Giải bài 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 trang 28, 29, 30, 31, 32 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 14 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải các phương trình sau :

a.  (sin 4x = sin {pi over 5})

b.  (sin left( {{{x + pi } over 5}} right) = – {1 over 2})

c.  (cos {x over 2} = cos sqrt 2 )

d.  (cos left( {x + {pi over {18}}} right) = {2 over 5}.)

Giải:

a. Ta có:  

(sin 4x = sin {pi over 5} Leftrightarrow left[ {matrix{{4x = {pi over 5} + k2pi } cr {4x = pi – {pi over 5} + k2pi } cr} ,,left( {k inmathbb Z} right) Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over {20}} + k{pi over 2}} cr {x = {pi over 5} + k{pi over 2}} cr} } right.} right.,,left( {k inmathbb Z} right))

b. Vì ( – {1 over 2} =- sin {pi over 6} = sin left( { – {pi over 6}} right)) nên :(sin left( {{{x + pi } over 5}} right) = – {1 over 2} Leftrightarrow left[ {matrix{{{{x + pi } over 5} = – {pi over 6} + k2pi } cr {{{x + pi } over 5} = pi + {pi over 6} + k2pi } cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – {{11pi } over 6} + k10pi } cr {x = {{29pi } over 6} + k10pi } cr} } right.,,left( {k inmathbb Z} right)) 

c.  

(cos {x over 2} = cos sqrt 2 Leftrightarrow {x over 2} = pm sqrt 2 + k2pi Leftrightarrow x = pm 2sqrt 2 + k4pi ,left( {k inmathbb Z} right))

d. Vì (0 < {2 over 5} < 1) nên có số (α) sao cho (cos alpha = {2 over 5}.) Do đó :

(cos left( {x + {pi over {18}}} right) = {2 over 5} Leftrightarrow cos left( {x + {pi over {18}}} right) = cos alpha Leftrightarrow x = pm alpha – {pi over {18}} + k2pi ,k in mathbb Z)

 

---

Câu 15 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

a. Vẽ đồ thị của hàm số (y = sin x) rồi chỉ ra trên đồ thị đó các điểm có hoành độ thuộc khoảng ((-π ; 4π)) là nghiệm của mỗi phương trình sau :

1.  (sin x = – {{sqrt 3 } over 2})

2. (sin x = 1)

b. Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số (y = cos x) đối với mỗi phương trình sau

1.  (cos x = {1 over 2})

2. (cos x = -1).

Giải

a.  (1/,,sin x = – {{sqrt 3 } over 2} Leftrightarrow sin x = sin left( { – {pi over 3}} right) Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – {pi over 3} + k2pi } cr {x = {{4pi } over 3} + k2pi } cr} } right.)

*Với (x = – {pi over 3} + k2pi ,text{ và },x in left( { – pi ;4pi } right)) ta có nghiệm :

({x_1} = – {pi over 3};,,,,,,,,,,,,,,,,,,{x_2} = {{5pi } over 3};,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{x_3} = {{11pi } over 3})

* Với (x = {{4pi } over 3} + k2pi ,text{ và },x in left( { – pi ;4pi } right)) ta có nghiệm :

({x_4} = – {{2pi } over 3};,,,,,,,,,,,,,,,,,{x_5} = {{4pi } over 3};,,,,,,,,,,,,,,,,,,{x_6} = {{10pi } over 3})

2/ (sin x = 1   Leftrightarrow x = {pi over 2} + k2pi )

* Với (x = {pi over 2} + k2pi ,va,x in left( { – pi ;4pi } right)) ta có nghiệm :

({x_1} = {pi over 2};,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{x_2} = {{5pi } over 2}.)

Xem hình vẽ

 

b. Tương tự câu a) ta có hình vẽ sau :

1. Nghiệm của phương trình (cos x = {1 over 2}) thuộc khoảng ((-π;4π)) là :

({x_1} = – {pi over 3};,,,,,,,,,,{x_2} = {pi over 3};,,,,,,,,,,,{x_3} = {{5pi } over 3};,,,,,,,,,,,{x_4} = {{7pi } over 3};,,,,,,,,,,,,{x_5} = {{11pi } over 3})

2. Nghiệm của phương trình (cos x = -1) thuộc khoảng ((-π ; 4π)) là :

(x_1= -π)       (x_2 = π)        (x_3= 3π)

 

