Hàm số bậc hai là gì? Hàm số bậc hai và các bài toán liên quan

Học thuyết về hàm bậc hai Các dạng bài tập tương tự là kiến ​​thức quan trọng trong chương trình toán dành cho học sinh THCS và THPT. Để giúp bạn nắm vững những kiến ​​thức cần thiết về chủ đề này, bài viết dưới đây của Tip.edu.vn sẽ mang đến cho các bạn chủ đề về hàm số bậc hai một cách chi tiết nhất, cùng tìm hiểu nhé !.

Lý thuyết về hàm số bậc hai

Định nghĩa của một hàm bậc hai là gì?

• Hàm bậc hai là một hàm có công thức (y = ax ^ 2 + bx + c hspace {0.2cm} left (a ne0 right) ) và có miền (D = mathbb {R } )
• Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol có đỉnh tại (I left (- frac {b} {2a}; – frac { Delta} {4a} right) ), có trục đối diện. là một đường thẳng (x = – frac {b} {2a} )
• Parabol lõm quay lên trên nếu a> 0 và hướng xuống nếu a <0.

Khi nào thì hàm số bậc hai đồng biến?

• Hàm (f left (x right) ) được cho là đồng biến trên K (K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa dải), nếu đối với bất kỳ cặp nào (x_1, x_2 trong K ) ở đâu (x_1, x_2 trong K ) (x_1
• Cho hàm (y = f left (x right) ) có đạo hàm (f ‘ left (x right) ) trên K. Nếu (f’ left (x right) ge0 , forall x in K, f ‘ left (x right) = 0 ) chỉ tại một số điểm hữu hạn thì (f left (x right) ) đồng biến

Khi nào thì hàm số bậc hai nghịch biến?

• Hàm (f left (x right) ) được cho là nghịch đảo trên K, nếu với mọi cặp (x_1, x_2 trong K ) trong đó (x_1f left (x_2 right) ).
• Cho hàm (y = f left (x right) ) có đạo hàm (f ‘ left (x right) ) trên K. Nếu (f’ left (x right) le0 , forall x in K, f ‘ left (x right) = 0 ) chỉ tại một số điểm hữu hạn thì (f left (x right) ) là nghịch đảo.

Cực trị của hàm số bậc hai là gì?

• Giả sử hàm (y = f left (x right) ) đạt cực đại tại (x_0 ). Sau đó, nếu (y = f left (x right) ) có đạo hàm tại (x_0 ) thì (f ‘ left (x_0 right) = 0 ).
• Giả sử hàm (y = f left (x_0 right) ) liên tục trên khoảng ( left (a; b right) ) chứa (x_0 ) và có đạo hàm trên ( left (a; x_0 right), left (x_0; b right) ).

Sau đó:

• Nếu (f ‘ left (x right)<0,forall xinleft ( a;x_0 right )) and (f'left ( x right )>0, forall x in left (x_0; b right) ) thì hàm (y = f left (x right) ) được thu nhỏ tại (x_0 ).
• Nếu (f ‘ left (x right)> 0, forall x in left (a; x_0 right) ) và (f’ left (x right) <0, forall x trong left (x_0; b right) ) thì hàm (y = f left (x right) ) đạt cực đại tại (x_0 ).

Giả sử hàm (y = f left (x right) ) có đạo hàm cấp một trên ( left (a; b right) ) và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại (x_0 ). Sau đó:

• Nếu (f ‘ left (x_0 right) = 0; f ” left (x_0 right) <0 ) thì hàm đạt cực đại tại (x_0 )
• Nếu (f ‘ left (x_0 right) = 0; f ” left (x_0 right)> 0 ) thì hàm được thu nhỏ tại (x_0 )

Lưu ý: Nếu (f ” left (x_0 right) = 0 ) thì hàm có thể có hoặc không có cực đại tại (x_0 ).

Cách lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai

• Bước 1: Tìm tập xác định.
• Bước 2: Tính toán (y ‘). Tìm các điểm mà (y ‘) bằng 0 hoặc không xác định.
• Bước 3: Tạo bảng biến thể. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

Hướng dẫn cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai

Để vẽ parabol (y = ax ^ 2 + bx + c hspace {0.2cm} left (a ne0 right) ), chúng ta thực hiện các bước sau:

• Chỉ định tọa độ đỉnh là điểm (I left (- frac {b} {2a}; – frac { Delta} {4a} right) )
• Vẽ đường đối xứng d là đường (x = – frac {b} {2a} )
• Xác định giao điểm của parabol với các trục tọa độ (nếu có). Xác định thêm một số điểm trên đồ thị. Ví dụ, điểm đối xứng với giao điểm của đồ thị với trục tung qua trục đối xứng của parabol.
• Vẽ một parabol, dựa vào kết quả trên, chú ý mặt lõm của đồ thị khi a> 0, a <0.

