Bài 34 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) (y = {{x – 2} over {3x + 2}}) b) (y = {{ – 2x – 2} over {x + 3}})
c) (y = x + 2 – {1 over {x – 3}}) d) (y = {{{x^2} – 3x + 4} over {2x + 1}})
e) (y = {{x + 2} over {{x^2} – 1}}) f) (y = {x over {{x^3} + 1}})
Gỉải
a) TXĐ: (D = mathbb Rbackslash left{ { – {2 over 3}} right})
Vì (mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } {{x + 2} over {3x + 2}} = mathop {lim }limits_{x to + infty } {{1 – {2 over x}} over {3 + {2 over x}}} = {1 over 3}) và (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = {1 over 3}) nên đường thẳng (y = {1 over 3}) là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – {2 over 3}} right)}^ + }} y = – infty ) (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – {2 over 3}} right)}^ – }} y = + infty ); nên đường thẳng (x = – {2 over 3}) là tiệm cận đứng của đồ thị.
b) TXĐ: (D =mathbb Rbackslash left{ { – 3} right})
Vì (mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } {{ – 2 – {2 over x}} over {1 + {3 over x}}} = – 2) và (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – 2) nên đường thẳng (y = – 2) là tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 3} right)}^ + }} y = + infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 3} right)}^ – }} y = – infty ) nên đường thẳng (x = – 3) là tiệm cận đứng của đồ thị.
c) TXĐ: (D =mathbb Rbackslash left{ 3 right})
Vì (mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} y = – infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {3^ – }} y = + infty ) nên đường thẳng (x = 3) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có: (mathop {lim }limits_{x to + infty } left[ {y – left( {x + 2} right)} right] = mathop {lim }limits_{x to + infty } {{ – 1} over {x – 3}} = 0) và (mathop {lim }limits_{x to – infty } left[ {y – left( {x + 2} right)} right] = mathop {lim }limits_{x to – infty } {{ – 1} over {x – 3}} = 0) nên đường thẳng (y = x + 2) là tiệm cận xiên của đồ thị.
d) TXĐ: (D =mathbb Rbackslash left{ { – {1 over 2}} right})
Vì (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – {1 over 2}} right)}^ + }} y = + infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – {1 over 2}} right)}^ – }} y = – infty ) nên đường thẳng (x = – {1 over 2}) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Tiệm cận xiên có dạng (y = ax + b)
(eqalign{
& a = mathop {lim }limits_{x to pm infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{{x^2} – 3x + 4} over {xleft( {2x + 1} right)}} = {1 over 2} cr
& b = mathop {lim }limits_{x to pm infty } left( {y – {x over 2}} right) = mathop {lim }limits_{x to pm infty } left( {{{{x^2} – 3x + 4} over {2x + 1}} – {x over 2}} right) cr&= mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{ – 7x + 8} over {2left( {2x + 1} right)}} = – {7 over 4} cr} )
(mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ – }} y = + infty )
Đường thẳng (y = {x over 2} – {7 over 4}) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi (x to + infty ) và (x to – infty )).
Cách khác:
Ta có: (y = {1 over 2}.{{{x^2} – 3x + 4} over {x + {1 over 2}}} = {1 over 2}left( {x – {7 over 2} + {{23} over {4left( {x + {1 over 2}} right)}}} right))
Vì (mathop {lim }limits_{x to pm infty } left[ {y – left( {{x over 2} – {7 over 4}} right)} right] = mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{23} over {8left( {x + {1 over 2}} right)}} = 0) nên đường thẳng (y = {x over 2} – {7 over 4}) là tiệm cận xiên của đồ thị.
e) TXĐ: (D =mathbb Rbackslash left{ { – 1;1} right})
* Vì (mathop {lim }limits_{x to pm infty } y = 0) nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.
* (mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} {{x + 2} over {left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}} = + infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} {{x + 2} over {left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}} = – infty ) nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
* (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ + }} {{x + 2} over {left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}} = – infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ – }} {{x + 2} over {left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}} = + infty ) nên đường thẳng (x = – 1) là tiệm cận đứng của đồ thị.
f) TXĐ: (D =mathbb Rbackslash left{ { – 1} right})
* Vì (mathop {lim }limits_{x to pm infty } y = 0) nên (y = 0) là tiệm cận ngang
* (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ + }} y = – infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ – }} y = + infty ) nên (x = -1) là tiệm cận đứng.
