + 2) (x-2 + frac {1} {3}) )

(= (x + 2) (x- frac {5} {3}) )

Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

Để sử dụng phương pháp này, chúng ta cần nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ Xuống đây:

Ngoài ra, chúng ta nên ghi nhớ một số bình đẳng chung:

• (a ^ 4-b ^ 4 = (a ^ 2 + b ^ 2) (ab) (a + b) )
• ((a + b + c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ac )
• ((a + b + c) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3 (a + b) (b + c) (c + a) )
• ((a + b) (b + c) (c + a) = (a + b + c) (ab + bc + ca) -abc )

Ví dụ:

Nhân tử của đa thức sau: (x ^ 2 + 4x + 4- (2x + 1) ^ 3- (x-1) ^ 2 )

Giải pháp:

Chúng ta có:

(x ^ 2 + 4x + 4- (2x + 1) ^ 3- (x-1) ^ 2 = (x + 2) ^ 2- (x-1) ^ 2- (2x + 1) ^ 3 )

(= 3 (2x + 1) – (2x + 1) ^ 3 )

(= (2x + 1) (3-4x ^ 2-4x-1) = – (4x ^ 2 + 4x-2) (2x + 1) )

(= – (2x + 1- sqrt {3}) (2x + 1 + sqrt {3}) (2x + 1) )

Phương pháp nhóm thuật ngữ

Đây là trường hợp đặc biệt của một tam thức bậc hai có nghiệm.

Phương pháp nhân tử hóa đa thức nâng cao

Phương pháp tách, cộng và trừ để xuất hiện nhân tử chung

Cơ sở của phương pháp này là chúng ta sử dụng định lý sau:

Nếu (x = a ) là nghiệm của phương trình (f (x) = 0 ) thì chúng ta luôn có thể viết (f (x) ) là (f (x) = (xa) .g (x) )

Vì vậy, trong các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta cần tính nhẩm nghiệm nguyên (a ) của đa thức đã cho rồi tách và kết hợp để thành nhân tử ((xa) )

Phương pháp tách

Vấn đề: (A (x) + B (x) + C (x) )

Cách làm như sau: Ta tách (C (x) = C_1 (x) + C_2 (x) ) sao cho ([A(x)+C_1(x)]) và ([B(x)+C_2(x)]) có một nhân tố chung.

Ví dụ:

Nhân đa thức sau thành (5x ^ 3-7x + 2 )

Giải pháp:

Xét phương trình (5x ^ 3-7x + 2 = 0 )

Giải pháp cho thấy rằng (x = 1 ) là nghiệm của phương trình, vì vậy chúng ta cần tách nó ra để làm xuất hiện thừa số ((x-1) ).

Chúng ta có:

(5x ^ 3-7x + 2 = 5x ^ 3-5x-2x + 2 )

(= 5x (x ^ 2-1) -2 (x-1) )

(= 5x (x + 1) (x-1) -2 (x-1) )

(= (5x ^ 2 + 5x-2) (x-1) )

(= ( sqrt {5} x + frac { sqrt {5} + sqrt {13}} {2}) ( sqrt {5} x + frac { sqrt {5} – sqrt {13} } {2}) (x-1) )

Phương pháp cộng và trừ

Bài toán: Nhân tử hóa đa thức (A (x) + B (x) )

Cách làm như sau: Chúng ta cộng (A (x) ) một số lượng (C (x) ) rồi trừ đi (B (x) ) số lượng (C (x) ) ) sao cho (A (x) + C (x) ) và (B (x) -C (x) ) có một nhân tử chung

Ví dụ:

Nhân tử của đa thức sau: (x ^ 3-x ^ 2-4 )

Giải pháp:

Xét phương trình (x ^ 3-x ^ 2-4 = 0 )

Tinh thần thấy rằng (x = 2 ) là nghiệm của phương trình, vì vậy chúng tôi cộng và trừ để làm xuất hiện thừa số ((x-2) ).

