Giới hạn của dãy số lớp 11: Lý thuyết, Bài tập và Các dạng toán

Toán học lớp 11 bao gồm nhiều chuyên đề trọng tâm, trong đó nổi bật nhất là chuyên đề về giới hạn của dãy số. Vậy bạn cần biết gì về lý thuyết giới hạn của dãy số môn toán 11? Các dạng toán giới hạn của dãy số? Giới hạn bài tập dãy số có lời giải? Hay tính giới hạn của dãy số chứa căn?… Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng Tip.edu.vn Tìm hiểu về chủ đề này!

Tìm xem dãy số có giới hạn 0 là gì?

Xác định một dãy số có giới hạn là 0

Một dãy có giới hạn 0 (hoặc giới hạn 0) nếu, với mọi số dương nhỏ tùy ý, mọi số hạng trong dãy có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn giá trị đó, kể từ số hạng nào đó trở đi. tích cực đó.

Ký hiệu: (lim_ {u_ {n}} = 0 )

Tóm lại, (lim_ {u_ {n}} = 0 ) if ( left | u_ {n} right | ) có thể nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý, kể từ bất kỳ số hạng nào trở đi.

Từ định nghĩa, nó như sau:

• (lim_ {u_ {n}} = lim left | u_ {n} right | = 0 )
• Dãy hằng số (u_ {n} ) với (u_ {n} = 0 ) có giới hạn là 0
• Dãy ( (u_ {n} )) có giới hạn là 0 nếu (u_ {n} ) có thể gần bằng 0 nhất có thể, miễn là nó đủ lớn.

Một số chuỗi có giới hạn là 0

Tìm xem giới hạn hữu hạn của dãy số là gì?

Định nghĩa Giới hạn hữu hạn của một dãy số

Chúng ta nói rằng dãy ( (u_ {n} )) được giới hạn ở một số thực L nếu lim ( (u_ {n} ) – L) = 0

• Kí hiệu: (lim_ {u_ {n}} = L ) nếu và chỉ khi khoảng cách ( left | u_ {n} – L right | ) trên trục số thực tính từ điểm (u_ {n } ) thành L trở nên nhỏ bất kỳ miễn là n đủ lớn.
• Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn

Một số định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số

• Định lý 1:

Giả sử (lim_ {u_ {n}} = L ). Sau đó:

(lim left | u_ {n} right | = left | L right | ) và (lim sqrt[3]{u_ {n}} = sqrt[3]{L} )

Nếu (u_ {n} geq 0 ) cho tất cả n thì (L geq 0 ) và (lim sqrt {u_ {n}} = sqrt {L} )

• Định lý 2:

Giả sử (lim , u_ {n} = L, , lim , v_ {n} = M ) và c là một hằng số. Sau đó:

• (lim (u_ {n} + v_ {n}) = L + M )
• (lim (u_ {n} – v_ {n}) = L – M )
• (lim (u_ {n} v_ {n}) = LM )
• (lim (cu_ {n}) = cL )
• (lim ( frac {u_ {n}} {v_ {n}}) = frac {L} {M} , (M neq 0) )

Tìm xem giới hạn ở vô cùng của dãy số là gì?

Trình tự giới hạn (+ infty )

• Dãy ( (u_ {n} )) có giới hạn (+ infty ) nếu với mọi số dương tùy ý, mọi số hạng của dãy, từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
• Ký hiệu: (lim , u_ {n} = + infty )

Trình tự giới hạn (- infty )

• Dãy ( (u_ {n} )) có giới hạn (- infty ) nếu với mọi số âm tùy ý, mọi số hạng của dãy, từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
• Ký hiệu: (lim , u_ {n} = – infty )

Mối quan hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô hạn

Một số quy tắc tìm giới hạn của vô cực

Quy tắc 1

Nếu (lim , u_ {n} = pm infty, , lim , v_ {n} = pm infty ) thì (lim (u_ {n} v_ {n}) ) được đưa ra trong bảng sau:

Quy tắc 2

Nếu (lim , u_ {n} = pm infty, , lim , v_ {n} = L neq 0 ) thì (lim (u_ {n} v_ {n}) ) được đưa ra trong bảng sau:

