Khái niệm về thể tích của khối đa diện và Cách giải một số bài tập về thể tích khối đa diện

Thể tích khối đa diện là một chủ đề quan trọng trong hình học lớp 12. Vậy khái niệm thể tích của khối đa diện là gì? Nêu công thức tính thể tích khối đa diện và cách giải một số bài tập về khối đa diện? Hãy cùng Tip.edu.vn tìm hiểu dưới đây nhé.

Khái niệm về thể tích của một khối đa diện

Cũng giống như khái niệm thể tích thông thường, khái niệm thể tích của khối đa diện được hiểu là phần không gian mà khối đa diện đó chiếm giữ. Gọi là khối đa diện (H), người ta chứng minh được rằng: khối đa diện (H) nào cũng có thể tích dương, tức là V (H)> 0.

Đồng thời, thể tích của (H) thỏa mãn các tính chất sau:

• Nếu (H) là hình lập phương có cạnh 1 thì V (H) = 1
• Nếu hai khối đa diện H1 và H2 bằng nhau thì V (H1) = V (H2)
• Nếu chia khối đa diện H thành hai khối đa diện nhỏ hơn là H1 và H2 thì: V (H) = V (H1) + V (H2)

Công thức về thể tích của một khối đa diện

Bên cạnh khái niệm về thể tích của khối đa diện thì công thức tính thể tích của khối đa diện cũng là một vấn đề cần ghi nhớ. Một số công thức áp dụng thường xuyên trong phần thể tích của một khối đa diện bao gồm:

• Thể tích của hình hộp chữ nhật: V = abc trong đó a là chiều dài, b là chiều rộng và c là chiều cao của hình hộp chữ nhật.
• Thể tích của khối lập phương: V = a3 trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương.
• Thể tích của khối lăng trụ: V = Sh với S là diện tích của đáy, h là chiều cao
• Thể tích của khối cầu: V = với r là bán kính
• Thể tích của hình chóp: V = Đầu tiên3 Bh trong đó B là diện tích của cơ sở, h là chiều cao.
• Thể tích khối nón: V = Đầu tiên3 Bh = Đầu tiên3 r2H

Giải bài tập khối đa diện

Để hiểu rõ hơn về khái niệm thể tích của khối đa diện và cách vận dụng các công thức, chúng ta cùng tìm hiểu cách giải một số bài tập về khái niệm khối đa diện sgk.

Bài 2 trang 25 SGK hình học 12

Bài toán: Tính thể tích của khối bát diện đều cạnh a.

Sự hòa tan:

Để giải quyết vấn đề này, trước tiên chúng ta cần chia khối bát diện đều thành các đa giác có thể dùng để tính thể tích.

Chia khối bát diện đều thành hai hình chóp tứ giác đều cạnh a là E.ABCD và F.ABCD.

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD. Áp dụng định lý Pitago, hãy tính độ dài đường chéo của hình vuông AC = a2 suy ra: AH = một22.

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông EHA ta có: EH = một22.

Vậy thể tích của khối bát diện đều cạnh a là: V = V (E.ABCD) + V (F.ABCD) = 2. Đầu tiên3. HỞ. SA B C D

Thay số ta có: V = a3 23.

Bài 3 trang 25 SGK hình học 12

Chủ đề: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D ‘. Tính tỉ số giữa thể tích của khối lập phương đó và thể tích của tứ diện ACB’D ‘.

Sự hòa tan:

Đầu tiên ta gọi S là diện tích của đáy và h là chiều cao của hình lập phương. Chia hình lập phương thành bốn hình chóp ABCDA’BC’D ′ và bốn hình chóp AA′B′D ′, CC′B′D ‘, B′.BAC và D′.DAC.

Xét khối chóp AA′B′D ′ có SA′B′D ′ = S2 suy ra V = Đầu tiên3 . S2 . h = Sh6

Tương tự, ta được V các hình chóp còn lại.

Vậy V (ACB’D ‘) = Sh – 4 Sh6 = Sh3.

Từ đó sẽ tính được tỷ lệ theo yêu cầu của bài toán.

Bài 4 trang 25 SGK hình học 12

Chủ đề:

Đối với kim tự tháp S.ABC. Trên đường thẳng SASB, SC lấy ba điểm lần lượt A ‘, B’, C ‘ khác với S. Chứng minh rằng: VS.A’B’c ‘VS.ABC= SA ‘SA = SB ‘SB = SC ‘SC

Sự hòa tan:

Đầu tiên ta gọi h và h ‘là đường cao kẻ từ A, A’ đến mặt phẳng (SBC).

Gọi S1 và S2 lần lượt là diện tích các tam giác SBC và SB’C ‘.

Sau đó chúng tôi có: H ‘H= SA ‘SA và S.A’B’c ‘S.ABC= SB ‘SB . SC ‘SC

Có nguồn gốc từ: VS.A’B’c ‘VS.ABC= Đầu tiên3h’S2Đầu tiên3hS1= SA ‘SA. SB ‘SB . SC ‘SC suy ra điều phải chứng minh.

Bài 6 trang 26 SGK hình học 12

Chủ đề: Cho hai đường chéo d và d ′. Đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên d ′. Chứng minh rằng tứ diện đều ABCD có thể tích không đổi.

Sự hòa tan:

Gọi h là độ dài đường vuông góc chung của d và d ′, và α là góc giữa hai đường thẳng d và d ′. Qua B, A, C dựng hình bình hành BACF. Qua A, C, D dựng hình bình hành ACDE.

Có CFD.ABE là hình lăng trụ tam giác.

Suy ra: V D.ABE + V D.BACF = V CFD.ABE

V D.ABE = Đầu tiên3 V CFD.ABE suy ra V D.BACF = 23 V CFD.ABE = 2V D.ABE

VD.ABC = Đầu tiên2 V D.BACF = Đầu tiên3 V CFD.ABE

Vẽ AH vuông góc với mặt phẳng CDF. Ta có: V ABCD = Đầu tiên3 V CFD.ABE = Đầu tiên3 SH. S CDF

Lại có: AB song song với CF nên AB song song với mặt phẳng CDF và mặt phẳng này chứa CD nên d (d, d ‘) = d (AB, CD) = d (AB, (CDF)) = d (A , (CDF)) = AH = h

AB song song với CF nên góc DCF = α nên SCDF = Đầu tiên2 ĐĨA CD. CF. sin α = Đầu tiên2 absin α

Vậy: VABCD = Đầu tiên3 H Đầu tiên2 absinα = Đầu tiên6 H absin α

Tìm ra những gì để chứng minh.

Để hiểu và vận dụng tốt hơn khái niệm thể tích của khối đa diện, các em không nên bỏ qua bài 5 trang 26 sgk hình học 12 và bài 6 trang 25 sgk hình học 12.

Hi vọng qua bài viết trên các bạn đã hiểu rõ hơn về khái niệm thể tích của khối đa diện và cách vận dụng khi làm bài tập. Hãy truy cập Tip.edu.vn để khám phá thêm nhiều kiến ​​thức bổ ích.