Chúng ta có:

(x ^ 3-x ^ 2-4 = x ^ 3-2x ^ 2 + x ^ 2-2x + 2x-4 )

(= x ^ 2 (x-2) + x (x-2) +2 (x-2) )

(= (x-2) (x ^ 2 + x + 2) )

Phương pháp hệ số không chắc chắn

Phương pháp này thường được sử dụng để nhân tử hóa các đa thức bậc (4 ) mà chúng ta không thể tính nhẩm các nghiệm nguyên. Nguyên tắc của phương pháp này như sau:

Nếu hàm thứ tự (4 ) có thể được tính theo nhân tử, thì nó sẽ được tính là ((k_1x ^ 2 + ax + b) (k_2x ^ 2 + cx + d) )

Thông thường trong các bài toán, (k_1 = k_2 = 1 ). Sau đó, chúng tôi có thể mở rộng

((x ^ 2 + ax + b) (x ^ 2 + cx + d) = x ^ 4 + (a + c) x ^ 3 + (ac + b + d) x ^ 2 + (ad + bc) c + bd )

Vì vậy, với một đa thức bậc (4 ) cho trước, chúng ta có thể xác định các hệ số của mỗi số hạng chứa (x ) và sau đó giải hệ thống để tìm (a, b, c, d ) thì có thể nhân tố

***Chú ý: Nếu (k_1.k_2 neq 1 ) thì chúng ta mở rộng bao gồm (k_1; k_2 ) rồi giải hệ thống để tìm (k_1; k_2 )

Trong các bài toán thông thường, các hệ số (a; b; c; d ) là các số nguyên

Ví dụ:

Nhân tử của đa thức sau: (x ^ 4 – 6x ^ 3 + 12x ^ 2 – 14x + 3 )

Giải pháp:

Giả sử chúng ta có thể phân tích đa thức dưới dạng

((x ^ 2 + ax + b) (x ^ 2 + cx + d) )

Sau đó chúng tôi có:

(x4 – 6x ^ 3 + 12x ^ 2 – 14x + 3 = x ^ 4 + (a + c) x ^ 3 + (ac + b + d) x ^ 2 + (ad + bc) c + bd )

Xác định các hệ số, chúng tôi nhận được:

( left { begin {matrix} a + c = -6 \ ac + b + d = 12 \ ad + bc = -14 \ bd = 3 end {matrix} right. )

Vì (bd = 3 ) nên chúng ta chọn (b = 1; d = 3 )

Sau đó:

( left { begin {matrix} a + c = -6 \ ac = 8 \ 3a + c = -14 end {matrix} right. )

( left { begin {matrix} a = -4 \ c = -2 end {matrix} right. )

Vì vậy, ( left { begin {matrix} a = -4 \ b = 1 \ c = -2 \ d = 1 end {matrix} right. )

Do đó chúng ta có:

(x ^ 4 – 6x ^ 3 + 12x ^ 2 – 14x + 3 = (x ^ 2-4x + 1) (x ^ 2-2x + 3) )

(= (x-2- sqrt {3}) (x-2 + sqrt {3}) (x ^ 2-2x + 3) )

Phương pháp phổ biến để thiết lập các biến phụ

Phương pháp kết hợp nhiều phương pháp

Các ứng dụng của đa thức tính nhân tử

Giải phương trình, bất phương trình

Để giải phương trình (f (x) = 0 ), chúng ta phân tích hàm (f (x) ) rồi tiến hành tìm nghiệm của từng thừa số đó.

Ví dụ:

Giải phương trình (x ^ 3 + 3x ^ 2 + 4x + 2 = 0 )

Giải pháp:

Phương trình đã cho tương đương với:

(x ^ 3 + x ^ 2 + 2x ^ 2 + 2x + 2x + 2 = 0 )

( Mũi tên trái x ^ 2 (x + 1) + 2x (x + 1) +2 (x + 1) = 0 )

( Leftrightarrow (x + 1) (x ^ 2 + 2x + 2) = 0 )

( Leftrightarrow left[begin{array}{l}x+1=0\x^2+2x+2=0end{array}right)[begin{array}{l}x+1=0x^2+2x+2=0end{array}right)[begin{array}{l}x+1=0x^2+2x+2=0end{array}right)[begin{array}{l}x+1=0x^2+2x+2=0end{array}right)

( Rightarrow x = -1 )

Đơn giản hóa và đánh giá biểu thức

Để giải các bài toán rút gọn và tính giá trị của biểu thức phân số, ta phân tích tử số và mẫu số của biểu thức rồi chia cả tử số và mẫu số cho nhân tử chung của chúng.