---

Câu 16 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho

a.  (sin 2x = – {1 over 2},text{ với },0 < x < pi )

b.  (cos left( {x – 5} right) = {{sqrt 3 } over 2},text{ với }, – pi < x < pi )

Giải

a. Ta có:  (sin 2x = – {1 over 2} Leftrightarrow sin 2x = sin left( { – {pi over 6}} right))

( Leftrightarrow left[ {matrix{{2x = – {pi over 6} + k2pi } cr {2x = {{7pi } over 6} + k2pi } cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – {pi over {12}} + kpi } cr {x = {{7pi } over {12}} + kpi } cr} } right.,,left( {k in mathbb Z} right))

Với điều kiện (0 < x < π) ta có :

*  (0 < – {pi over {12}} + kpi < pi Leftrightarrow {1 over {12}} < k < {{13} over {12}},,,k inmathbb Z)

Nên( k = 1), khi đó ta có nghiệm  (x = {{11pi } over {12}})

*  (0 < {{7pi } over {12}} + kpi < pi Leftrightarrow – {7 over {12}} < k < {5 over {12}},,,k inmathbb Z)

Nên (k = 0), khi đó ta có nghiệm  (x = {{7pi } over {12}})

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng ((0 ; π)) là :

(x = {{7pi } over {12}},text{ và },x = {{11pi } over {12}})

b.  (cos left( {x – 5} right) = {{sqrt 3 } over 2} Leftrightarrow left[ {matrix{{x – 5 = {pi over 6} + k2pi } cr {x – 6 = – {pi over 6} + 5 + k2pi } cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 6} + 5 + k2pi } cr {x = – {pi over 6} + 5 + k2pi } cr} } right.)

Ta tìm (k) để điều kiện (–π < x < π) được thỏa mãn.

Xét họ nghiệm thứ nhất :

(eqalign{
& – pi < {pi over 6} + 5 + k2pi Leftrightarrow – 7pi – 30 < 12kpi < 5pi – 30 cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow – {7 over {12}} – {{30} over {12pi }} < k < {5 over {12}} – {{30} over {12pi }} cr
& Vi, – 1,38 < – {7 over {12}} – {{30} over {12pi }} < k < {5 over {12}} – {{30} over {12pi }} < – 0,37,,,k inmathbb Z,text{ nên }, cr
& ,,,,, – 1,38 < k < – 0,37 cr} )

Chỉ có một giá trị (k) nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là (k = -1).

Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là  (x = {pi over 6} + 5 – 2pi = 5 – {{11pi } over 6})

Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai :

( – pi < – {pi over 6} + 5 + k2pi < pi Leftrightarrow – 5pi – 30 < 12kpi < 7pi – 30.) Vậy (k = -1)

Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là  (x = – {pi over 6} + 5 – 2pi = 5 – {{13pi } over 6})

Vậy :  (x = 5 – {{11pi } over 6},text{ và },x = 5 – {{13pi } over 6})

 

---

Câu 17 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40˚ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

(dleft( t right) = 3sin left[ {{pi over {182}}left( {t – 80} right)} right] + 12,voi,t in ,va,0 < t le 365.)

a. Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?

b. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

c. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

Giải

a. Ta giải phương trình (d(t) = 12) với (t inmathbb Z) và (0 < t ≤ 365)

Ta có (d(t) = 12 Leftrightarrow sin left[ {{pi over {182}}left( {t – 80} right)} right] = 0 Leftrightarrow {pi over {182}}left( {t – 80} right) = kpi )

( Leftrightarrow t = 182k + 80,left( {,k inmathbb Z} right))                          

Ta lại có  

(0 < 182k + 80 le 365 Leftrightarrow – {{80} over {182}} < k le {{285} over {182}} Leftrightarrow left[ {matrix{{k = 0} cr {k = 1} cr} } right.)

Vậy thành phố (A) có đúng (12) giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ (80) (ứng với (k = 0)) và ngày thứ (262) (ứng với (k = 1)) trong năm.

b. Do (sin x ≥ -1) với mọi (x) nên thành phố (A) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi :

(sin left[ {{pi over {182}}left( {t – 80} right)} right] = – 1,text{ với },t in mathbb Z,text { và },0 < t le 365) 

Phương trình đó cho ta  

({pi over {182}}left( {t – 80} right) = – {pi over 2} + k2pi ) 

( Leftrightarrow t = 364k – 11,left( {,k inmathbb Z} right))

Mặt khác,(0 < 364k – 11 le 365 Leftrightarrow {{11} over {364}} < k le {{376} over {364}} Leftrightarrow k = 1) (do (k) nguyên)