Quy tắc 3

Nếu (lim , u_ {n} = L neq 0, , v_ {n}> 0 ) hoặc (v_ {n} <0 ) từ một số hạng trở đi thì (lim frac {u_ { n}} {v_ {n}} ) được cho trong bảng sau:

Các dạng toán về giới hạn của dãy số

Dạng 1: Tính giới hạn của dãy số theo công thức

Ví dụ 1: Tính (lim (n ^ {3} – 2n + 1) )

Giải pháp

Chúng ta có:

(n ^ {3} – 2n + 1 = n ^ {3} (1 – frac {2} {n ^ {2}} + frac {1} {n ^ {3}}) )

Bởi vì (lim , n ^ {3} = + infty ) và (lim , (1 – frac {2} {n ^ {2}} + frac {1} {n ^ {3} }) = 1> 0 ) nên theo quy tắc 2 chúng ta có

(lim (n ^ {3} – 2n + 1) = + infty )

Dạng 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi quan hệ truy hồi

Ví dụ 2: Cho dãy ( (u_ {n} )) được xác định bởi (u_ {1} = 1, , u_ {n + 1} = frac {2 (2u_ {n} +1))} {u_ {n} +3} ) cho mọi (n geq 1 ). Biết rằng dãy ( (u_ {n} )) có giới hạn hữu hạn, hãy tính (lim_ {u_ {n}} ).

Giải pháp

Đặt (lim , u_ {n} = L geq 0 )

Chúng ta có:

(lim , u_ {n + 1} = lim frac {2 (2u_ {n} +1)} {u_ {n} + 3} ) hoặc (L = frac {2 (2L + 1) } {L + 3} )

( Rightarrow L ^ {2} – L – 2 = 0 Rightarrow left[begin{array}{l} L = 2 \ L = -1, (L) end{array}right.)

Vậy (lim, u_{n} = 2)

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức

• Phương pháp:

• • Bước 1: Xét xem sử dụng phương pháp ở dạng 1 có dùng được không.

• • • Nếu được thì ta dùng phương pháp ở dạng 1.
    • Nếu không ta sẽ chuyển qua bước dưới đây:

• • Bước 2: Nhân, chia với biểu thức liên hợp thích hợp và đưa về dạng tính giới hạn của dãy số hữu tỷ

Ví dụ 3: Tính (lim (sqrt{n^{2} + 2n} – n))

Cách giải

Ta có:

(lim (sqrt{n^{2} + 2n} – n) = limfrac{(sqrt{n^2 + 2n} + n)(sqrt{n^2 + 2n} -n)}{(sqrt{n^2 + 2n} +n)})

(=limfrac{n^2 + 2n – n^2}{(sqrt{n^2 + 2n} +n)})

(= limfrac{2n}{(sqrt{n^2 + 2n} +n)})

(= limfrac{2}{(sqrt{1 + frac{2}{n}} + 1)})

(= frac{2}{1 + 1} = 1)

Dạng 4: Tính giới hạn của dãy số hữu tỉ

• Quy tắc nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng ±∞.
• Nếu như bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng với hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu.
• Nếu như bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0.
• Điều này rất cần thiết để giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ trắc nghiệm. Bởi với một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn có thể biết được kết quả ngay lập tức.

Dạng 5: Tính giới hạn của dãy số chứa lũy thừa – mũ

Tương tự tiến hành chia tử và mẫu cho mũ với cơ số lớn nhất, cũng tương tự như giới hạn của dãy số hữu tỉ. Ta tự nhẩm được kết quả của giới hạn dãy số dạng này qua cách quan sát hệ số của những số mũ với cơ số lớn nhất ở tử và mẫu. Qua đó có thể hoàn toàn tính nhanh để thực hiện những bài toán giới hạn dưới dạng trắc nghiệm.

Như vậy, bài viết trên đây của Tip.edu.vn đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề giới hạn dãy số. Nếu có bất cứ câu hỏi hay thắc mắc gì liên quan đến chủ đề giới hạn của dãy số, đừng quên để lại câu hỏi bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!.

Xem thêm >>> Lim là gì? Phương pháp tính và Bài tập về giới hạn 

Xem thêm >>> Giới hạn của hàm số là gì? Lý thuyết, Bài tập và Cách giải 

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)