Giải bài 37, 38, 39 trang 36 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài 37 trang 36 SGK giải tích 12 nâng cao

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) (y = x + sqrt {{x^2} – 1} )       b) (y = sqrt {{x^2} – 4x + 3} )
c) (y = sqrt {{x^2} + 4} )              d) (y = {{{x^2} + x + 1} over {{x^2} – 1}})

Gỉải

a) TXĐ: (D = left( { – infty ; – 1} right] cup left[ {1; + infty } right))
* (a = mathop {lim }limits_{x to  + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x to  + infty } left( {1 + {{sqrt {{x^2} – 1} } over x}} right) )

(= mathop {lim }limits_{x to  + infty } left( {1 + sqrt {1 – {1 over {{x^2}}}} } right) = 2)
(b = mathop {lim }limits_{x to  + infty } left( {y – 2x} right) = mathop {lim }limits_{x to  + infty } left( {sqrt {{x^2} – 1}  – x} right))

(= mathop {lim }limits_{x to  + infty } {{ – 1} over {sqrt {{x^2} – 1}  + x}} = 0)
Ta có tiệm cận xiên (y = 2x) (khi (x to  + infty ))
* (mathop {lim }limits_{x to  – infty } y = mathop {lim }limits_{x to  – infty } left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right))

(= mathop {lim }limits_{x to  – infty } {{ – 1} over {sqrt {{x^2} – 1}  – x}} = 0)
Ta có tiệm cận ngang (y = 0) (khi (x to  – infty ))
b) TXĐ: (D = left( { – infty ;1} right] cup left[ {3; + infty } right))
* (a = mathop {lim }limits_{x to  + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x to  + infty } {{sqrt {{x^2} – 4x + 3} } over x} )

(= mathop {lim }limits_{x to  + infty } sqrt {1 – {4 over x} + {3 over {{x^2}}}}  = 1)
(b = mathop {lim }limits_{x to  + infty } left( {y – x} right) = mathop {lim }limits_{x to  + infty } left( {sqrt {{x^2} – 4x + 3}  – x} right))

(= mathop {lim }limits_{x to  + infty } {{ – 4x + 3} over {sqrt {{x^2} – 4x + 3}  + x}} = mathop {lim }limits_{x to  + infty } {{ – 4 + {3 over x}} over {sqrt {1 – {4 over x} + {3 over {{x^2}}}}  + 1}} =  – 2)
Ta có tiệm cận xiên (y = x -2) (khi (x to  + infty )).
* (a = mathop {lim }limits_{x to  – infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x to  – infty } {{sqrt {{x^2} – 4x + 3} } over x} )

(= mathop {lim }limits_{x to  – infty } {{ – xsqrt {1 – {4 over x} + {3 over {{x^2}}}} } over x} =  – mathop {lim }limits_{x to  – infty } sqrt {1 – {4 over x} + {3 over {{x^2}}}}  =  – 1)

(eqalign{
& b = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {y + x} right) = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {sqrt {{x^2} – 4x + 3} + x} right) cr&= mathop {lim }limits_{x to – infty } {{ – 4x + 3} over {sqrt {{x^2} – 4x + 3} – x}} cr&= mathop {lim }limits_{x to – infty } {{ – 4x + 3} over { – xsqrt {1 – {4 over x} + {3 over {{x^2}}}} – x}} cr
& ,, = ,,,mathop {lim }limits_{x to – infty } {{ – 4 + {3 over x}} over { – sqrt {1 – {4 over x} + {3 over {{x^2}}}} – 1}} = {{ – 4} over { – 2}} = 2 cr} )

Tiệm cận xiên: (y = -x + 2) (khi (x to  – infty )).
c) TXĐ: (D =mathbb R)
* (a = mathop {lim }limits_{x to  + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x to  + infty } sqrt {1 + {4 over {{x^2}}}}  = 1)
(b = mathop {lim }limits_{x to  + infty } left( {y – x} right) = mathop {lim }limits_{x to  + infty } left( {sqrt {{x^2} + 4}  – x} right))

(= mathop {lim }limits_{x to  + infty } {4 over {sqrt {{x^2} + 4}  + x}} = 0)
Tiệm cận xiên (y = x) (khi (x to  + infty ))
* (a = mathop {lim }limits_{x to  – infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x to  – infty }- sqrt {1 + {4 over {{x^2}}}}  =  – 1)
(b = mathop {lim }limits_{x to  – infty } left( {y + x} right) = mathop {lim }limits_{x to  – infty } left( {sqrt {{x^2} + 4}  + x} right))