Tìm hiểu về phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là gì?

Phương trình bậc hai một ẩn là một phương trình có dạng:

(ax ^ 2 + bx + c = 0 )

Trong đó (x ) là số chưa biết; (a, b, c ) là các số đã cho được gọi là hệ số và (a ne0 ).

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn số

Để giải một phương trình bậc hai là một phương trình có dạng (ax ^ 2 + bx + c = 0 ):

Đặt ( Delta = b ^ 2-4ac ). Nếu như:

• ( Delta <0 ) thì phương trình vô nghiệm.
• ( Delta = 0 ) thì phương trình có nghiệm kép (x_1 = x_2 = – frac {b} {2a} )
• ( Delta> 0 ) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

(bên trái[begin{matrix} x_1=frac{-b+sqrt{Delta}}{2a}\ x_2=frac{-b-sqrt{Delta}}{2a} end{matrix}right.)

Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn

Đối với phương trình bậc hai (ax^2+bx+chspace{0.2cm}left ( ane0 right )) và (b=2b’, Delta’=b’^2-ac)

• Nếu (Delta’>0) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt (x_1=frac{-b+sqrt{Delta’}}{a};x_2=frac{-b-sqrt{Delta}}{a})
• Nếu (Delta’=0) thì phương trình có nghiệm kép (x_1=x_2=-frac{b’}{a})
• Nếu (Delta'<0) thì phương trình vô nghiệm

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn với hai trường hợp 

Xét phương trình bậc hai một ẩn (ax^2+bx+c=0) với (ane0)

• Trường hợp (c=0), phương trình có dạng (ax^2+bx=0Leftrightarrow xleft ( ax+b right )=0)

Phương trình có hai nghiệm (x_1=0,x_2=-frac{b}{a})

• Trường hợp (b=0), phương trình có dạng (ax^2+c=0Leftrightarrow x^2=-frac{c}{a})

Nếu (a,c) cùng dấu (-frac{c}{a}<0) phương trình vô nghiệm.

Nếu (a,c) trái dấu (-frac{c}{a}>0) phương trình có hai nghiệm (x_1=-sqrt{frac{c}{a}},x_2=sqrt{frac{c}{a}})

Hệ thức Viet

• Định lí Vi-et: Nếu (x_1,x_2) là các nghiệm của phương trình (ax^2+bx+chspace{0.2cm}left (ane0 right )) thì: 

(left{begin{matrix} x_1+x_2=-frac{b}{a}\ x_1x_2=frac{c}{a} end{matrix}right.)

• Nếu hai số bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: (X^2-SX+P=0) (Điều kiện để có hai số đó là: (S^2-4Pge0))

Dấu của nghiệm số trong phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai (ax^2+bx+c=0hspace{0.2cm}left ( ane0 right )hspace{1.25cm}(1))

(1) có hai nghiệm trái dấu (Leftrightarrow P<0)

(1) có hai nghiệm cùng dấu (Leftrightarrow left{begin{matrix} Deltage0\ P>0 end{matrix}right.)

(1) có hai nghiệm dương phân biệt (Leftrightarrow left{begin{matrix} Delta>0\ P>0\ S>0 end{matrix}right.)

(1) có hai nghiệm âm phân biệt (Leftrightarrow left{begin{matrix} Delta>0\ P>0\ S<0 end{matrix}right.)

Chú ý: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:

• Nếu nhẩm được: (x_1+x_2=m+n;hspace{0.2cm}x_1x_2=mn) thì phương trình có nghiệm: (x_1=m,x_2=n)
• Nếu (a+b+c=0) thì phương trình có nghiệm (x_1=1,x_2=frac{c}{a})
• Nếu (a-b+c=0) thì phương trình có nghiệm (x_1=-1, x_2=-frac{c}{a}) 

Các dạng toán và phương pháp giải hàm số bậc hai

Dạng 1: Xác định hàm số bậc hai

Phương pháp giải: 

Để xác định hàm số bậc hai ta thực hiện theo các bước như sau: 

• Gọi hàm số cần tìm là (y=ax^2+bx+chspace{0.2cm}left ( ane0 right ))
• Dựa theo giả thiết bài toán để thiết lập hệ phương trình với ba ẩn (a,b,c)
• Giải hệ phương trình trên để tìm (a,b,c), từ đó suy ra hàm số cần tìm.