Vậy thành phố (A) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất ((9) giờ) khi (t = 353), tức là vào ngày thứ (353) trong năm.

c. Tương tự, ta phải giải phương trình :

(eqalign{
& sin left[ {{pi over {182}}left( {t – 80} right)} right] = 1,text{ với },t inmathbb Z,text{ và },0 < t le 365 cr
& Leftrightarrow {pi over {182}}left( {t – 80} right) = {pi over 2} + k2pi Leftrightarrow t = 364k + 171 cr
& 0 < 364k + 171 le 365 Leftrightarrow – {{171} over {364}} < k le {{194} over {364}} Leftrightarrow k = 0 cr} ) 

Vậy thành phố (A) có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ((15) giờ) vào ngày thứ (171) trong năm.

 

---

Câu 18 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải các phương trình sau :

a.  (tan 3x = tan {{3pi } over 5})

b. (tan(x – 15^0) = 5)

c.  (tan left( {2x – 1} right) = sqrt 3 )

d.  (cot 2x = cot left( { – {1 over 3}} right))

e.  (cot left( {{x over 4} + 20^circ } right) = – sqrt 3 )

f.  (cot 3x = tan {{2pi } over 5})

Giải

a.  (tan 3x = tan {{3pi } over 5} Leftrightarrow 3x = {{3pi } over 5} + kpi Leftrightarrow x = {pi over 5} + k{pi over 3})

b. (tan(x – 15^0) = 5⇔ x = α + 15^0+ k180^0),

trong đó (tan α = 5) (chẳng hạn, có thể chọn (α ≈ 78^041’24”) nhờ dùng máy tính bỏ túi)

c.

(eqalign{
& tan left( {2x – 1} right) = sqrt 3 Leftrightarrow tan left( {2x – 1} right) = tan {pi over 3} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow 2x – 1 = {pi over 3} + kpi Leftrightarrow x = {pi over 6} + {1 over 2} + k{pi over 2};k inmathbb Z cr} ) 

 d.  

(cot 2x = cot left( { – {1 over 3}} right) Leftrightarrow 2x = – {1 over 3} + kpi Leftrightarrow x = – {1 over 6} + k{pi over 2})

e.

(eqalign{
& cot left( {{x over 4} + 20^circ } right) = – sqrt 3 Leftrightarrow cot left( {{x over 4} + 20^circ } right) = cot left( { – 30^circ } right) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow {x over 4} + 20^circ = – 30^circ + k180^circ Leftrightarrow x = – 200^circ + k720^circ cr} ) 

f.  

(cot 3x = tan {{2pi } over 5} Leftrightarrow cot 3x = cot left( {{pi over 2} – {{2pi } over 5}} right) Leftrightarrow 3x = {pi over {10}} + kpi Leftrightarrow x = {pi over {30}} + k.{pi over 3})

 

---

Câu 19 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

a.Vẽ đồ thị của hàm số (y = tan x) rồi chỉ ra trên đồ thị đó có các điểm có hoành độ thuộc khoảng ((-π ; π)) là nghiệm của mỗi phương trình sau

1. (tan x = -1)

2. (tan x = 0)

b. Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số (y = cot x) và cho mỗi phương trình sau

1.  (cot x = {{sqrt 3 } over 3})

2. (cot x = 1)

Giải

a.

1. Phương trình (tan x = -1) có nghiệm thuộc khoảng ((-π ; π)) là :

(x = – {pi over 4},text{ và },x = {{3pi } over 4})

2. Phương trình (tan x = 0) có nghiệm thuộc khoảng ((-π ; π)) là (x = 0)

b.

 

1. Phương trình  có nghiệm thuộc khoảng ((-π ; π)) là :

(x = {pi over 3},text{ và },x = – {{2pi } over 3})

2. Phương trình (cot x = 1) có nghiệm thuộc khoảng ((-π ; π)) là :

(x = {pi over 4},text{ và },x = – {{3pi } over 4})

 

---

Câu 20 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho

a. (tan left( {2x-{{15}^0}} right) = 1) với ( – {180^0} < {rm{ }}x{rm{ }} < {rm{ }}{90^0});

b.  (cot 3x = – {1 over {sqrt 3 }},text{ với }, – {pi over 2} < x < 0.)

