Lũy thừa là gì? Lũy thừa của một tích và Lũy thừa của lũy thừa

Dự phòng là gì? Khái niệm lũy thừa cũng như các dạng toán liên quan là một trong những chuyên đề quan trọng trong chương trình học Đại số dành cho học sinh phổ thông. Cùng Tip.edu.vn tìm hiểu thêm về lũy thừa qua bài viết dưới đây nhé!

Khái niệm lũy thừa là gì?

Quyền hạn với số mũ nguyên

Công suất là một phép toán được thực hiện trên hai số a, b, ký hiệu là (a ^ {b} ), đọc là b sức mạnh của athì a được gọi là cơ số, b được gọi là số mũ ..

Cho n là một số nguyên dương

• Trong đó a là một số thực tùy ý, Lũy thừa thứ n của a là tích của n thừa số a:

(a ^ {n} = overset { underbrace {a times a… times a}} {n} )

• Với (a neq0 )

Quyền hạn của số (a neq0 ) với số mũ −1 là nghịch đảo của nó:

(a ^ {- 1} = frac {1} {a} )

Quyền hạn của một với số mũ âm (m = -n ) là

(a ^ {m} = a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ).

Ví dụ:

(3 ^ {- 2} = frac {1} {3 ^ {2}} = frac {1} {3.3} = frac {1} {9} ).

Quyền hạn với số mũ 0 trong số một

(1 = frac {a ^ {n}} {a ^ {n}} = a ^ {nn} = a ^ {0} )

Quyền hạn của 0 và 1

(0 ^ {m} = 0 ).

(1 ^ {m} = 1 ).

Quyền hạn đối với số mũ hữu tỉ của số thực dương

Cho một số thực dương và một số hữu tỉ ( frac {m} {n} ), lũy thừa với số mũ hợp lý ( frac {m} {n} ) là số (a ^ { frac {m} {n}} ) được xác định là:

(a ^ { frac {m} {n}} = (a ^ {m}) ^ { frac {1} {n}} = sqrt[n]{a ^ {m}} )

Định nghĩa này có thể được mở rộng cho các số thực âm bất cứ khi nào gốc là có nghĩa.

Căn bậc n của một số thực dương

Phép thuật mở nhà hoặc một căn bậc hai N trong số một là một con số x vậy nên (x ^ {n} = a )

Nếu một là một số thực dương, N là một số nguyên dương, x Nếu nó không âm thì có đúng một số thực dương x vậy nên (x ^ {n} = a )

x triệu tập căn số học n độ mộtký hiệu là ( sqrt[a]{N})

trong đó ( sqrt {} ) là ký hiệu gốc.

Quyền hạn với số mũ thực

Vì mọi số thực đều có thể là tiệm cận của các số hữu tỉ, nên lũy thừa với số mũ thực x có thể được xác định trong giới hạn:

(b ^ {x} = lim_ {r to x} b ^ {r} )

trong đó: r tiến bộ x chỉ trong các giá trị hợp lý của r

Ví dụ:

(x khoảng 1.732 )

sau đó (5 ^ {x} khoảng 5 ^ {1,732} = 5 ^ { frac {433} {250}} = sqrt[250]{5 ^ {433}} khoảng 16,241 )

Quyền hạn với số mũ thực cũng thường được xác định bằng cách sử dụng logarit thay vì giới hạn của số hữu tỉ

(a ^ {x} = e ^ {x.lna} )

cho tất cả các số thực x và tích cực thực một

• Lũy thừa phức của số e

Dựa trên biểu diễn lượng giác của số phức, Lũy thừa phức tạp của số e được xác định như sau:

Trước hết, lũy thừa với số mũ ảo thuần túy sau đó e được xác định theo công thức của Euler:

(e ^ {ix} = cosx + i.sinx )

Sau đó, đối với số phức (z = x + yi ), chúng ta có

(e ^ {z} = e ^ {x + yi} = e ^ {x} + e ^ {yi} = e ^ {x} (warm + i.siny) )

Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương

Các thuộc tính quan trọng nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, N được

Nhân 2 lũy thừa với cùng cơ số: (a ^ {m} .a ^ {n} = a ^ {m + n} )

Chia hai lũy thừa cùng cơ số

( frac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {mn} ) ( (a epsilon N *, m geq n )).

