Hai mặt phẳng vuông góc là gì? Bài tập 2 mặt phẳng vuông góc

Chương trình học lớp 11 môn Toán gồm chủ đề quan trọng về hai mặt phẳng vuông góc. Vậy chính xác thì hai mặt phẳng vuông góc là gì? Tính chất của 2 mặt phẳng vuông góc? Các chuyên đề và bài tập về 2 mặt phẳng vuông góc?… Trong bài viết cụ thể dưới đây, chúng ta cùng Tip.edu.vn tìm ra!

Chuyên đề hai mặt phẳng vuông góc

Định nghĩa của hai mặt phẳng vuông góc là gì?

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì góc giữa chúng là (90 ^ { circle} ).

((P) perp (Q) Leftrightarrow ( widehat {(P), (Q)}) = 90 ^ { circle} )

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu và chỉ khi trong một mặt phẳng và có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

( left { begin {matrix} d & perp (Q) & \ d & subset (P) & end {matrix} right. Rightarrow (P) perp (Q) ).

Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

• Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

( left { begin {matrix} (P) & perp (Q) & \ a & subset (P) & \ (P) & cap (Q) = & b \ a & perp b & end {matrix} right Rightarrow a perp (Q) )

• Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau thì đường thẳng a qua A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).

( left { begin {matrix} (P) & perp (Q) & \ A & in (P) & \ A & in & a \ a & perp (Q) & end {ma trận } right. Rightarrow a subset (P) )

• Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

( left { begin {matrix} (P) & cap (Q) = a & \ (P) & perp (R) & \ (Q) & perp (R) & \ end {matrix} right. Rightarrow a perp (R) ).

Hai mặt phẳng vuông góc trong Oxyz. khoảng trống

Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz có dạng:

(Ax + By + Cz + D = 0 )

với (A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2}> 0 )

Do đó, để viết phương trình của mặt phẳng trong không gian, chúng ta cần xác định hai dữ kiện:

• Điểm M bất kỳ mà mặt phẳng đi qua
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Điều kiện của hai mặt phẳng vuông góc trong Oxyz. khoảng trống

Cho 2 mặt phẳng ((P): Ax + By + Cz + D = 0 )và ((Q): A’x + B’y + C’z + D ‘= 0 )

sau đó chúng tôi có Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi: (AA ‘+ BB’ + CC ‘+ DD’ = 0 ).

Làm thế nào để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc?

Chứng minh rằng hai mặt phẳng vuông góc với nhau

• Cách 1: Chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
• Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng là (90 ^ { circle} ).

Chứng minh rằng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (( alpha) )

• Cách 1: Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng vuông góc với mặt phẳng này.
• Cách 2: Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, khi một đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến thì nó vuông góc với mặt phẳng kia.

Kết quả:

• (S ‘= Scos varphi )
• Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và điểm A nằm trong mặt phẳng (P) thì mọi đường thẳng qua A và vuông góc với (Q) đều nằm trong (P).

Các dạng bài tập về hai mặt phẳng vuông góc

Bài tập hai mặt phẳng vuông góc cơ bản

Cho hình chóp (S_ {ABC} ) có đáy ABC là tam giác vuông tại B, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Chứng minh rằng: ((SAB) perp (SBC), (AHK) perp (SBC) ).

Giải pháp:

• Chứng minh ((SAB) perp (SBC) ):

Để chứng minh rằng hai mặt phẳng vuông góc với nhau, ta chứng tỏ rằng trong một mặt phẳng có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Ta có: tam giác ABC vuông cân tại B ( Mũi tên phải AB perp BC (1) ).

(SA perp (ABC) Rightarrow SA perp BC (2) ).

Từ (1) và (2) ( Rightarrow BC perp (SAB), BC subset (SBC) Rightarrow ) ((SAB) perp (SBC) )

(đpcm).

• Chứng minh ((AHK) perp (SBC) ):

Ta có: (BC perp (SAB) Rightarrow BC perp AH (3) ).

H là hình chiếu vuông góc của A (gt) ( Rightarrow SB perp AH (4) ).

Từ (3) và (4) ( Rightarrow AH perp (SBC), AH subset (AHK) Rightarrow (AHK) perp (SBC) ) (dpcm).

Bài tập về hai mặt phẳng vuông góc trong không gian

Bài 4 SGK toán 11 2 mặt phẳng vuông góc

Cho hai mặt phẳng ( Delta ) và (( beta) ) vuông góc với nhau và cắt nhau tại giao tuyến d. Chứng minh rằng nếu có một đường thẳng ( Delta ) trong ( Delta ) và ( Delta ) vuông góc với d thì ( Delta ) vuông góc với (( beta) ).

Giải pháp:

Chúng ta có:

( left { begin {matrix} Delta & subset & ( alpha) \ Delta & perp & d end {matrix} right Rightarrow Delta cap d = left {A bên phải })

Từ A, vẽ một dòng a: ( left { begin {matrix} a & in & ( beta) \ a & perp & d end {matrix} right. )

Làm (( alpha) perp ( beta) Rightarrow ( widehat {( alpha), a}) = 90 ^ { circle} ) hoặc ( Delta perp d )

Từ cái này, nó như sau: ( Delta perp (d, a) ) hoặc ( Delta perp ( beta) )

Như vậy, bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề Hai mặt phẳng vuông góc. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem thêm >>> Hai mặt phẳng song song: Định nghĩa, Tính chất và Các dạng bài tập

Xem thêm >>> Đường vuông góc với mặt phẳng: Lý thuyết và Các dạng bài tập