Giải

a.(tan left( {2x-{{15}^0}} right) = 1)(Leftrightarrow {rm{ }}2x{rm{ }} = {rm{ }}{15^0} + {rm{ }}{45^0} + {rm{ }}k{180^0} Leftrightarrow {rm{ }}x{rm{ }} = {rm{ }}{30^0} + {rm{ }}k{90^0})

( – {180^0} < {rm{ }}{30^0} + {rm{ }}k{90^0} < {rm{ }}{90^0} Leftrightarrow – 2 < {1 over 3} + k < 1)

(Leftrightarrow k in left{ { – 2; – 1;0} right})

Vậy các nghiệm của phương trình là (x =  – {150^0},{rm{ }}x{rm{ }} =  – {60^0}) và (x{rm{ }} = {rm{ }}{30^0})

b.  

(eqalign{
& cos 3x = – {1 over {sqrt 3 }} Leftrightarrow x = – {pi over 9} + k{pi over 3} cr
& – {pi over 2} < – {pi over 9} + k{pi over 3} < 0 Leftrightarrow – {7 over 6} < k < {1 over 3} Leftrightarrow k in left{ { – 1;0} right} cr} )

Vậy các nghiệm của phương trình là (x = – {{4pi } over 9},text{ và },x = – {pi over 9}.)

 

 

---

Câu 21 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Khi giải phương trình (tan x = – sqrt 3 ) ; bạn Phương nhận thấy ( – sqrt 3 = tan left( { – {pi over 3}} right)) và viết

(tan x = – sqrt 3 Leftrightarrow tan x = tan left( { – {pi over 3}} right) Leftrightarrow x = – {pi over 3} + kpi .)

Cũng phương trình đó, bạn Quyên lấy ( – sqrt 3 = tan {{2pi } over 3}) nên giải như sau :

(tan x = – sqrt 3 Leftrightarrow tan x = tan {{2pi } over 3} Leftrightarrow x = {{2pi } over 3} + kpi .)

Theo em, ai giải đúng, ai giải sai ?

Giải

Cả hai bạn đều giải đúng. Hai họ nghiệm chỉ khác nhau về hình thức, thực chất chỉ là một.

Thực vậy, họ nghiệm (x = {{2pi } over 3} + kpi ) có thể viết lại là (x = {{2pi } over 3} – pi + left( {k + 1} right)pi ) hay (x = – {pi over 3} + left( {k + 1} right)pi ) ; đây chính là kết qủa mà Phương tìm được.

 

---

Câu 22 trang 30 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tính các góc của tam giác (ABC), biết (AB = sqrt 2  cm), (AC =sqrt 3  cm) và đường cao (AH = 1cm). (Gợi ý : Xét trường hợp (B, C) nằm khác phía đối với (H) và trường hợp (B, C) nằm cùng phía đối với (H)).

Giải

Ta xét hai trường hợp :

a/ (B) và (C) nằm khác phía đối với (H)

Trong tam giác vuông (ABH) ta có :

(sin B = {{AH} over {AB}} = {1 over {sqrt 2 }})      

Suy ra (widehat B = 45^circ ) (chú ý rằng góc (B) nhọn)

Trong tam giác (ACH) ta có :

(sin C = {{AH} over {AC}} = {1 over {sqrt 3 }},) suy ra  (widehat C approx 35^circ 15’52)

Từ đó  (widehat A = 180^circ – left( {widehat B + widehat C} right) approx 99^circ 44’8)

b/ (B) và (C) nằm cùng phía đối với (H)

Tương tự như trên ta có :

(eqalign{
& widehat {ABC} = 180^circ – widehat {ABH} = 180^circ – 45^circ = 135^circ cr
& widehat C approx 35^circ 15’52 cr} )

Từ đó  (widehat A = 180^circ – left( {widehat B + widehat C} right) approx 9^circ 44’8)

 

---

Câu 23 trang 31 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :

a.  (y = {{1 – cos x} over {2sin x + sqrt 2 }})

b.  (y = {{sin left( {x – 2} right)} over {cos 2x – cos x}})

c.  (y = {{tan x} over {1 + tan x}})

d.  (y = {1 over {sqrt 3 cot 2x + 1}})

Giải

a.(y = {{1 – cos x} over {2sin x + sqrt 2 }}) xác định  ( Leftrightarrow 2sin x + sqrt 2 ne 0)

( Leftrightarrow sin x ne – {{sqrt 2 } over 2} Leftrightarrow left{ {matrix{{x ne – {pi over 4} + k2pi } cr {x ne {{5pi } over 4} + k2pi } cr} } right.)                                                