Ví dụ: Xác định parabol (left ( P right ):y=ax^2+bx+c,left ( ane0 right )) biết: 

1. (left ( P right )) đi qua (Aleft ( 2;3 right )) có đỉnh (Ileft ( 1;2 right ))
2. (c=2) và (left ( P right )) đi qua (Bleft ( 3;-4 right )) và có trục đối xứng là (x=-frac{3}{2})
3. Hàm số (y=ax^2+bx+c) có giá trị nhỏ nhất bằng (frac{3}{4}) khi (x=frac{1}{2}) và nhận giá trị bằng 1 khi (x=1)
4. (left ( P right )) đi qua (Mleft ( 4;3 right )) cắt (Ox) tại (Nleft ( 3;0 right )) và P sao cho (bigtriangleup INP) có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm P nhỏ hơn 3.

Cách giải: 

1. Ta có 

(Ainleft ( P right )) nên (3=4a+2b+c) 

Parabol (left ( P right )) có đỉnh (Ileft ( 1;2 right )) nên (-frac{b}{2a}=1Leftrightarrow2a+b=0) 

(Iinleft ( P right )) suy ra (2=a+b+c) 

Từ đó ta có hệ phương trình (begin{align} begin{cases} nonumber 4a+2b+c &=3 \ 2a+b &=0 \ a+b+c &= 2 end{cases} end{align})(Leftrightarrow begin{align} begin{cases} nonumber a &= 1\ b &=-2\ c &= 3 end{cases} end{align})

Vậy parabol cần tìm (left ( P right )) cần tìm là (y=x^2-2x+3).

     2. Ta có (c=2) và (left ( P right )) đi qua (Bleft ( 3;4 right )) nên (-4=9a+3b+2Leftrightarrow 3a+b=-2)

(left ( P right )) có trục đối xứng là (x=-frac{3}{2}) nên (-frac{b}{2a}=-frac{3}{2}Leftrightarrow b=3a) 

Từ đó suy ra: (a=-frac{1}{3}) và (b=-1).

Vậy parabol (left ( P right )) cần tìm là (y=-frac{1}{3}x^2-x+2)

     3. Hàm số (y=ax^2+bx+c) nhận giá trị nhỏ nhất bằng (frac{3}{4}) khi (x=frac{1}{2}) nên ta có: (-frac{b}{2a}=frac{1}{2}Leftrightarrow a+b=0)

(frac{3}{4}=aleft ( frac{1}{2} right )^2+bleft ( frac{1}{2} right )+cLeftrightarrow a+2b+4c=3) và (a>0).

Hàm số (y=ax^2+bx+c) nhận giá trị bằng 1 khi (x=1) nên (a+b+c=1)

Từ đó ta có hệ phương trình (begin{align} begin{cases} nonumber a+b &=0\ a+2b+4c &=3\ a+b+c&=1 end{cases} end{align})(Leftrightarrow begin{align} begin{cases} nonumber a&=1\ b&=-1\ c&=1 end{cases} end{align})

Vậy parabol (left ( P right )) cần tìm là (y=x^2-x+1) 

.Vì (left ( P right )) đi qua (Mleft ( 4;3 right )) nên (3=16a+4b+chspace{1cm}left ( 1 right )) 

Mặt khác (left ( P right )) cắt (Ox) tại (Nleft ( 3;0 right )) suy ra (0=9a+3b+chspace{1cm}left ( 2 right ))

(left ( P right )) cắt (Ox) tại P nên (Pleft ( t;0 right ),t<3).

Theo định lý Vi-ét ta có: (begin{align} begin{cases} nonumber t+3&=-frac{b}{a}\ 3t&=frac{c}{a} end{cases} end{align}).

Ta có (S_{bigtriangleup IBC}=frac{1}{2}IH.NP) với H là hình chiếu của (Ileft ( -frac{b}{2a};-frac{Delta}{4a} right )) len trục hoành.

Do (IH=left | -frac{Delta}{4a} right |,NP=3-t) nên (S_{bigtriangleup INP}=1Leftrightarrow frac{1}{2}left | -frac{Delta}{4a} right |.left ( 3-t right )=1)

(begin{align} nonumber&Leftrightarrowleft ( 3-t right )left | left ( frac{b}{2a} right )^2-frac{c}{a} right |=left | frac{2}{a} right |\ nonumber&Leftrightarrow left ( 3-t right )left | frac{left ( t+3 right )^2}{4}-3t right |=left |frac{2}{a} right |\ nonumber&Leftrightarrowleft ( 3-t right )^3=frac{8}{left | a right |}hspace{1cm}left ( 3 right ) end{align})

Từ (1) và (2) ta có (7a+b=3Leftrightarrow b=3-7a) suy ra (t+3=-frac{3-7a}{a}Leftrightarrow frac{1}{a}=frac{4-t}{3}) 

Thay vào (3) ta có (left ( 3-t right )^3=frac{8left ( 4-t right )}{3}Leftrightarrow 3t^3-27t^2+73t-49=0)

(Rightarrow t=1)

Suy ra (a=1Rightarrow b=-4 Rightarrow c=3)

Vậy parabol (left ( P right )) cần tìm là (y=x^2-4x+3).

Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai

Phương pháp giải: 

• Xác định tọa độ đỉnh (Ileft ( -frac{b}{2a};-frac{Delta}{4a} right )) của parabol.
• Xác định trục đối xứng (x=-frac{b}{2a}) và hướng bề lõm của parabol.
• Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn như giao điểm của parabol với các hệ trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng).
• Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.

Ví dụ: Cho hàm số (y=x^2-6x+8)

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên 
2. Sử dụng đồ thị, để biện luận theo tham số m số điểm chung của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số trên. 
3. Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương.
4. Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [-1;5]

Dung dịch:

1. Chúng ta có (- frac {b} {2a} = 3, – frac { Delta} {4a} = – 1 )

Bảng biến thể:

Suy ra đồ thị của hàm số (y = x ^ 2-6x + 8 ) có đỉnh (I left (3; -1 right) ), lấy đường thẳng (x = 3 ) làm trục đối xứng, hướng phần lõm lên trên và đi qua các điểm (A left (2; 0 right), B left (4; 0 right) ).

2. Đường thẳng y = m song song hoặc trùng với trục hoành nên dựa vào đồ thị ta có:

• Với m <- 1 đường thẳng y = m và parabol (y = x ^ 2-6x + 8 ) không cắt nhau
• Với m = -1 đường thẳng y = m và parabol (y = x ^ 2-6x + 8 ) cắt nhau tại một điểm (tiếp điểm).
• Với m> -1 đường thẳng y = m và parabol (y = x ^ 2-6x + 8 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

3. Hàm số nhận giá trị dương đối với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành

Do đó, hàm nhận giá trị dương nếu và chỉ khi (x in left (- infty; 2 right) cup left (4; + infty right) )

4. Ta có (y left (-1 right) = 15, y left (5 right) = 13, y left (3 right) = – 1 ), kết hợp với đồ thị hàm số suy ra:

( max _ { còn lại [ -1;5 right ]} y = 15 ) nếu và chỉ khi x = -1

( max _ { còn lại [ -1;5 right ]} y = -1 ) nếu và chỉ khi x = 3.

Mẫu đơn 3: Đồ thị cho bởi nhiều công thức và hàm chứa dấu tuyệt đối

Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số sau:

1. (y = x ^ 2-3 left | x right | +2 )
2. (y = left | x ^ 2-3 left | x right | +2 right | )
3. (y = left | x ^ 2-4x-3 left | x-2 right | +6 right | -1 )

Dung dịch:

1. Vẽ đồ thị của hàm ( left (P right): y = x ^ 2-3x + 2 ) với đỉnh (I left ( frac {3} {2}; – frac {1} {4} right) ), trục đối xứng (x = frac {3} {2} ), đi qua các điểm (A left (1; 0 right), B left (2; 0 right) ), C left (0; 2 right), D left (3; 2 right) ) và có bề mặt lõm hướng lên.

Khi đó đồ thị hàm số (y = x ^ 2-3 left | x right | +2 ) là ( left (P_1 right) ) bao gồm phần bên phải của trục tung của ( left ( P right) ) và tính đối xứng của nó qua trục tung.

2. Đồ thị hàm số (y = left | x ^ 2-3 left | x right | +2 right | ) là ( left (P_2 right) ) bao gồm phần phía trên trục hoành của ( left (P_1 right) ) và phần đối xứng của ( left (P_1 right) ) nằm bên dưới trục hoành qua trục hoành.

3. Ta có: (y = left | x ^ 2-4x-3 left | x-2 right | +6 right | -1 = left | left (x-2 right) ^ 2 -3 left | x-2 right | +2 right | -1 )

Do đó, dịch chuyển ( left (P_2 right) ) sang phải hai đơn vị song song với trục hoành, ta được đồ thị của hàm (y = left | left (x-2 right) ^ 2 -3 left | x-2 right | +2 right | ), tiếp tục đi xuống một đơn vị song song với trục tung, ta được đồ thị của hàm số (y = left | left (x -2 phải) ^ 2-3 left | x-2 right | +2 right | -1 ).

