Khái niệm và Các định nghĩa của Xác Suất trong Toán học

Quan sát các hiện tượng tự nhiên, chúng ta thấy có những hiện tượng phổ biến, có những hiện tượng hiếm. Các định nghĩa về xác suất sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về xác suất như một đại lượng biểu thị tần suất (tần suất hoặc hiếm khi) một sự kiện xảy ra. Trong lịch sử Toán học đã có rất nhiều định nghĩa cho khái niệm xác suất. Hãy cùng Tip.edu.vn tìm hiểu các định nghĩa về xác suất qua bài viết dưới đây nhé!

Định nghĩa cổ điển về xác suất

Các định nghĩa của xác suất cổ điển

• Cho A1, A2,…, An là một nhóm các sự kiện hoàn chỉnh và có cùng xác suất xảy ra. Khi đó xác suất của biến cố Ai là: P (Ai) = 1 / n
• Nếu biến cố A là tổng của m biến cố thuộc tập hợp đầy đủ các biến cố trên thì xác suất của biến cố A là: P (A) = m / n
• Xác suất xảy ra biến cố A là tỷ số giữa số trường hợp thuận lợi để biến cố A xảy ra và số trường hợp có cùng xác suất khi thực hiện thí nghiệm. Nếu ký hiệu P (A) là xác suất của biến cố A, m là số trường hợp thuận lợi cho biến cố A và n là số trường hợp có cùng xác suất thì ta có công thức: P (A) = m / n = số trường hợp thuận lợi để A xảy ra / Số trường hợp có cùng xác suất.

Ví dụ về xác suất cổ điển

Để hiểu rõ hơn về các định nghĩa của xác suất nói chung cũng như xác suất cổ điển nói riêng, chúng ta cùng nghiên cứu các ví dụ cụ thể sau:

Từ một hộp có 13 viên bi đỏ và 7 bi trắng cùng cỡ, người ta lấy ngẫu nhiên ra 1 bi. Sau đó:

• Xác suất để rút được bi đỏ là: P (D) = 13/12 = 0,65
• Xác suất để rút được bi trắng là: P (T) = 7/20 = 0,35

Định nghĩa thống kê về xác suất

Định nghĩa tần số

Tần suất xuất hiện của một sự kiện trong n lần thử nghiệm là tỷ số giữa số lần thử nghiệm sự kiện đó xảy ra và tổng số lần thử nghiệm được thực hiện. Nếu ký hiệu kiểm tra là n, số lần xuất hiện của sự kiện A là k và tần suất xuất hiện của sự kiện A là: f (A) = k / n

Cùng với khái niệm xác suất, khái niệm tần suất là một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất.

• ví dụ 1: Khi khảo sát ngẫu nhiên 40 học sinh, người ta thấy có 5 học sinh giỏi. Nếu gọi A là biến cố “xuất hiện học sinh giỏi” thì tần suất xuất hiện học sinh giỏi trong số 40 học sinh được khảo sát là: f (A) = 5/40 = 1/8
• Ví dụ 2: Để nghiên cứu khả năng xảy ra sấp khi tung đồng xu, người ta tiến hành tung đồng xu nhiều lần và thu được kết quả cho trong bảng dưới đây:

Từ kết quả của các lần thử trên, ta thấy rằng khi số lần thử tăng lên, tần suất xuất hiện sấp dần 0,5, là xác suất xuất hiện sấp khi tung đồng xu. Vì vậy, tần số tiếp cận với xác suất khi số lượng thử nghiệm tăng lên đến vô cùng. (Vấn đề này sẽ được tìm hiểu sâu hơn khi học về quy luật số lớn). Từ đó chúng ta có được định nghĩa thống kê của xác suất.

Định nghĩa xác suất

• Khi số lần thử nghiệm tăng lên vô thời hạn, tần suất xuất hiện của một sự kiện tiến tới một con số xác định được gọi là xác suất của sự kiện đó. Nói cách khác, xác suất là giới hạn của tần suất khi số lượng thử nghiệm tăng lên vô hạn.
• Định nghĩa thống kê của xác suất có ưu điểm lớn là nó không yêu cầu các điều kiện áp dụng tương tự như đối với các định nghĩa cổ điển. Nó hoàn toàn dựa trên những quan sát thực tế để đưa ra kết luận cơ sở về xác suất sự kiện xảy ra.

Tuy nhiên, trong thực tế không thể tiến hành vô số thử nghiệm mà đối với một số lượng thử nghiệm đủ lớn ta có thể coi xác suất xấp xỉ bằng tần suất. Các định nghĩa về xác suất ở trên đã được minh họa chi tiết. Hy vọng bạn đã nắm được khái niệm cơ bản này.

Vị tríý nghĩa xác suất hình học

Khi số lần thử n (Ω) là vô hạn, chúng ta không thể áp dụng định nghĩa cổ điển để tính xác suất. Trong nhiều trường hợp, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa hình học của xác suất sau:

Định nghĩa hình học của xác suất

Giả sử một điểm được đưa ngẫu nhiên vào miền D, A là tập con của D. Khi đó xác suất điểm đó rơi ngẫu nhiên vào miền A được xác định theo công thức: P (A) = sd (A) / sd (D)

Trong đó sd (A), sd (D) là số đo của miền A, D (có thể là độ dài, diện tích hoặc thể tích tùy thuộc vào miền dưới dạng đường thẳng, mặt phẳng hoặc trong không gian 3D theo từng hướng). vấn đề cụ thể).