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là :

(D =mathbb R backslash  left( {left{ { – {pi over 4} + k2pi ,k inmathbb Z} right} cup left{ {{{5pi } over 4} + k2pi ,k inmathbb Z} right}} right))

b/ (y = {{sin left( {x – 2} right)} over {cos 2x – cos x}}) xác định

(eqalign{& Leftrightarrow cos 2x ne cos x cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{2x ne x + k2pi } cr {2x ne – x + k2pi } cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{x ne k2pi } cr {2x ne k{{2pi } over 3}} cr} } right. Leftrightarrow x ne k{{2pi } over 3} cr} ) 

Vậy (D =mathbb R backslash  left{ {k{{2pi } over 3},k inmathbb Z} right})

c/ (y = {{tan x} over {1 + tan x}}) xác định  ( Leftrightarrow tan x ne – 1 Leftrightarrow left{ {matrix{{x ne {pi over 2} + kpi } cr {x ne – {pi over 4} + kpi } cr} } right.)

Vậy  (D =mathbb R backslash  left( {left{ {{pi over 2} + kpi ,k inmathbb Z} right} cup left{ { – {pi over 4} + kpi ,k inmathbb Z} right}} right))

d/ (y = {1 over {sqrt 3 cot 2x + 1}}) xác định  ( Leftrightarrow cot 2x ne – {1 over {sqrt 3 }})

( Leftrightarrow left{ {matrix{{2x ne kpi } cr {2x ne – {pi over 3} + kpi } cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{x ne k{pi over 2}} cr {x ne – {pi over 6} + k{pi over 2}} cr} } right.)

Vậy (D =mathbb R backslash  left( {left{ {k{pi over 2},k inmathbb Z} right} cup left{ { – {pi over 6} + k{pi over 2},k inmathbb Z} right}} right))

 

---

Câu 24 trang 31 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giả sử một con tàu vũ trụ được phóng lên từ mũi Ca-na-vơ-ran (Canaveral) ở Mĩ. Nó chuyển động theo một quỹ đạo được mô tả trên một bản đồ phẳng (quanh đường xích đạo) của mặt đất

như hình 1.23 : điểm (M) mô tả cho con tàu, đường thẳng (∆) mô tả cho đường xích đạo.

Khoảng cách (h) (kilomet) từ (M) đến (∆) được

tính theo công thức (h = |d|), trong đó

(d = 4000cos left[ {{pi over {45}}left( {t – 10} right)} right],)

Với (t) (phút) là thời gian trôi qua kể từ khi con tàu đi vào quỹ đạo, (d > 0) nếu (M) ở phía trên (∆), (d < 0) nếu (M) ở phía dưới (∆).

a. Giả thiết rằng con tàu đi vào quỹ đạo ngay từ khi phóng lên tại mũi Ca-na-vơ-ran (tức là ứng với (t = 0)). Hãy tính khoảng cách từ điểm (C) đến đường thẳng (∆), trong đó (C) là điểm trên bản đồ biểu diễn cho mũi Ca-na-vơ-ran.

b. Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có (d = 2000).

c. Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có (d = -1236).

(Tính chính xác các kết quả đến hàng phần nghìn).

Giải

a. Vì (t = 0) nên (d = 4000cos left( { – {{10pi } over {45}}} right) = 4000cos {{2pi } over 9}.) Do đó :

(h = |d| ≈ 3064,178 (km))

b.

(eqalign{& d = 2000 Leftrightarrow 4000cos left[ {{pi over {45}}left( {t – 10} right)} right] = 2000Leftrightarrow cos left[ {{pi over {45}}left( {t – 10} right)} right] = {1 over 2} cr & Leftrightarrow {pi over {45}}left( {t – 10} right) = pm {pi over 3} + k2pi Leftrightarrow t = 10 pm 15 + 90k Leftrightarrow left[ {matrix{{t = 25 + 90k} cr {t = – 5 + 90k} cr} } right. cr} ) 

Chú ý rằng (t > 0) ta thấy ngay giá trị nhỏ nhất của (t) là (t = 25). Vậy (d = 2000 (km)) xảy ra lần đầu tiên sau khi phóng con tàu vào quỹ đạo được (25) phút.

c.

