Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Lý thuyết và Bài tập

Hệ hai phương trình bậc hai với hai ẩn số là gì? Hệ phương trình bậc hai hai ẩn số? Những kiến ​​thức nào em cần biết về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn số và hệ phương trình bậc hai hai ẩn số? Lý thuyết, phương pháp và phương pháp giải một hệ hai phương trình bậc hai với hai ẩn số là gì? Làm thế nào để giải hệ phương trình bằng phương pháp thay thế? Cách giải hệ phương trình bậc hai 2 ẩn số bằng định thức cần lưu ý điều gì?… Đây là những vấn đề được rất nhiều học sinh quan tâm. Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng Tip.edu.vn Hãy đi tìm câu trả lời!

Hệ hai phương trình bậc hai với hai ẩn số là gì?

Định nghĩa hệ hai phương trình bậc hai với hai ẩn số

Hệ phương trình bậc hai hai ẩn số có dạng: ( left { begin {matrix} ax + by = c \ a’x + b’y = c ‘ end {matrix} right. )

Ở đâu, (a, b, c, a ‘, b’, c ‘ in mathbb {R} )

Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số:

Gọi (d): ax + by = c; (d ‘): a’x + b’y = c’. Sau đó chúng tôi có

• ((d) song song (d ‘) ) thì hệ thống không có giải pháp
• ((d) times (d ‘) ) thì hệ thống có một giải pháp duy nhất
• ((d) Equiv (d ‘) ) thì hệ thống có vô số nghiệm

Hệ phương trình tương đương là gì? Hai hệ phương trình là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Phương pháp giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thay thế

• Bước 1: Chọn một phương trình biểu diễn nghiệm đơn giản nhất.
• Bước 2: Thay vào phương trình còn lại.

Giải hệ phương trình bằng đại số

• Bước 1: Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình của hệ phương trình để được phương trình mới.
• Bước 2: Dùng phương trình mới đó để thay thế một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình còn lại).

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn số

• Ví dụ về bất đẳng thức bậc nhất hai ẩn: ( left { begin {matrix} 8x + 2y> 9 \ 3x – 7y <22 end {matrix} right. )
• Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
• Để xác định miền nghiệm của hệ, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học sau:
• Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
• Sau khi thực hiện lần lượt các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch chéo là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Một số dạng phương trình bậc hai hai ẩn số

Dạng 1: Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai

Phương pháp áp dụng

Để giải hệ phương trình: ( left { begin {matrix} Ax + By + C = 0 , (1) \ ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2} + dx + ey + f = 0 , (2) end {matrix} right. )

Chúng ta có thể chọn một trong ba cách:

Phương pháp 1: Phương pháp thay thế

Chúng tôi làm theo các bước sau:

• Bước 1: Từ phương trình (1) rút ra x hoặc y rồi thay vào phương trình (2). Khi đó, chúng ta nhận được một phương trình bậc hai theo x hoặc y, giả sử: f (x, m) = 0. (3)
• Bước 2: Thực hiện giải pháp (3) theo yêu cầu của đề.

Phương pháp 2: Phương pháp đồ thị

Chúng tôi làm theo các bước sau:

Bước 1: Chúng tôi có:

• Tập hợp các điểm thỏa mãn (1) trên đường thẳng (d): Ax + By + C = 0
• Tập hợp các điểm thỏa mãn (2) với b = 0 thuộc đường cong ((S) = ax ^ {2} + cy ^ {2} + D_ {x} + ey + f = 0 )

Bước 2: Khi đó số nghiệm của hệ là số giao điểm của đường thẳng (d) với đường thẳng (S).

Chú ý: Khi sử dụng phương pháp này, học sinh cần nhắc lại điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (d) với đường tròn, Elip, Hyperbol, Parabol.

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:

( left { begin {matrix} x – y +1 = 0 \ 2mx ^ {2} -my ^ {2} + 4x + 2m -3 = 0 end {matrix} right. ). Giải hệ phương trình với m = 3

Giải pháp

Chuyển hệ phương trình về dạng: ( left { begin {matrix} y = x + 1 \ 2mx ^ {2} – m (x + 1) ^ {2} + 4x + 2m – 3 = 0 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} y = x + 1 \ mx ^ {2} – 2 (m-2) x + m -3 = 0 end {matrix} bên phải.)