Bài 35 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
(a),y = {{2x – 1} over {{x^2}}} + x – 3,;) (b),,{{{x^3} + 2} over {{x^2} – 2x}})
(c),,{{{x^3} + x + 1} over {{x^2} – 1,}},,;) (d),,{{{x^2} + x + 1} over { – 5{x^2} – 2x + 3}})
Giải
a) TXĐ: (D =mathbb Rbackslash left{ 0 right})
* Vì (mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} y = – infty ) nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* (mathop {lim }limits_{x to pm infty } left[ {y – left( {x – 3} right)} right] = mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{2x – 1} over {{x^2}}})
(= mathop {lim }limits_{x to pm infty } left( {{2 over x} – {1 over {{x^2}}}} right) = 0) nên y = x – 3 là tiệm cận xiên.
b) TXĐ: (D =mathbb Rbackslash left{ {0;2} right})
* (mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x – 2} right)}} = – infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x – 2} right)}} = + infty ) nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* (mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x – 2} right)}} = + infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x – 2} right)}} = – infty ) nên (x = 2) là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng (y = ax +b)
(eqalign{
& a = mathop {lim }limits_{x to pm infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{{x^3} + 2} over {{x^3} – 2{x^2}}} cr&= mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{1 + {2 over {{x^3}}}} over {1 – {2 over x}}} = 1 cr
& b = mathop {lim }limits_{x to pm infty } left( {y – x} right) = mathop {lim }limits_{x to pm infty } left( {{{{x^3} + 2} over {{x^2} – 2x}} – x} right) cr&= mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{2{x^2} + 2} over {{x^2} – 2x}} = 2 cr} )
Đường thẳng (y = x + 2) là tiệm cận xiên của đồ thị.
c) TXĐ: (D =mathbb Rbackslash left{ { – 1;1} right})
* (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ + }} {{{x^3} + x + 1} over {left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} = + infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ – }} {{{x^3} + x + 1} over {left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} = – infty ) nên (x = -1) là tiệm cận đứng .
(mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} {{{x^3} + x + 1} over {left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} = – infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} y = – infty ) nên (x = 1) là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng (y = ax + b)
(eqalign{
& a = mathop {lim }limits_{x to pm infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{{x^3} + x + 1} over {xleft( {{x^2} – 1} right)}} cr&= mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{1 + {1 over {{x^2}}} + {1 over {{x^3}}}} over {1 – {1 over {{x^2}}}}} = 1 cr
& b = mathop {lim }limits_{x to pm infty } left( {y – x} right) = mathop {lim }limits_{x to pm infty } left( {{{{x^3} + x + 1} over {{x^2} – 1}}} right) cr&= mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{2x + 1} over {{x^2} – 1}} = 0 cr} )
( Rightarrow y = x) là tiệm cận xiên.
d) TXĐ: (D =mathbb Rbackslash left{ { – 1;{3 over 5}} right})
* Vì (mathop {lim }limits_{x to pm infty } y = mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} over { – 5 – {2 over x} + {3 over {{x^2}}}}} = – {1 over 5}) nên (y = – {1 over 5}) là tiệm cận ngang.
* (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x + 1} right)left( {3 – 5x} right)}} = + infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ – }} y = – infty ) nên (x = -1) là tiệm cận đứng.
(mathop {lim }limits_{x to {{left( {{3 over 5}} right)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {{left( {{3 over 5}} right)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x + 1} right)left( {3 – 5x} right)}} = – infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {{left( {{3 over 5}} right)}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {{left( {{3 over 5}} right)}^ – }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x + 1} right)left( {3 – 5x} right)}} = + infty ) nên (x = {3 over 5}) là tiệm cận đứng.
Bài 36 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
(a),,y = sqrt {{x^2} – 1} ,,); b) (y = 2x + sqrt {{x^2} – 1} )
c) (y = x + sqrt {{x^2} + 1} ) d) (y = sqrt {{x^2} + x + 1} ).
Gỉải
a) TXĐ: (D =mathbb Rbackslash ( – infty ;1{rm{]}} cup {rm{[}}1; + infty ))
* Tiệm cận xiên khi (x to + infty )
Ta có: (a = mathop {lim }limits_{x to + infty } {{sqrt {{x^2} – 1} } over x} = mathop {lim }limits_{x to + infty } {{xsqrt {1 – {1 over {{x^2}}}} } over x} )
(= mathop {lim }limits_{x to + infty } sqrt {1 – {1 over {{x^2}}}} = 1)
(b = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} – 1} – x} right) = mathop {lim }limits_{x to + infty } {{ – 1} over {sqrt {{x^2} – 1} + x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = x) là tiệm cận xiên của đồ thị khi (x to + infty ).
