Hệ phương trình hai ẩn là gì? Bài tập và Cách giải hệ phương trình 2 ẩn

Hệ phương trình 2 ẩn là gì? Ví dụ bài tập và cách giải hệ phương trình 2 ẩn số? Trong phạm vi bài viết dưới đây, chúng ta hãy Tip.edu.vn Tìm hiểu về chủ đề này!

Xác định một hệ phương trình có hai ẩn số?

Hệ phương trình có hai ẩn số là gì? Lý thuyết và phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số sẽ được trình bày chi tiết trong nội dung dưới đây.

Tổng quan về hệ phương trình bậc hai hai ẩn số

• Hệ phương trình bậc hai hai ẩn số có dạng: ( left { begin {matrix} ax + by = c \ a’x + b’y = c ‘ end {matrix} right. )
• => Ở đâu, (a, b, c, a ‘, b’, c ‘ in mathbb {R} )
• Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số:

Gọi (d): ax + by = c; (d ‘): a’x + b’y = c’. Sau đó chúng tôi có

• ((d) song song (d ‘) ) thì hệ thống không có giải pháp
• ((d) times (d ‘) ) thì hệ thống có một giải pháp duy nhất
• ((d) Equiv (d ‘) ) thì hệ thống có vô số nghiệm
• Hệ phương trình tương đương
• => Hai hệ phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

Phương pháp thay thế

• Sử dụng quy tắc thay thế để biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình là ẩn số
• Giải phương trình của một ẩn số và sau đó suy ra nghiệm của hệ

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: ( left { begin {matrix} x – y = 3 \ 3x – 4y = 4 end {matrix} right. )

Giải pháp:

( left { begin {matrix} x – y = 3 \ 3x – 4y = 4 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} x = y + 3 \ 3 ( y + 3) – 4y = 4 end {matrix} right. )

( Leftrightarrow left { begin {matrix} x = y + 3 \ 3y + 9 – 4y = 4 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} x = y + 3 \ y = 5 end {matrix} right. Leftrightarrow left { begin {matrix} x = 8 \ y = 5 end {matrix} right. )

Vì vậy, hệ thống chỉ có giải pháp (8, 5)

Phương pháp cộng đại số

• Nhân cả hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho hệ số của một số ẩn số trong hai phương trình bằng nhau hoặc trái dấu.
• Áp dụng quy tắc cộng đại số để có một phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong các ẩn số bằng 0 (phương trình của một ẩn số).
• Giải phương trình thu được của một ẩn số rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Ví dụ 2: Giải phương trình: ( left { begin {matrix} x – 5y = 19 , (1) \ 3x + 2y = 6 , (2) end {matrix} right. )

Giải pháp:

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3 để được: ( left { begin {matrix} 3x – 15y = 57 \ 3x + 2y = 6 end {matrix} right. )

Trừ mỗi vế của (1) cho (2) ta có: (- 17y = 51 Rightarrow y = -3 )

Thay y = -3 vào (1) để được: (x – 5. (- 3) = 19 Mũi tên trái x = 4 )

Vì vậy, giải pháp duy nhất là ( left { begin {matrix} x = 4 \ y = -3 end {matrix} right. )

Một số dạng hệ phương trình đặc biệt

Hệ phương trình loại 1. đối diện

Một hệ hai phương trình gồm hai ẩn số x và y đã cho là đối xứng loại thứ nhất, nếu ta hoán đổi hai ẩn số x và y thì mỗi phương trình của hệ không đổi.