• Với m = 3

( Leftrightarrow left { begin {matrix} y = x + 1 \ 6x ^ {2} – 3 (x + 1) ^ {2} + 4x + 3 = 0 end {matrix} right. Leftrightarrow left { begin {matrix} y = x + 1 \ left[begin{array}{l}x=0\x=frac{2}{3}end{array}rightend{matrix}rightLeftrightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x=0\y=1end{matrix}right\left{begin{matrix}x=frac{2}{3}\y=frac{5}{3}end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}x=0x=frac{2}{3}end{array}rightend{matrix}rightLeftrightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x=0y=1end{matrix}right\left{begin{matrix}x=frac{2}{3}y=frac{5}{3}end{matrận}rightend{array}right)[begin{array}{l}x=0x=frac{2}{3}end{array}rightend{matrix}rightLeftrightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x=0y=1end{matrix}right\left{begin{matrix}x=frac{2}{3}y=frac{5}{3}end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}x=0x=frac{2}{3}end{array}rightend{matrix}rightLeftrightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x=0y=1end{matrix}rightleft{begin{matrix}x=frac{2}{3}y=frac{5}{3}end{matrix}rightend{array}right)

Vậy với m = 3, phương trình có 2 cặp nghiệm: ((0; 1), ( frac {2} {3}; frac {5} {3}) )

Dạng 2: Hệ phương trình rút gọn thành hệ phương trình bậc hai hai ẩn số

Giải pháp cụ thể như sau:

Quay lại phương trình sản phẩm

Phân tích sản phẩm có thể nhận được từ một phương trình trong hệ thống hoặc thông qua các phép biến đổi đại số (thay thế, cộng đại số) để thu được một phương trình tích.

Đặt ẩn phụ

Điều quan trọng là phải phát hiện ẩn phụ. Thông thường chúng ta cần các phép biến đổi đại số (cộng, trừ, nhân, chia với một số, biểu thức) để xuất hiện ẩn phụ.

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:

( left { begin {matrix} x ^ {2} + y ^ {2} + 6xy – frac {1} {(xy) ^ {2} + frac {9} {8} = 0} \ 2y – frac {1} {x – y} + frac {5} {4} = 0 end {matrix} right. )

Giải pháp:

Điều kiện: (x neq y )

Hệ thống đã cho tương đương:

( left { begin {matrix} 2 (x + y) ^ {2} – (yx) ^ {2} – frac {1} {(yx) ^ {2}} + frac {9} {8} = 0 \ (y-x + frac {1} {yx} + (x + y) + frac {5} {4} = 0) end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} 2 (x + y) ^ {2} – (y-x + frac {1} {yx}) ^ {2} + frac {25} {8} = 0 \ (y- x + frac {1} {yx}) + (x + y) + frac {5} {4} = 0 end {matrix} right. )

Đặt ( left { begin {matrix} x + y = a \ yx + frac {1} {yx} = b end {matrix} right. )

( left | b right | geq 2 )

( left | b right | geq 2 )

Hệ thống trở thành:

( left { begin {matrix} a + b = frac {5} {4} \ 2a ^ {2} – b ^ {2} = – frac {25} {8} end {ma trận } right. Leftrightarrow left { begin {matrix} a = frac {5} {4} \ b = – frac {5} {2} end {matrix} right. )

( Leftrightarrow left[begin{array}{l}left{begin{matrix}y+x=frac{5}{4}\y–x=-2end{matrix}right\left{begin{matrix}y+x=frac{5}{4}\y–x=-frac{1}{2}end{matrix}rightend{mảng}rightLeftrightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x=frac{13}{8}\y=-frac{3}{8}end{matrix}right\left{begin{matrix}x=frac{7}{8}\y=frac{3}{8}end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}left{begin{matrix}y+x=frac{5}{4}y–x=-2end{matrix}right\left{begin{matrix}y+x=frac{5}{4}y–x=-frac{1}{2}end{matrix}rightend{array}rightLeftrightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x=frac{13}{8}y=-frac{3}{8}end{matrix}right\left{begin{matrix}x=frac{7}{8}y=frac{3}{8}end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}left{begin{matrix}y+x=frac{5}{4}y–x=-2end{matrix}right\left{begin{matrix}y+x=frac{5}{4}y–x=-frac{1}{2}end{matrix}rightend{array}rightLeftrightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x=frac{13}{8}y=-frac{3}{8}end{matrix}right\left{begin{matrix}x=frac{7}{8}y=frac{3}{8}end{matrix}rightend{array}right)[begin{array}{l}left{begin{matrix}y+x=frac{5}{4}y–x=-2end{matrix}rightleft{begin{matrix}y+x=frac{5}{4}y–x=-frac{1}{2}end{matrix}rightend{array}rightLeftrightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{matrix}x=frac{13}{8}y=-frac{3}{8}end{matrix}rightleft{begin{matrix}x=frac{7}{8}y=frac{3}{8}end{matrix}rightend{array}right)

=> Vậy hệ có nghiệm ((x; y) = ( frac {7} {8}; frac {3} {8}), , ( frac {13} {8}; – frac {3} {8}) )

Bài viết trên đã cung cấp cho bạn những kiến ​​thức về hệ hai phương trình bậc hai với hai ẩn số, hHệ phương trình bậc nhất hai ẩn số, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số. Bên cạnh đó, những thông tin trong bài viết đã giúp các bạn nắm được lý thuyết, phương pháp và cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!