Dạng 4: Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức và tìm GTNN, GTLN

Phương pháp giải quyết:

Dựa vào đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số (y = ax ^ 2 + bx + c left (a ne0 right) ) ta thấy hàm số đạt giá trị cực đại và cực tiểu trên ( bên trái [ alpha;beta right ]) tại điểm (x = alpha ) hoặc (x = beta ) hoặc (x = – frac {b} {2a} ), cụ thể như sau:

Trường hợp 1: (a> 0 )

• Nếu (- frac {b} {2a} notin left [ alpha;beta right ] Rightarrow min _ { left [ alpha;beta right ]} f left (x right) = f left (- frac {b} {2a} right), max _ { left [ alpha;beta right ]} f left (x right) = max left {f left ( alpha right), f left ( beta right) right } )
• Nếu (- frac {b} {2a} notin left [ alpha;beta right ] Rightarrow min _ { left [ alpha;beta right ]} f left (x right) = min left {f left ( alpha right), f left ( beta right) right }, max _ { left [ alpha;beta right ]} f left (x right) = max left {f left ( alpha right), f left ( beta right) right } )

Trường hợp 2: (a <0 )

• If (- frac {b} {2a} in left [ alpha;beta right ] Rightarrow max _ { left [ alpha;beta right ]} f left (x right) = f left (- frac {b} {2a} right), min _ { left [ alpha;beta right ]} f left (x right) = min left {f left ( alpha right), f left ( beta right) right } )
• Nếu (- frac {b} {2a} notin left [ alpha;beta right ] Rightarrow min _ { left [ alpha;beta right ]} f left (x right) = min left {f left ( alpha right), f left ( beta right) right }, max _ { left [ alpha;beta right ]} f left (x right) = max left {f left ( alpha right), f left ( beta right) right } )

Ví dụ: Cho các số (x, y ) thoả mãn (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 + xy ). Chứng minh rằng ( frac {1} {9} le x ^ 4 + y ^ 4-x ^ 2y ^ 2 le frac {3} {2} ).

Đặt (P = x ^ 4 + y ^ 4-x ^ 2y ^ 2 )

Ta có (P = left (x ^ 2 + y ^ 2 right) ^ 2-3x ^ 2y ^ 2 = left (1 + xy right) ^ 2-3x ^ 2y ^ 2 = -2x ^ 2y ^ 2 + 2xy + 1 )

Đặt (t = xy ), sau đó (P = -2t ^ 2 + 2t + 1 )

Bởi vì ( begin {align} begin {case} nonumber x ^ 2 + y ^ 2 & ge2xy \ x ^ 2 + y ^ 2 & ge-2xy end {case} end {align} )

so ( begin {align} begin {case} nonumber 1 + xy & ge2xy \ 1 + xy & ge-2xy end {case} end {align} Leftrightarrow- frac {1} {3} le xy le1 )

Do đó (- frac {1} {3} le t le1 )

Hãy xem xét hàm (f left (t right) = – 2t ^ 2 + 2t + 1 ) trên ( left [ -frac{1}{3};1 right ])

Chúng ta có (- frac {b} {2a} = frac {1} {2} ), chúng ta có một bảng biến:

Từ bảng biến chúng ta có ( min _ { left [ -frac{1}{3};12 right ]} f left (t right) = frac {1} {9} le P le max _ { left [ -frac{1}{3};1 right ]} f left (t right) = frac {3} {2} )

Một số bài tập trắc nghiệm hàm số bậc hai thường gặp

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã cung cấp cho bạn đọc những thông tin hữu ích về chủ đề Hàm số bậc hai và các nội dung liên quan. Hi vọng các bạn đã tìm được những kiến ​​thức cần thiết cho mình qua chủ đề hàm bậc hai, chúc bạn luôn học tốt !.

Xem thêm:

• Chuyên đề cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số
• Tìm m để hàm số có 3 cực trị: Lý thuyết và Các dạng bài tập
• Chuyên đề cách nhận biết đồ thị hàm số và bài tập trắc nghiệm
• Chủ đề Sự tương tác của đồ thị hàm số và các dạng bài tập
• Cách nhanh nhất để tìm tiệm cận đứng của hàm!
• Bài toán cách tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số và Các dạng bài tập
• Chủ đề Các dạng đồ thị của hàm số cơ bản và nâng cao [TỔNG HỢP]
• Đồ thị của hàm số y = ax + b và tổ hợp các đồ thị hàm số có liên quan