Ví dụ:

Đơn giản hóa và đánh giá biểu thức (P ) với (x = 3 )

(P = frac {2} {(x + 1) sqrt {x + 1} + (x-1) sqrt {x-1}}. Frac { frac {2x} { sqrt {x -1}} – sqrt {x + 1}} { frac {1} { sqrt {x-1}} – frac {1} { sqrt {x + 1}}} )

Giải pháp:

ĐIỀU KIỆN: (x> 1 )

Đặt (a = sqrt {x + 1}; b = sqrt {x-1} ). Thuật ngữ: (a> b> 0 )

Khi đó: (2x = a ^ 2 + b ^ 2 )

Thay vào đó, chúng tôi nhận được:

(P = frac {2} {a ^ 3 + b ^ 3}. Frac { frac {a ^ 2 + b ^ 2} {b} -a} { frac {1} {b} – frac {1} {a}} = frac {2} {(a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2)}. frac { frac {a ^ 2 + b ^ 2-ab} { b}} { frac {ab} {ab}} )

(= frac {2} {a + b}. frac {a} {ab} = frac {2a} {a ^ 2-b ^ 2} )

Thay vào đó, chúng tôi nhận được:

(P = frac {2 sqrt {x + 1}} {2} = sqrt {x + 1} )

Với (x = 3 ), thay vào đó chúng ta nhận được (P = 2 )

Dùng để chứng minh tính chia hết

Để chứng minh rằng biểu thức (A (x) ) chia hết cho biểu thức (B (x) ), chúng ta phân tích nhân tử (A (x) = B (x). C (x) )

Ngoài ra, chúng ta có thể sử dụng định lý sau:

Trong dãy (k ) các số tự nhiên liên tiếp luôn có một và chỉ một số chia hết cho (k ) với (k in mathbb {Z} ^ {+} )

Ví dụ:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương (n ), biểu thức

(P = frac {n} {3} + frac {n ^ 2} {2} + frac {n ^ 3} {6} ) luôn là một số nguyên dương

Giải pháp:

Chúng ta có:

(P = frac {n} {3} + frac {n ^ 2} {2} + frac {n ^ 3} {6} = frac {n ^ 3 + 3n ^ 2 + 2n} {6 } = frac {n (n + 1) (n + 2)} {6} )

Vì (n; n + 1; n + 2 ) là ba số tự nhiên liên tiếp nên

( Rightarrow ) Trong ba số (n; n + 1; n + 2 ) luôn có một số chia hết cho (3 ) và một số chia hết cho (2 )

( Rightarrow n (n + 1) (n + 2) vdots 3 ) và ( Rightarrow n (n + 1) (n + 2) vdots 2 )

Vì ước số chung nhỏ nhất của (2; 3 ) là (1 ), vì vậy

( Rightarrow n (n + 1) (n + 2) vdots 6 )

Vì vậy, ( Rightarrow P ) là một số nguyên dương

Bài tập tính đa thức

Dưới đây là một số bài tập phân thức nhân tử để các bạn luyện tập

(x ^ 2-2x-8 )

(x ^ 3-7x + 6 )

(x ^ 4-8x ^ 3 + 24x ^ 2-35x + 20 )

(2x ^ 2- (x-1) sqrt {x + 1} -2 )

(x sqrt {x} – sqrt {x} sqrt {x + 1} + sqrt {x} -x sqrt {x + 1} + x + 2-2 sqrt {x + 1} )

(a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3-3abc )

((a ^ 2b + b ^ 2c + c ^ 2a) – (ab ^ 2 + bc ^ 2 + ca ^ 2) )

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết về chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu kiến ​​thức về đa thức thành nhân tử. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!.

Xem thêm:

• Định lý Talet trong tam giác, hình thang – Toán lớp 8
• Định nghĩa của một đường trung tuyến là gì? Công thức tính đường trung tuyến