Giải bài 16, 17, 18 trang 22 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài 16 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: (fleft( x right) = {sin ^4}x + {cos ^4}x)

Giải

TXĐ: (D=mathbb R)

(eqalign{
& fleft( x right) = {left( {{{sin }^2}x} right)^2} + {left( {{{cos }^2}x} right)^2} + 2{sin ^2}x{cos ^2}x cr&,,,,,,,,,,,;;;;- 2{sin ^2}x{cos ^2}x cr 
& ,,,,,,,,,,,;; = {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)^2} – 2{sin ^2}x{cos ^2}x cr&,,,,,,,,,,,;;= 1 – {1 over 2}{sin ^2}2x cr} )

Vì (0 le {sin ^2}2x le 1) nên: (,,fleft( x right) le 1) với mọi (x in {mathbb{R}},fleft( 0 right) = 1). Vậy (mathop {max fleft( x right)}limits_{x in {mathbb {R}}}  = 1)

(*,,,fleft( x right) ge {1 over 2}) với mọi (x in {mathbb{R}},fleft( {{pi  over 4}} right) = 1 – {1 over 2} = {1 over 2})

Vậy (mathop {min fleft( x right)}limits_{x in {mathbb {R}}}  = {1 over 2}).

Bài 17 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) (fleft( x right) = {x^2} + 2x – 5) trên đoạn (left[ { – 2;3} right]);

b) (fleft( x right) = {{{x^3}} over 3} + 2{x^2} + 3x – 4) trên đoạn (left[ { – 4;0} right]);

c) (fleft( x right) = x + {1 over x}) trên đoạn (left( {0; + infty } right));

d) (fleft( x right) =  – {x^2} + 2x + 4) trên đoạn (left[ {2;4} right]);

e) (fleft( x right) = {{2{x^2} + 5x + 4} over {x + 2}}) trên đoạn (left[ {0;1} right]);

f) (fleft( x right) = x – {1 over x}) trên đoạn (left( {0;2} right]);

Giải

a) (D = left[ { – 2;3} right];f’left( x right) = 2x + 2;f’left( x right) = 0)

(Leftrightarrow  x=- 1 in left[ { – 2;3} right])

Ta có: (fleft( { – 2} right) =  – 5;fleft( { – 1} right) =  – 6;fleft( 3 right) = 10).

Vậy: (mathop {min ,fleft( x right)}limits_{x in left[ { – 2;3} right]}  =  – 6;,,,,,,mathop {max ,fleft( x right) = 10}limits_{x in left[ { – 2;3} right]} ).

b)

(D = left[ { – 4;0} right];,f’left( x right) = {x^2} + 4x + 3;f’left( x right) = 0)

(Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 in left[ { – 4;0} right] hfill cr 
x = – 3 in left[ { – 4;0} right] hfill cr} right.)

Ta có: (fleft( { – 4} right) =  – {{16} over 3};fleft( { – 1} right) =  – {{16} over 3};)

(fleft( { – 3} right) =  – 4;fleft( 0 right) =  – 4)

Vậy (mathop {min ,fleft( x right)}limits_{x in left[ { – 4;0} right]}  =  – {{16} over 3};,,mathop {max ,fleft( x right)}limits_{x in left[ { – 4;0} right]}  =  – 4).

c) (D = left( {0; + infty } right);f’left( x right) = 1 – {1 over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} over {{x^2}}})với mọi (x ne 0,f’left( x right) = 0 Leftrightarrow x =  pm 1)

(x=1in left{ {0; + infty } right.))

(x=-1notin left{ {0; + infty } right.))

(mathop {min ,,fleft( x right) = fleft( 1 right)}limits_{x in left( {0; + infty } right)}  = 2). Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (left( {0; + infty } right)).

d) (D = left[ {2;4} right];f’left( x right) =  – 2x + 2;f’left( x right) = 0 )

(Leftrightarrow x = 1 notin left[ {2;4} right])

Ta có: (fleft( 2 right) = 4;fleft( 4 right) =  – 4)

Vậy (mathop {min ,fleft( x right)}limits_{x in left[ {2;4} right]}  =  – 4;,) (mathop {max fleft( x right)}limits_{x in left[ {2;4} right]}  = 4).

e)

(D = left[ {0;1} right];f’left( x right) = {{2{x^2} + 8x + 6} over {{{left( {x + 2} right)}^2}}};f’left( x right) = 0)

(Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 notin left[ {0;1} right] hfill cr 
x = – 3 notin left[ {0;1} right] hfill cr} right.)

Ta có: (fleft( 0 right) = 2;fleft( 1 right) = {{11} over 3})

Vậy (mathop {min ,fleft( x right)}limits_{x in left[ {0;1} right]}  = 2;) (mathop {max fleft( x right)}limits_{x in left[ {0;1} right]}  = {{11} over 3})

f) (D = left( {0;2} right];f’left( x right) = 1 + {1 over {{x^2}}} > 0) với mọi (x in left( {0;2} right];fleft( 2 right) = {3 over 2})

(mathop {,max fleft( x right)}limits_{x in left[ {0;2} right]}  = {3 over 2}) . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên (left( {0;2} right]).

Bài 18 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) (y = 2{sin ^2}x + 2sin x – 1)

b) (y = {cos ^2}2x – sin xcos x + 4)

Giải

a) Đặt (t = sin x, – 1 le t le 1)

(y = fleft( t right) = 2{t^2} + 2t – 1)

Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = fleft( t right)) trên đoạn (left[ { – 1;1} right]). Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên (mathbb R).

(f’left( t right) = 4t + 2;f’left( t right) = 0 Leftrightarrow t =  – {1 over 2})

Ta có: (fleft( { – 1} right) =  – 1;fleft( { – {1 over 2}} right) =  – {3 over 2};fleft( 1 right) = 3)

(mathop {min ,,fleft( t right)}limits_{t in left[ { – 1;1} right]}  =  – {3 over 2};,,,,,,mathop {max ,,fleft( t right)}limits_{t in left[ { – 1;1} right]}  = 3)

Vậy (mathop {min ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}}  =  – {3 over 2};,,,,,,mathop {max ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}}  = 3).

b) Ta có: (y = 1 – {sin ^2}2x – {1 over 2}sin 2x + 4)

                  (=  – {sin ^2}2x – {1 over 2}sin 2x + 5)

Đặt (t = sin 2x, – 1 le t le 1)

(y = fleft( t right) =  – {t^2} – {1 over 2}t + 5;f’left( t right) =  – 2t – {1 over 2};)

(f’left( t right) = 0 Leftrightarrow t =  – {1 over 4} in left[ { – 1;1} right])

Ta có: (fleft( { – 1} right) = {9 over 2};fleft( { – {1 over 4}} right) = {{81} over {16}};fleft( 1 right) = {7 over 2})

(mathop {min ,,fleft( t right)}limits_{t in left[ { – 1;1} right]}  = {7 over 2};,,,,,mathop {max ,,fleft( t right)}limits_{t in left[ { – 1;1} right]}  = {{81} over {16}})

Vậy (mathop {min ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}}  = {7 over 2};,,,,,mathop {max ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}}  = {{81} over {16}}).

Giaibaitap.me