Giải pháp:

Đặt (S = x + y; P = xy , (S ^ 2 geq 4P) )

Giải hệ tìm S và P

Với mỗi cặp (S; P), x và y là hai nghiệm của phương trình (t ^ 2 – St + P = 0 )

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: ( left { begin {matrix} x + y + 2xy = 2 \ x ^ 3 + y ^ 3 = 8 end {matrix} right. )

Giải pháp:

Cho S = x + y, P = xy. Khi đó phương trình trở thành:

( left { begin {matrix} S + 2P = 2 \ S (S ^ 2-3P) = 8 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} P = frac {2 – S} {2} \ S (S ^ 2- frac {6-3S} {2}) = 8 end {matrix} right. )

( Rightarrow 2S ^ 3 + 3S ^ 2 – 6S -16 = 0 Leftrightarrow (S-2) (2S ^ 2 + 7S + 8) = 0 Leftrightarrow S = 2 Rightarrow P = 0 )

Theo đó x, y là nghiệm của phương trình (t ^ 2-2t = 0 Leftrightarrow left[begin{array}{l}t=0\t=2end{array}right)[begin{array}{l}t=0t=2end{array}right)[begin{array}{l}t=0t=2end{array}right)[begin{array}{l}t=0t=2end{array}right)

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (0,2) hoặc (2,0)

Hệ phương trình đối xứng của 2. thể loại

• Hệ hai phương trình x và y đã cho là đối xứng loại hai, nếu ta hoán đổi hai ẩn số x và y thì phương trình đã trình bày sẽ trở thành phương trình kia và ngược lại.
• Giải pháp
• Trừ vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình có hai ẩn số
• Biến đổi phương trình của hai ẩn số bạn vừa tìm được thành phương trình tích
• Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x).
• Thay x bởi y (hoặc y bởi x) vào một trong hai phương trình trong hệ để được phương trình có một ẩn số.
• Giải phương trình một ẩn số rồi suy ra nghiệm của hệ

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: ( left { begin {matrix} x ^ 2 = 3x + 2y \ y ^ 2 = 3y + 2x end {matrix} right. )

Giải pháp:

Trừ vế đi và vế của hai phương trình của hệ, ta được:

(x ^ 2 – y ^ 2 = xy Leftrightarrow (xy) (x + y-1) = 0 Leftrightarrow left[begin{array}{l}x=y\x=1-yend{array}right)[begin{array}{l}x=yx=1-yend{array}right)[begin{array}{l}x=yx=1-yend{array}right)[begin{array}{l}x=yx=1-yend{array}right)

Với (x = y Rightarrow x ^ 2 = 3x Leftrightarrow left[begin{array}{l}x=0\x=3end{array}right)[begin{array}{l}x=0x=3end{array}right)[begin{array}{l}x=0x=3end{array}right)[begin{array}{l}x=0x=3end{array}right)

Với (x = 1-y Rightarrow y ^ 2 = 3y + 2 (1-y) Leftrightarrow y ^ 2 -y -2 = 0 Leftrightarrow left[begin{array}{l}y=-1Rightarrowx=0\y=2Rightarrowx=-1end{array}right)[begin{array}{l}y=-1Rightarrowx=0y=2Rightarrowx=-1end{array}right)[begin{array}{l}y=-1Rightarrowx=0y=2Rightarrowx=-1end{array}right)[begin{array}{l}y=-1Rightarrowx=0y=2Rightarrowx=-1end{array}right)

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm (x; y) = (0,0), (3,3), (-1; 2), (2; -1)

Hệ phương trình bậc hai

Hệ phương trình bậc hai có dạng: ( left { begin {matrix} f (x; y) = a \ g (x; y) = b end {matrix} right. )

Trong đó f (x; y) và g (x; y) là các phương trình bậc hai, trong đó a và b là các hằng số.

Giải pháp:

Kiểm tra xem x = 0 có phải là nghiệm của hệ phương trình không

Nếu x = 0, ta đặt y = tx rồi thay hai phương trình vào hệ

Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình thì ta khử x rồi giải hệ tìm t

Thay y = tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình có một ẩn số (ẩn x)

Giải phương trình trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: ( left { begin {matrix} 2x ^ 2 + 3xy + y ^ 2 = 15 , (1) \ x ^ 2 + xy + 2y ^ 2 = 8 , (2 ) end {matrix} right. )

Giải pháp:

Giảm số hạng tự do khỏi hệ thống, chúng ta nhận được: (x ^ 2 + 9xy – 22y ^ 2 = 0 , (3) )

