Hệ tọa độ trong không gian là gì? Công thức và Bài tập ví dụ

Bên cạnh những bài toán hình học phẳng lớp 10 cực hay thì hệ trục tọa độ trong không gian lớp 12 cũng là một dạng toán vô cùng hay và không quá khó mà chúng ta không nên bỏ qua. Hãy cùng Tip.edu.vn khám phá và tổng hợp những kiến ​​thức quan trọng nhất về hệ tọa độ trong không gian nhé!

Hệ tọa độ trong không gian là gì? Định nghĩa hệ tọa độ trong không gian

Hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ tọa độ vuông góc trong không gian. Hình ảnh minh họa hệ tọa độ trong không gian được thể hiện cụ thể dưới đây:

Thuật ngữ và ký hiệu cho các trục tọa độ trong không gian

Hệ tọa độ trong không gian hay được gọi đơn giản là hệ tọa độ trong không gian, như đã định nghĩa ở trên, ký hiệu là Oxyz. Với

• O (0,0,0) là điểm gốc.
• Các trục tọa độ: Ox là trục hoành, Oy là trục tung, Oz là trục độ cao
• ( vec {i}, vec {j}, vec {k} ) được gọi là vectơ đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz và trên các góc vuông.

( vec {i} = (1; 0; 0), vec {j} = (0; 1; 0), vec {k} = (0; 0; 1) )

Lưu ý: ( vec {i} ^ {2} = vec {j} ^ {2} = vec {k} ^ {2} = 1 )

( vec {i}. vec {j} = vec {j}. vec {k} = vec {k}. vec {i} = 0 )

• Các mặt phẳng đi qua 2 trong 3 trục tọa độ được gọi là mặt phẳng tọa độ, ký hiệu là (Oxy), (Oyz), (Oxz) vuông góc với nhau.

Tọa độ của điểm

( overrightarrow {OM} = x vec {i} + y vec {j} + z vec {k} Leftrightarrow M (x; y; z) )

Trong đó:

• x được gọi là hoành độ
• y được gọi là tọa độ,
• z được gọi là đường cao của điểm M

Tọa độ của vectơ

( vec {a} = a_ {1} vec {i} + a_ {2} vec {j} + a_ {3} vec {k} Leftrightarrow vec {a} = (a_ {1} ; a_ {2}; a_ {3}) )

Thuộc tính hệ tọa độ trong không gian cần nhớ

Cho trước ( vec {a} = (x_ {1}; y_ {1}; z_ {1}), b = (x_ {2}; y_ {2}; z_ {2}) ) và số k tùy thuộc vào ý tôi, chúng tôi có:

• Tổng của hai vectơ là một vectơ

( vec {a} + vec {b} = (x_ {1} + x_ {2}; y_ {1} + y_ {2}; z_ {1} + z_ {2}) )

• Hiệu của hai vectơ là một vectơ

( vec {a} – vec {b} = (x_ {1} -x_ {2}; y_ {1} -y_ {2}; z_ {1} -z_ {2}) )

• Tích của một vectơ với một số thực là một vectơ

(k. vec {a} = (kx_ {1}; ky_ {1}; kz_ {1}) )

• Chiều dài vectơ

( left | vec {a} right | = sqrt {x1 ^ {2} + y1 ^ {2} + z1 ^ {2}} )

• Tọa độ vectơ không

( vec {0} = (0; 0; 0) )

• Hai vectơ bằng nhau

( vec {a} = vec {b} Leftrightarrow left { begin {matrix} x_ {1} & = & x_ {2} \ y_ {1} & = & y_ {2} \ z_ {1} & = & z_ {2} end {matrix} right. )

• Tích của hai vectơ

( vec {a} perp vec {b} Leftrightarrow vec {a} vec {b} = 0 )

• Góc giữa hai vectơ là tích số chấm chia cho độ dài

(cos ( vec {a}, vec {b}) = frac { vec {a}. vec {b}} { left | vec {a} right |. left | vec {b} right |} = frac {x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2} + z_ {1} z_ {2}} { sqrt {x_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} + z_ {1} ^ {2}}. sqrt {x_ {2} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} + z_ {2} ^ {2}} } )

Công thức cho các trục tọa độ trong không gian

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzđối với (A (x_ {a}; y_ {a}; z_ {a}), B (x_ {b}; y_ {b}; z_ {b}) ), chúng ta có:

• Tọa độ ( overrightarrow {AB} ) là:

( overrightarrow {AB} = (x_ {B} -x_ {A}; y_ {B} -y_ {A}; z_ {B} -z_ {A}) )

• Độ dài của đoạn thẳng AB (hoặc khoảng cách giữa hai điểm A và B) được tính bằng độ dài ( overrightarrow {AB} )

(AB = left | overrightarrow {AB} right | = sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2} + (z_ {B} -z_ {A}) ^ {2}} )

• Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

( left { begin {matrix} x_ {I} & = & frac {x_ {A} + x_ {B}} {2} \ y_ {I} & = & frac {y_ {A} + y_ {B}} {2} \ z_ {I} & = & frac {z_ {A} + z_ {B}} {2} end {matrix} right. Rightarrow I = (x_ {I }; y_ {I}; z_ {I}) )

• Tọa độ trọng tâm của tam giác:

Cho ( bigtriangleup ABC ) với (A (x_ {a}; y_ {a}; z_ {a}), B (x_ {b}; y_ {b}; z_ {b}) ), (C (x_ {C}; y_ {C}; z_ {C}) )

Chúng ta có tọa độ của trọng tâm G của ( bigtriangleup ABC ) là:

( left { begin {matrix} x_ {G} & = & frac {x_ {A} + x_ {B} + x_ {C}} {3} \ y_ {G} & = & frac {y_ {A} + y_ {B} + y_ {C}} {3} \ z_ {G} & = & frac {z_ {A} + z_ {B} + z_ {C}} {3} end {matrix} right. Rightarrow G = (x_ {G}; y_ {G}; z_ {G}) )

• Tích số chấm của hai vectơ:

( vec {a}. vec {b} = x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2} + z_ {1} z_ {2} )

Bài tập hệ tọa độ lớp 12. khoảng trống

Ví dụ về bài tập về hệ tọa độ trong không gian

Cách giải bài tập này như sau:

Hy vọng bài viết trên đã giúp các bạn có được những kiến ​​thức bổ ích cho chương trình môn Toán THPT. Nếu có đóng góp hay thắc mắc gì về bài viết về hệ tọa độ trong không gian, các bạn hãy comment bên dưới để chúng ta cùng trao đổi thêm nhé!