Quyền hạn của quyền hạnmột

((a ^ {m}) ^ {n} = a ^ {mn} )

Nhân hai lũy thừa với cùng số mũ

(a ^ {m} .b ^ {m} = (ab) ^ {m} )

Chia cho 2 lũy thừa có cùng số mũ

( frac {a ^ {m}} {b ^ {m}} = ( frac {a} {b}) ^ {m} )

( sqrt[m]{a ^ {n}} = a ^ { frac {n} {m}} m epsilon N, m geq 2, a epsilon R )

So sánh hai lũy thừa cùng cơ số và cùng số mũ

So sánh hai lũy thừa cùng cơ số

• Nếu hai lũy thừa cùng cơ số (> 1) thì lũy thừa với số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn:

(m> n Mũi tên phải a ^ {m}> a ^ {n} (a> 1) )

• Nếu 2 lũy thừa cùng cơ số (<1):

(m> n Mũi tên phải a ^ {m}

Ví dụ: So sánh (2 ^ {5} ) và (2 ^ {9} )

Chúng ta thấy rằng hai số trên có cùng cơ số 2 và (5 <9 Rightarrow 2 ^ {5} <2 ^ {9} )

So sánh hai lũy thừa có cùng số mũ

• Nếu hai lũy thừa với cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn:

(a> b Rightarrow a ^ {n}> b ^ {n} (n> 0) )

Ví dụ: So sánh (4 ^ {5} ) và (6 ^ {5} )

Chúng ta thấy rằng hai số trên có cùng số mũ là 5 và (4 <6 Rightarrow 4 ^ {5} <6 ^ {5} )

Ngoài ra, để so sánh hai quyền lực Chúng tôi cũng sử dụng thuộc tính bắc cầu, thuộc tính đơn điệu của phép nhân.

một0) )

Ví dụ: So sánh (32 ^ {10} ) và (16 ^ {15} ), chọn giá trị nào lớn hơn.

Chúng tôi thấy rằng các cơ số 32 và 16 khác nhau, nhưng cả hai đều là lũy thừa của 2, vì vậy chúng tôi tìm cách đưa (32 ^ {10} ) và (16 ^ {15} ) về các lũy thừa của cùng một cơ số 2.

(32 ^ {10} = (2 ^ {5}) ^ {10} = 2 ^ {50} )

(16 ^ {15} = (2 ^ {4}) ^ {15} = 2 ^ {60} )

Bởi vì (2 ^ {50} <2 ^ {60} Rightarrow 32 ^ {10} <16 ^ {15} )

Sử dụng máy tính để tính số mũ

Tuy sách giáo khoa không chỉ ra cách tính căn và lũy thừa của một số nhưng trong thực tế, hầu hết học sinh sử dụng một trong các máy CASIO fx-500 hoặc fx-570 (MS hoặc ES / ES Plus). . Dưới đây là phần giới thiệu ngắn gọn về phép tính thông qua một số ví dụ để bạn tiện theo dõi:

Tính căn của một số

Vào chế độ tính toán bằng cách nhấn MODE, 1 phím. Sau đó nhập số cần căn rồi nhấn phím = để lấy kết quả. Đối với căn bậc hai và bậc ba, không cần nhập chỉ số căn, đối với căn bậc hai trở lên, cần nhập chỉ số căn (CASIO fx-500 MS và CASIO fx-570 MS nhập chỉ số bằng cách nhấn phím phím). SHIFT, x√x Máy CASIO fx-570MS nhấn các phím SHIFT, □ √◻ nhập chỉ số ▹▹, sau đó nhập số để căn lần cuối và nhấn phím = để lấy kết quả.

Ví dụ 1: Để tính toán ( sqrt {23,42523,425} ) (sau khi vào chế độ), hãy nhấn các phím ( sqrt {} ), 2, 3,., 4, 2, 5, =. Màn hình hiển thị kết quả (4.839938016 ). Làm tròn đến bốn chữ số thập phân cho kết quả là (4,8399 ).

Ví dụ 2: Tính toán ( sqrt[7]{3203207} )

• Đối với CASIO fx- 500 MS và CASIO fx-570 MS, hãy nhấn liên tiếp các phím 7, SHIFT, ( sqrt.[]{} ), 3, 2, 0, = màn hình hiển thị kết quả (2,279704562 ) Làm tròn đến bốn chữ số thập phân cho kết quả ( khoảng 2,2797 ).

– Với CASIO fx-570 ES, nhấn SHIFT, ( sqrt[]{} ), 7, ▹▹, 3, 2, 0, =. cũng sẽ nhận được kết quả tương tự như trên

Sức mạnh của một số

Vào chế độ tính toán, nhập cơ số, nhấn phím lũy thừa, nhập số mũ, nhấn phím = để lấy kết quả. (Đối với CASIO fx-500 MS và CASIO fx-579 MS, phím số mũ là phím nêm; đối với CASIO fx-570 ES, nhấn phím số mũ là phím xsquare).

Xem thêm >>> Hàm số mũ là gì? Định nghĩa và các thuộc tính của hàm mũ

Xem thêm >>> Chuyên đề tổng hợp về lũy thừa với số mũ tự nhiên

Hi vọng với bài viết trên, các bạn đã định nghĩa được, khái niệm lũy thừa là gì, tính chất của lũy thừa, tính chất của lũy thừa, tích lũy thừa, lũy thừa … Nếu có thắc mắc cũng như muốn đóng góp chút gì đó cho bài viết các bạn nhớ để lại bình luận bên dưới để chúng ta cùng nhau thảo luận thêm về số mũ là gì nhé!