Giải bài 4, 5, 6 trang 18 SGK Giải tích 12

Bài 4 trang 18 sách sgk giải tích 12

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số (m), hàm số

(y{rm{ }} = {rm{ }}{x^3}-{rm{ }}m{x^2}-{rm{ }}2x{rm{ }} + {rm{ }}1)

luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Giải:

(y{rm{ }} = {rm{ }}3{x^2}-{rm{ }}2mx{rm{ }}-{rm{ }}2{rm{ }},Delta ‘ = {rm{ }}{m^{2}} + {rm{ }}6{rm{ }} > {rm{ }}0) nên (y’ = 0) có hai nghiệm phân biệt và (y’) đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Bài 5 trang 18 sách sgk giải tích 12

Tìm (a) và (b) để các cực trị của hàm số

(y=frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b)

đều là những số dương và (x_{0}=-frac{5}{9}) là điểm cực đại.

Giải:

– Xét (a = 0) hàm số trở thành (y = -9x + b). Trường hợp này hàm số không có cực trị.

– Xét (a ne 0). Ta có : (y{rm{ }} = {rm{ }}5{a^2}{x^2} + {rm{ }}4ax{rm{ }}-{rm{ }}9); (y’= 0 )(⇔ x=-frac{1}{a}) hoặc (x=-frac{9}{5a})

– Với (a < 0) ta có bảng biến thiên :

Theo giả thiết (x_{0}=-frac{5}{9}) là điểm cực đại nên (frac{1}{a}=-frac{5}{9}Leftrightarrow a=frac{9}{5}). Theo yêu cầu bài toán thì

(y_{(CT)}=yleft ( -frac{9}{5a} right )=y(1)>0)

(Leftrightarrow frac{5}{3}cdot left ( -frac{9}{5} right )^{2}+2cdot left ( -frac{9}{5} right )-9+b>0Leftrightarrow b>frac{36}{5}.)

– Với (a > 0) ta có bảng biến thiên :

Vì (x_{0}=-frac{5}{9})  là điểm cực đại nên (-frac{9}{5a}=-frac{5}{9}Leftrightarrow a=frac{81}{25}). Theo yêu cầu bài toán thì: (y_{(ct)}=yleft ( frac{1}{a} right )=yleft ( frac{25}{81} right )>0)

(Leftrightarrow frac{5}{3}cdot left ( frac{81}{25} right )^{2}left ( frac{25}{81} right )^{3}+2.frac{81}{25}cdot left ( frac{25}{81} right )^{2}-9cdot frac{25}{81}+b>0)

(Leftrightarrow b>frac{400}{243}.)

Vậy các giá trị (a, b) cần tìm là: 

(left{begin{matrix} a=-frac{9}{5} & \ b>frac{36}{5} & end{matrix}right.) hoặc (left{begin{matrix} a=frac{81}{25} & \ b>frac{400}{243} & end{matrix}right.).

Xác định giá trị của tham số (m) để hàm số (y=frac{x^{2}+mx+1}{x+m}) đạt cực đại tại (x = 2).

Giải:

Tập xác định : (D=mathbb{R}setminus left { -m right };) 

(y’=frac{2x^{2}+2mx+m^{2}-1}{(x+m)^{2}}.)

Nếu hàm số đạt cực đại tại (x = 2) thì (y'(2) = 0) (⇔ {m^{2}} + {rm{ }}4m{rm{ }} + {rm{ }}3{rm{ }} = {rm{ }}0)( ⇔ m=-1) hoặc (m=-3)

– Với (m = -1),  ta có : (y=frac{x^{2}-x+1}{x-1};)

(y’=frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}; y’=0Leftrightarrow left{begin{matrix} x^{2} -2x=0& \ xneq 1 & end{matrix}right.)

(Leftrightarrow x=0) hoặc (x=2).

Ta có bảng biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực đại tại (x = 2).

– Với (m = -3), ta có: (y=frac{x^{2}3x+1}{x-3};)

(y’=frac{x^{2}-6x+8}{(x-3)^{2}};y’=0Leftrightarrow left{begin{matrix} x^{2-6x+8=0} & \ xneq 3 & end{matrix}right.)

(Leftrightarrow x=2) hoặc (x=4)

Ta có bảng biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực đại tại (x = 2).

Vậy (m = -3) là giá trị cần tìm.

Giaibaitap.me