Chúng tôi xem xét định nghĩa thông qua một ví dụ điển hình – “Vấn đề cuộc họp “

Hai người bạn hẹn nhau tại một địa điểm đã định trước trong khoảng thời gian từ 19 giờ đến 20 giờ. Hai người đến điểm hẹn một cách độc lập và quy ước người đến trước chỉ đợi người đến sau 10 phút, nếu không có thì đi. Xác suất để hai người gặp nhau là bao nhiêu?

Phần thưởng:

Gọi A là biến cố hai người gặp nhau.

Gọi x là số phút tại thời điểm người thứ nhất đến điểm hẹn: 0 ≤ x ≤ 60.

Gọi y là số phút người thứ hai đến điểm hẹn: 0 ≤ y ≤ 60.

Nếu chúng ta biểu diễn số phút x dọc theo trục hoành và số phút y dọc theo trục tung.

Như vậy, số phút khi đến của cả hai người được biểu diễn bằng một điểm có tọa độ (x, y) nằm trong hình vuông có cạnh 60 (ta lấy phút là đơn vị). Đó là miền D.

D = {(x, y): 0 ≤x ≤ 60; 0 y ≤ 60}

Để hai người gặp nhau thì số phút lúc đến x, y của mỗi người phải thoả mãn điều kiện: Ix-yI

Như vậy, các điểm (x, y) thoả mãn là các điểm thuộc đoạn A có hoành độ nằm giữa hai đường thẳng y = x – 10 và y = x + 10.

Từ định nghĩa xác suất hình học, chúng ta thấy rằng một sự kiện có xác suất bằng không vẫn có thể xảy ra. Ví dụ, xác suất viên đạn bắn trúng điểm M trên vùng D bằng không (vì vùng S (A) bằng diện tích của điểm M, bằng không), nhưng sự kiện vẫn có thể xảy ra.

Tính chất của xác suất

Từ các định nghĩa của xác suất nêu trên, chúng ta có thể suy ra các tính chất của xác suất:

1. Nếu A thuộc A thì P (A) <= P (B), P (BA) = P (B) -P (A)
2. Nếu A là biến cố bất kỳ thì: 0 P (A) 1
3. Xác suất của một sự kiện nhất định bằng một: P (U) = 1
4. Xác suất của biến cố khó xảy ra bằng 0: P (V) = 0
5. Nếu một^Clà phần bù của biến cố A thì: P (A^C) = 1 – P (A)
6. Nếu A và B là các sự kiện loại trừ lẫn nhau thì: P (AUB) = P (A) + P (B)
7. Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

Nói chung, nếu A, B và C là ba sự kiện bất kỳ, thì:

P (AUBUC) = P (A) + P (B) + P (C) – P (A ∩ B) – P (B ∩ C) – P (C ∩ A) + P (A ∩ B ∩ C)

Các ví dụ đã giải quyết

ví dụ 1: Một nhóm gồm 15 sinh viên, trong đó có 6 sinh viên cùng quê Đà Nẵng, 4 sinh viên cùng quê Tiền Giang và 5 sinh viên còn lại ở Thành phố Hồ Chí Minh. Cả 15 bạn đứng sau 15 cánh cửa giống nhau được đánh số từ 1 đến 15. Hai bạn chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 cánh cửa. Tìm xác suất để:

1. Cả 3 học sinh đứng sau cánh cửa đó đều cùng quê (A).
2. Có đúng 2 sinh viên cùng quê (B).
3. Có ít nhất 2 sinh viên cùng quê (C).
4. Không ai trong số học sinh là đồng hương.

Câu trả lời:

a / Đăng Quảng cáo: “Ba học sinh được chọn cùng nhau tại Đà Nẵng”.

Tại: “Ba học sinh được tuyển chọn cùng nhau tại Tiền Giang”:.

Ah: “Ba học sinh được chọn cùng nhau tại TP.HCM”.

Khi đó, Ad, At và Ah loại trừ lẫn nhau và vì chỉ có 3 cửa được chọn ngẫu nhiên nên A = Ad + At + Ah. Vì vậy, theo tính chất của xác suất, chúng ta có: P (A) = P (Ad) + P (At) + P (Ah)

b / Tương tự với kí hiệu:

Bd: “Trong 3 học sinh thì có 2 học sinh cùng quê Đà Nẵng”.

Ghi chú: “Trong số 3 học sinh thì có 2 học sinh cùng quê Tiền Giang”.

Bh: “Trong 3 sinh viên thì có 2 sinh viên cùng quê TP.HCM”.

Khi đó: P (B) = P (Bd) + P (Bt) + P (Bh)

c / P (C) = P (A) + P (B) = 34/455 + 301/455 + 335/455 = 0,7363

d / D = C nên P (D) = 1 – P (C) = 1- 335/455 = 0,2637

Trên đây là những kiến ​​thức bổ ích cũng như một số ví dụ về các định nghĩa của xác suất, hi vọng sẽ cung cấp cho các bạn thông tin phục vụ cho quá trình nghiên cứu và học tập của bản thân. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào liên quan đến nội dung bài viết các định nghĩa về xác suất, hãy để lại bình luận bên dưới để chúng ta cùng trao đổi thêm nhé!