Giải bài 5, 6 trang 37 Sách giáo khoa Giải tích 11

Bài 5 trang 37 sgk giải tích 11

 Giải các phương trình sau:

a) (cosx – sqrt3sinx = sqrt2);  

b) (3sin3x – 4cos3x = 5);

c) (2sin2x + 2cos2x – sqrt2 = 0);                          

d) (5cos2x + 12sin2x -13 = 0).

Giải

a) (cosx – sqrt3sinx = sqrt2) 

( Leftrightarrow {1 over 2}cos x – {{sqrt 3 } over 2}{mathop{rm sinx}nolimits}  = {{sqrt 2 } over 2})

( Leftrightarrow cos x.cos {pi  over 3} – sin xsin {pi  over 3} = cos {pi  over 4})

( Leftrightarrow cos left( {x + {pi  over 3}} right) = cos {pi  over 4})

( Leftrightarrow left[ matrix{
x + {pi over 3} = {pi over 4} + k2pi hfill cr
x + {pi over 3} = – {pi over 4} + k2pi hfill cr} right.)

( Leftrightarrow left[ matrix{
x = – {pi over {12}} + k2pi hfill cr
x = – {{7pi } over {12}} + k2pi hfill cr} right.(k inmathbb{Z} ))

b) (3sin3x – 4cos3x = 5)

( Leftrightarrow {3 over 5}sin 3x – {4 over 5}cos 3x = 1)

Đặt (alpha =arccos{3over5}) thì phương trình trở thành

(cosαsin3x – sinαcos3x = 1)( ⇔ sin(3x – α) = 1)

( ⇔ 3x – α = {piover2} + k2π)

( Leftrightarrow x = {pi  over 6} + {alpha  over 3} + {{k2pi } over 3}(k in mathbb{Z}))

c) (2sin2x + 2cos2x – sqrt2 = 0)

(Leftrightarrow {1 over {sqrt 2 }}sin 2x + {1 over {sqrt 2 }}cos 2x = {1 over 2})

( Leftrightarrow sin 2x.cos {pi  over 4} + cos 2x.sin {pi  over 4} = sin {pi  over 6})

( Leftrightarrow sin left( {2x + {pi  over 4}} right) = sin {pi  over 6})

( Leftrightarrow left[ matrix{
2x + {pi over 4} = {pi over 6} + k2pi hfill cr
2x + {pi over 4} = pi – {pi over 6} + k2pi hfill cr} right.)

( Leftrightarrow left[ matrix{
x = – {pi over {12}} + kpi hfill cr
x = {{7pi } over {12}} + kpi hfill cr} right.(k in mathbb{Z}))

d) (5cos2x + 12sin2x -13 = 0)

( Leftrightarrow {5 over {13}}cos 2x + {{12} over {13}}sin 2x = 1)

Đặt (alpha = arccos{5over13}) thì phương trình trở thành

(cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1)

(⇔ 2x-alpha = k2π) (Leftrightarrow x={alphaover2}+kpi), ((k ∈ mathbb{Z}))

(trong đó (α = arccos{5over13})).

Bài 6 trang 37 sgk giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a. (tan (2x + 1)tan (3x – 1) = 1);                    

b. (tan x + tan left( {x + {pi  over 4}} right) = 1)

Lời giải:

a) (tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1)

(tan (2x + 1) = {1 over {tan (3x – 1)}})

(Leftrightarrow tan (2x + 1) = cot (3x – 1))

( Leftrightarrow tan (2x + 1) = tan left( {{pi  over 2} – 3x + 1} right))

( Leftrightarrow 2x + 1 = {pi  over 2} – 3x + 1 + kpi )

( Leftrightarrow x = {pi  over {10}} + {{kpi } over 5}(k inmathbb{Z} )).

b) (tan x + tan left( {x + {pi  over 4}} right) = 1)

(eqalign{
& Leftrightarrow tan x + {{tan x + tan {pi over 4}} over {1 – tan x.tan {pi over 4}}} = 1 cr
& Leftrightarrow tan x + {{tan x + 1} over {1 – tan x}} = 1 cr} )

Đặt (t = tan x), (điều kiện (t  ≠ 1))phương trình trở thành

(t + frac{t+1}{1-t})= 1

(Leftrightarrow – {t^2} + 3t = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = 0 hfill cr
t = 3 hfill cr} right.text{(thỏa mãn)})

( Leftrightarrow left[ matrix{
tan x = 0 hfill cr
tan x = 3 hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{
x = kpi hfill cr
x = arctan 3 + kpi hfill cr} right.(k in mathbb{Z}))

Giaibaitap.me