Đặt x = ty, sau đó đặt ((3) Leftrightarrow y ^ 2 (t ^ 2 + 9t-22) = 0 Leftrightarrow left[begin{array}{l}y=0\t=2\t=-11end{array}right)[begin{array}{l}y=0t=2t=-11end{array}right)[begin{array}{l}y=0t=2t=-11​​end{array}right)[begin{array}{l}y=0t=2t=-11end{array}right)

Đối với y = 0, hệ có dạng: ( left { begin {matrix} 2x ^ 2 = 15 \ x ^ 2 = 8 end {matrix} right. ) Không có nghiệm

Với t = 2, chúng ta nhận được x = 2y ((2) Leftrightarrow y ^ 2 = 1 Leftrightarrow left[begin{array}{l}y_{1}=1\y_{2}=-1end{array}rightRightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x_{1}=2\y_{1}=1end{matrix}right\left{begin{matrix}x_{2}=-2\y_{2}=-1end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}y_{1}=1y_{2}=-1end{array}rightRightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x_{1}=2y_{1}=1end{matrix}right\left{begin{matrix}x_{2}=-2y_{2}=-1end{matrix}rightend{mảng}right)[begin{array}{l}y_{1}=1y_{2}=-1end{array}rightRightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x_{1}=2y_{1}=1end{matrix}right\left{begin{matrix}x_{2}=-2y_{2}=-1end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}y_{1}=1y_{2}=-1end{array}rightRightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x_{1}=2y_{1}=1end{matrix}rightleft{begin{matrix}x_{2}=-2y_{2}=-1end{matrix}rightend{array}right)

Với t = -11 ta được x = -11y, ((2) Leftrightarrow y ^ 2 = frac {1} {14} Leftrightarrow left[begin{array}{l}y_{3}=frac{1}{sqrt{14}}\y_{4}=frac{-1}{sqrt{14}}end{array}rightRightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x_{3}=frac{-1}{sqrt{14}}\y_{3}=frac{1}{sqrt{14}}end{matrận}right\left{begin{matrix}x_{2}=frac{1}{sqrt{14}}\y_{2}=frac{-1}{sqrt{14}}end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}y_{3}=frac{1}{sqrt{14}}y_{4}=frac{-1}{sqrt{14}}end{array}rightRightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x_{3}=frac{-1}{sqrt{14}}y_{3}=frac{1}{sqrt{14}}end{matrix}right\left{begin{matrix}x_{2}=frac{1}{sqrt{14}}y_{2}=frac{-1}{sqrt{14}}end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}y_{3}=frac{1}{sqrt{14}}y_{4}=frac{-1}{sqrt{14}}end{array}rightRightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x_{3}=frac{-1}{sqrt{14}}y_{3}=frac{1}{sqrt{14}}end{matrix}right\left{begin{matrix}x_{2}=frac{1}{sqrt{14}}y_{2}=frac{-1}{sqrt{14}}end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}y_{3}=frac{1}{sqrt{14}}y_{4}=frac{-1}{sqrt{14}}end{array}rightRightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x_{3}=frac{-1}{sqrt{14}}y_{3}=frac{1}{sqrt{14}}end{matrix}rightleft{begin{matrix}x_{2}=frac{1}{sqrt{14}}y_{2}=frac{-1}{sqrt{14}}end{matrix}rightend{array}right)

Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn số

• Ví dụ về bất đẳng thức bậc nhất hai ẩn: ( left { begin {matrix} 5x + 4y> 9 \ 2x – y <22 end {matrix} right. )
• Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
• Để xác định miền nghiệm của hệ, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học sau:
• Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
• Sau khi thực hiện lần lượt các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch chéo là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Trên đây là lý thuyết và cách giải hệ phương trình 2 ẩn số. Hi vọng những kiến ​​thức mà Tip.edu.vn vừa cung cấp sẽ hữu ích cho các bạn trong quá trình học tập của bản thân cũng như nắm vững cách giải hệ phương trình 2 ẩn. Học tốt!