Giải bài 1.56, 1.57, 1.58 trang 38 Sách bài tập Giải tích 12

Bài 1.56 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số  (y = {{3(x + 1)} over {x – 2}})

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O(0;0) và tiếp xúc với (C) .

c) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.

Hướng dẫn làm bài:

a) 

b) Cách 1.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M₀(x₀; y₀) là:

                        y – y₀ = y’(x₀)(x – x₀)

Trong đó (y'({x_0}) = {{ – 9} over {{{({x_0} – 2)}^2}}}) . Ta có:

(y =  – {9 over {{{({x_0} – 2)}^2}}}(x – {x_0}) + {y_0})  với ({y_0} = {{3({x_0} + 1)} over {{x_0} – 2}})

Để đường thẳng đó đi qua O(0; 0), điều kiện cần và đủ là: 

({{9{x_0}} over {{{({x_0} – 2)}^2}}} + {{3({x_0} + 1)} over {{x_0} – 2}} = 0 Leftrightarrow left{ matrix{
{x_0} ne 2 hfill cr
{x_0}^2 + 2{x_0} – 2 = 0 hfill cr} right.)

( Leftrightarrow  {x_0} =  – 1 pm sqrt 3 )         

+) Với ({x_0} =  – 1 + sqrt 3 ) , ta có phương trình tiếp tuyến: (y =  – {3 over 2}(2 + sqrt 3 )x)

+) Với ({x_0} =  – 1 – sqrt 3 ) , ta có phương trình tiếp tuyến: (y =  – {3 over 2}(2 – sqrt 3 )x) .

Cách 2.

Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có dạng y = kx.

Để xác định tọa độ tiếp điểm của hai đường: (y = {{3(x + 1)} over {x – 2}})  và y = kx , ta giải hệ:

(left{ matrix{
{{3(x + 1)} over {x – 2}} = kx hfill cr
– {9 over {{{(x – 2)}^2}}} = k hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
{{3(x + 1)} over {x – 2}} + {{9x} over {{{(x – 2)}^2}}} = 0 hfill cr
– {{3(x + 1)} over {x – 2}} = k hfill cr} right.)                        

Giải phương trình thứ nhất ta được: (x =  – 1 pm sqrt 3 )

Thay vào phương trình thứ hai ta có: 

   ({k_1} =  – {3 over 2}(2 + sqrt 3 );{k_2} =  – {3 over 2}(2 – sqrt 3 ))              

Từ đó có hai phương trình tiếp tuyến là: (y =  – {3 over 2}(2 + sqrt 3 )x) và (y =  – {3 over 2}(2 – sqrt 3 )x)

c) Để tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên ta có:

(y = {{3(x + 1)} over {x – 2}} Leftrightarrow  y = 3 + {9 over {x – 2}})                         

Điều kiện cần và đủ để  (M(x,y) in (C))  có tọa độ nguyên là: 

(left{ matrix{
x in Z hfill cr
{9 over {x – 2}} in Z hfill cr} right.)

  tức (x – 2) là ước của 9.

Khi đó, x – 2 nhận các giá trị ( pm 1; pm 3; pm 9) hay x nhận các giá trị 1; 3; -1; 5; -7; 11.

Do đó, ta có 6 điểm trên (C) có tọa độ nguyên là:  (1; -6), (3; 12), (-1; 0), (5; 6), (-7; 2), (11; 4).

Bài 1.57 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

 (y = {{x + 2} over {x – 3}})                               

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C).

c) Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

Hướng dẫn làm bài:

a) 

b) Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3.

     Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là I(3; 1). Thực hiện phép biến đổi:

(left{ matrix{
x = X + 3 hfill cr
y = Y + 1 hfill cr} right.)                                                          

Ta được (Y + 1 = {{X + 5} over X} Leftrightarrow  Y = {{X + 5} over X} – 1 Leftrightarrow Y = {5 over X})

Vì (Y = {5 over X}) là hàm số lẻ nên đồ thị (C) của hàm số này có tâm đối xứng là gốc tọa độ I của hệ tọa độ IXY.

c) Giả sử (M({x_0};{y_0}) in (C)) . Gọi d1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d2 là khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang, ta có:

  ({d_1} = |{x_0} – 3|,{d_2} = |{y_0} – 1| = {5 over {|{x_0} – 3|}})                        

Có hai điểm thỏa mãn đầu bài, đó là hai điểm có hoành độ  ({x_0} = 3 pm sqrt 5 )

Bài 1.58 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh rằng phương trình: 3x⁵ + 15x – 8 = 0   chỉ có một nghiệm thực.

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số  3x⁵ + 15x – 8 = 0  là hàm số liên tục và có đạo hàm trên R.

Vì (f(0) =  – 8 < 0,f(1) = 10 > 0) nên tồn tại một số ({x_0} in (0;1)) sao cho f(x₀) = 0, tức là phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

Mặt khác, ta có (y’ = 15{x^4} + 5 > 0,forall x in R) nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến. Vậy phương trình đó chỉ có một nghiệm.

Giaibaitap.me