(= mathop {lim }limits_{x to  – infty } {4 over {sqrt {{x^2} + 4}  – x}} = 0)
Tiệm cận xiên (y = -x) (khi (x to  – infty ))
d) TXĐ: (D =mathbb Rbackslash left{ { – 1;1} right})
* Vì (mathop {lim }limits_{x to  + infty } y = mathop {lim }limits_{x to  + infty } {{1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} over {1 – {1 over {{x^2}}}}} = 1)
Tiệm cận ngang: (y = 1) (khi (x to  – infty ) và (x to  + infty ))
* (mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} =  – infty ) nên (x = 1) là tiệm cận đứng.
Tương tự: (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ + }} y =  – infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ – }} y =  + infty ) nên (x = -1) là tiệm cận đứng.

Bài 38 Trang 36 SGK giải tích 12 nâng cao

a) Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị ((C)) của hàm số:

(y = {{{x^2} – 2x + 3} over {x – 3}})

b) Xác định giao điểm (I) của hai tiệm cận trên và viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ (overrightarrow {OI} ).

c) Viết phương trinh của đường cong ((C)) đối với hệ tọa độ (IXY).

Từ đó suy ra rằng (I) là tâm đối xứng của đường cong ((C)).

Giải

a) Ta có: (y = x + 1 + {5 over {x – 3}})

TXĐ: (D =mathbb Rbackslash left{ 3 right})

Vì 

(left{ matrix{
y’left( 1 right) = 0 hfill cr
yleft( 1 right) = 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
b = – 3 hfill cr
c = 0 hfill cr} right.) (mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} y =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {3^ – }} y =  – infty ) nên (x = 3) là tiệm cận đứng.

(mathop {lim }limits_{x to  pm infty } left[ {y – left( {x + 1} right)} right] = mathop {lim }limits_{x to  pm infty } {5 over {x – 3}} = 0) nên (y = x + 1) là tiệm cận xiên.

b) Tọa độ giao điểm (I(x;y)) của hai tiệm cận là nghiệm của hệ phương trình

(left{ matrix{
x = 3 hfill cr
y = x + 1 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x = 3 hfill cr
y = 4 hfill cr} right.)

Vậy (I(3;4)) là giao điểm của hai tiệm cận trên.

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ (overrightarrow {OI} ) là 

(left{ matrix{
x = X + 3 hfill cr
y = Y + 4 hfill cr} right.)

c) Phương trình của đường cong ((C)) đối với hệ tọa độ (IXY) là

(Y + 4 = X + 3 + 1 + {5 over {X + 3 – 3}} Leftrightarrow Y = X + {5 over X})

Đây là hàm số lẻ, do đó ((C)) nhận gốc tọa độ (I) làm tâm đối xứng.

Bài 39 trang 36 SGK giải tích 12 nâng cao

Cùng các câu hỏi như trong bài tập 38 đối với đồ thị của hàm số sau:
a) (y = {{{x^2} + x – 4} over {x + 2}})         b) (y = {{{x^2} – 8x + 19} over {x – 5}})

Giải

a) (y = x – 1 – {2 over {x + 2}})

TXĐ: (D =mathbb Rbackslash left{ { – 2} right})
(mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 2} right)}^ + }} y =  – infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 2} right)}^ – }} y =  + infty ) nên (x = -2) là tiệm cận đứng.
(mathop {lim }limits_{x to  pm infty } left[ {y – left( {x – 1} right)} right] = mathop {lim }limits_{x to  pm infty } {{ – 2} over {x + 2}}=0) nên (y = x -1) là tiệm cận xiên.
b) Tọa độ giao điểm (I) của hai tiệm cận là nghiệm hệ

(left{ matrix{
x = – 2 hfill cr
y = x – 1 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x = – 2 hfill cr
y = – 3 hfill cr} right.)

Vậy (I(-2;-3)). Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến vé tơ (overrightarrow {OI} ) là

(left{ matrix{
x = X – 2 hfill cr
y = Y – 3 hfill cr} right.)

c) Ta nói: (y = x – 3 + {4 over {x – 5}})
Tiệm cận đứng: (x = 5); tiệm cận xiên: (y = x – 3).

(Ileft( {5;2} right);,,left{ matrix{
x = X + 5 hfill cr
y = Y + 2 hfill cr} right.)

Phương trình của đường cong đối với hệ tọa độ (IXY) là (Y = X + {4 over X}).

Giaibaitap.me