(eqalign{
& d = – 1236 Leftrightarrow 4000cos left[ {{pi over {45}}left( {t – 10} right)} right] = – 1236 Leftrightarrow cos left[ {{pi over {45}}left( {t – 10} right)} right] = – 0,309 cr
& Leftrightarrow {pi over {45}}left( {t – 10} right) = pm alpha + k2pi ,left( {text{ với },k in mathbb Z,text{ và },cos alpha = – 0,309} right) cr
& Leftrightarrow t = pm {{45} over pi }alpha + 10 + 90k cr} ) 

Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta có thể chọn (α ≈ 1,885). Khi đó ta có :

(t ≈ ± 27,000 + 10 + 90k), tức là (t ≈ – 17,000 + 90k) hoặc (t ≈ 37,000 + 90k)

Dễ thấy giá trị dương nhỏ nhất của (t) là (37,000). Vậy (d = -1236 (km)) xảy ra lần đầu tiên là (37,000) phút sau khi con tàu được phóng vào quỹ đạo. 

 

---

Câu 25 trang 32 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính (2,5m) ;trục của nó đặt cách mặt nước (2m) (h.1.24). Khi guồng quay đều, khoảng cách (h) (mét) từ một chiếc gầu gắntại điểm (A) của guồng đến mặt nước được tính theo công thức (h = |y|), trong đó

(y = 2 + 2,5sin left[ {2pi left( {x – {1 over 4}} right)} right]) 

Với (x) là thời gian quay guồng ((x ≥ 0)), tính bằng phút ; ta quy ước rằng (y > 0) khi gầu ở bên trên mặt nước và (y < 0) khi gầu ở dưới nước (xem bài đọc thêm về dao động điều hòa trang 15). Hỏi :

a. Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất ?

b. Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất ?

c. Chiếc gầu cách mặt nước (2m) lần đầu tiên khi nào ?

Giải

a. Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất khi (sin left[ {2pi left( {x – {1 over 4}} right)} right] = – 1.) Ta có :

(sin left[ {2pi left( {x – {1 over 4}} right)} right] = – 1 Leftrightarrow 2pi left( {x – {1 over 4}} right) = – {pi over 2} + k2pi Leftrightarrow x = k,left( {,k inmathbb Z} right)) 

Điều đó chứng tỏ rằng chiếc gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0 phút ; 1 phút ; 2 phút ; 3 phút…

b. Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi (sin left[ {2pi left( {x – {1 over 4}} right)} right] = 1.) Ta có :

(sin left[ {2pi left( {x – {1 over 4}} right)} right] = 1 Leftrightarrow 2pi left( {x – {1 over 4}} right) = {pi over 2} + k2pi Leftrightarrow x = {1 over 2} + k,left( {,k in N} right)) 

Điều đó chứng tỏ chiếc gàu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0,5 phút; 1,5 phút ; 2,5 phút ; 3,5 phút …

c. Chiếc gàu cách mặt nước 2 mét khi (sin left[ {2pi left( {x – {1 over 4}} right)} right] = 0,) nghĩa là tại các thời điểm (x = {1 over 4} + {1 over 2}k) (phút); do đó lần đầu tiên nó cách mặt nước 2 mét khi quay được ({1 over 4}) phút (ứng với (k = 0)). 

 

---

Câu 26 trang 32 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Dùng công thức biến đổi tổng thành tích , giải các phương trình sau :

a. (cos 3x = sin 2x)

b. (sin (x – 120˚) – cos 2x = 0)

Giải

a.

(eqalign{& cos 3x = sin 2x Leftrightarrow cos 3x – cos left( {{pi over 2} – 2x} right) = 0 cr & Leftrightarrow – 2sin left( {{x over 2} + {pi over 4}} right)sin left( {{{5x} over 2} – {pi over 4}} right) = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{{x over 2} + {pi over 4} = kpi } cr {{{5x} over 2} – {pi over 4} = kpi } cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – {pi over 2} + k2pi } cr {x = {pi over {10}} + k{{2pi } over 5}} cr} } right. cr} ) 

b.

(eqalign{& sin left( {x – 120^circ } right) – cos 2x = 0 Leftrightarrow cos left( {210^circ – x} right) – cos 2x = 0 cr & Leftrightarrow – 2sin left( {{x over 2} + 105^circ } right)sin left( {105^circ – {{3x} over 2}} right) = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{{x over 2} + 105^circ = k180^circ } cr {105^circ – {{3x} over 2} = k180^circ } cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – 210^circ + k360^circ } cr {x = 70^circ + k120^circ } cr} } right. cr} )

 

Giaibaitap.me