Giải bài 1, 2 trang 30 SGK Giải tích 12

Bài 1 trang 30 sách sgk giải tích 12

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

a)  (y=frac{x}{2-x}).                                

b) (y=frac{-x+7}{x+1}).

c)  (y=frac{2x-5}{5x-2}).

d) (y=frac{7}{x}-1).

Giải

a) Ta có: (mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} {x over {2 – x}} =  + infty ;,,mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} {x over {2 – x}} =  – infty ) nên đường thẳng (x = 2) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: (mathop {lim }limits_{x to  + infty } {x over {2 – x}} =  – 1;,,mathop {lim }limits_{x to  – infty } {x over {2 – x}} =  – 1) nên đường thẳng (y = -1) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Ta có: (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ + }} frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = + infty ;,mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ – }} frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = – infty) nên (x=-1) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: (mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = – 1;,mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = – 1) nên đường thẳng (y=-1) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) Ta có: (mathop {lim }limits_{x to {{left( {frac{2}{5}} right)}^ + }} frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = – infty ;,mathop {lim }limits_{x to {{left( {frac{2}{5}} right)}^ – }} frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = + infty) nên đường thẳng (x=frac{2}{5}) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: (mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = frac{2}{5};,mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = frac{2}{5}) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng (y=frac{2}{5}) làm tiệm cận ngang.

d) Ta có: (mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {frac{7}{x} – 1} right) = – 1;,mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {frac{7}{x} – 1} right) = – 1) nên đường thẳng (y=-1) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: (mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} left( {frac{7}{x} – 1} right) = + infty ;,mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} left( {frac{7}{x} – 1} right) = – infty) nên đường thẳng (x=0) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài 2 trang 30 sách sgk giải tích 12

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

a) (y=frac{2-x}{9-x^2})

b) (y=frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2})

c) (y=frac{x^2-3x+2}{x+1})

d) (y=frac{sqrt {x}+1}{sqrt {x}-1})

Giải:

a)

(mathop {lim }limits_{xrightarrow (-3)^-}frac{2-x}{9-x^2}=+infty); (mathop {lim }limits_{xrightarrow (-3)^+}frac{2-x}{9-x^2}=+infty) nên đường thẳng (x=-3) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 (mathop {lim }limits_{xrightarrow 3^-}frac{2-x}{9-x^2}=-infty); (mathop {lim }limits_{xrightarrow 3^+}frac{2-x}{9-x^2}=-infty) nên đường thẳng (x=3) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 (mathop {lim }limits_{xrightarrow +infty }frac{2-x}{9-x^2}=0); (mathop {lim }limits_{xrightarrow -infty }frac{2-x}{9-x^2}=0)  nên đường thẳng: (y = 0) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b)

(begin{array}{l} mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ + }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ – }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – infty \ mathop {lim }limits_{x to {{left( {frac{3}{5}} right)}^ + }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – infty ;,,mathop {lim }limits_{x to {{left( {frac{3}{5}} right)}^ – }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = + infty end{array})

Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: (x=-1;x=frac{3}{5}).

Vì: (mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – frac{1}{5};,,mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – frac{1}{5})

Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng (y=-frac{1}{5}).

c)

(mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ – }} frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x + 1}} = – infty ;,mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ +}} frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x + 1}} = + infty) nên đường thẳng (x=-1) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 (underset{xrightarrow -infty }{lim}frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=underset{xrightarrow -infty }{lim}frac{x^2(1-frac{3}{x}+frac{2}{x^{2}})}{x(1+frac{1}{x})}=-infty) và (underset{xrightarrow -infty }{lim}frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=+infty) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

d)

Hàm số xác định khi:  (left{begin{matrix} xgeq 0\ sqrt{x}-1neq 0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} xgeq 0\ xneq 1 end{matrix}right.)

Vì  (mathop {lim }limits_{xrightarrow 1^-}frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}=-infty)( hoặc (mathop {lim }limits_{xrightarrow 1^+}frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}=+infty) ) nên đường thẳng (x = 1) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì  (mathop {lim }limits_{xrightarrow +infty }frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}=mathop {lim }limits_{xrightarrow +infty }frac{sqrt{x}(1+frac{1}{sqrt{x}})}{sqrt{x}(1-frac{1}{sqrt{x}})}=1) nên đường thẳng (y = 1) là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Giaibaitap.me