* Tiệm cận xiên khi (x to – infty )
(a = mathop {lim }limits_{x to – infty } {{sqrt {{x^2} – 1} } over x} = mathop {lim }limits_{x to – infty } {{ – xsqrt {1 – {1 over {{x^2}}}} } over x})
(= – mathop {lim }limits_{x to – infty } sqrt {1 – {1 over {{x^2}}}} = – 1)
(b = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {sqrt {{x^2} – 1} – x} right) = mathop {lim }limits_{x to – infty } {{ – 1} over {sqrt {{x^2} – 1} + x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = -x) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi (x to – infty )).
b) TXĐ: (D =mathbb Rbackslash ( – infty ;1{rm{]}} cup {rm{[}}1; + infty ))
* Tiệm cận xiên khi (x to + infty )
Ta có: (a = mathop {lim }limits_{x to + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {2 + {{sqrt {{x^2} + 1} } over x}} right))
(= mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {2 + sqrt {1 – {1 over {{x^2}}}} } right) = 3)
(b = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {y – 3x} right) = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} – 1} – x} right))
(= mathop {lim }limits_{x to + infty } {{ – 1} over {sqrt {{x^2} – 1} + x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = 3x) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi (x to + infty )).
* Tiệm cận xiên khi (x to – infty )
(a = mathop {lim }limits_{x to – infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {2 + {{sqrt {{x^2} + 1} } over x}} right))
(= mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {2 – sqrt {1 – {1 over {{x^2}}}} } right) = 1)
(b = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {y – x} right) = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {sqrt {{x^2} – 1} + x} right) )
(= mathop {lim }limits_{x to – infty } {{ – 1} over {sqrt {{x^2} – 1} – x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = x) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi (x to – infty ))
c) TXĐ: (D =mathbb R)
* Tiệm cận xiên khi (x to + infty )
(eqalign{
& a = mathop {lim }limits_{x to + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {1 + {{sqrt {{x^2} + 1} } over x}} right) cr&= mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {1 + sqrt {1 + {1 over {{x^2}}}} } right) = 2 cr
& b = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {y – 2x} right) = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} + 1} – x} right)cr& = mathop {lim }limits_{x to + infty } {1 over {sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 cr} )
Đường thẳng (y = 2x) là tiệm cận xiên (khi (x to + infty ))
* Tiệm cận khi (x to – infty )
(mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right) )
(= mathop {lim }limits_{x to – infty } {1 over {x – sqrt {{x^2} – 1} }} = 0)
Đường thẳng (y = 0) là tiệm cận ngang (khi (x to – infty ))
d) TXĐ: (D =mathbb R)
* (a = mathop {lim }limits_{x to + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x to + infty } sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} = 1)
(eqalign{
& b = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {y – x} right) = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 1} – x} right) cr
&= mathop {lim }limits_{x to + infty } {{x + 1} over {sqrt {{x^2} + x + 1} + x}} cr&= mathop {lim }limits_{x to + infty } {{1 + {1 over x}} over {sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} }+1} = {1 over 2} cr} )
Đường thẳng (y = x + {1 over 2}) là tiệm cận xiên (khi (x to + infty ))
* (a = mathop {lim }limits_{x to – infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x to – infty } {{sqrt {{x^2} + x + 1} } over x} )
(= mathop {lim }limits_{x to – infty } {{ – xsqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} } over x} = mathop {lim }limits_{x to – infty } -sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} = – 1)
(b = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {y + x} right) = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 1} + x} right) )
(= mathop {lim }limits_{x to – infty } {{x + 1} over {sqrt {{x^2} + x + 1} – x}} = mathop {lim }limits_{x to – infty } {{1 + {1 over x}} over { – sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} }-1} = – {1 over 2})
Đường thẳng (y = – x – {1 over 2}) là tiệm cận xiên (khi (x to – infty ))
Giaibaitap.me
▪️ TIP.EDU.VN chia sẻ tài liệu môn Toán các lớp 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10, 11, 12 và ôn thi THPT Quốc gia, phục vụ tốt nhất cho các em học sinh, giáo viên và phụ huynh học sinh trong quá trình học tập – giảng dạy.
▪️ TIP.EDU.VN có trách nhiệm cung cấp đến bạn đọc những tài liệu và bài viết tốt nhất, cập nhật thường xuyên, kiểm định chất lượng nội dung kỹ càng trước khi đăng tải.
▪️ Bạn đọc không được sử dụng những tài nguyên trang web với mục đích trục lợi.
▪️ Tất cả các bài viết trên website này đều do chúng tôi biên soạn và tổng hợp. Hãy ghi nguồn website https://tip.edu.vn/ khi copy bài viết.