Giải bài 1, 2, 3 trang 7, 8 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài 1 trang 7 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) (y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1)        b) (y = {x^3} – 2{x^2} + x + 1)

c) (y = x + {3 over x})                      d) (y = x – {2 over x})

e) (y = {x^4} – 2{x^2} – 5)          f) (y = sqrt {4 – {x^2}} )

Giải

a) Tập xác định: (D =mathbb R)

(eqalign{
& y’ = 6{x^2} + 6x cr 
& y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0,,left( {y = 1} right) hfill cr 
x = – 1,,left( {y = 2} right) hfill cr} right. cr} )

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – infty ; – 1} right)) và (left( {0; + infty } right)) nghịch biến trên khoảng (left( { – 1;0} right)).

b) Tập xác định: (D =mathbb R)

(eqalign{
& y’ = 3{x^2} – 4x + 1 cr 
& y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1,,left( {y = 1} right) hfill cr 
x = {1 over 3},,left( {y = {{31} over {27}}} right) hfill cr} right. cr} )

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – infty ;{1 over 3}} right)) và (,left( {1; + infty } right)) , nghịch biến trên khoảng (,left( {{1 over 3};1} right)).

c) Tập xác định: (D =mathbb Rbackslash left{ 0 right})

(eqalign{
& y’ = 1 – {3 over {{x^2}}} = {{{x^2} – 3} over {{x^2}}} cr 
& y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = sqrt 3 ,,left( {y = 2sqrt 3 } right) hfill cr 
x = – sqrt 3 ,,left( {y = – 2sqrt 3 } right) hfill cr} right. cr} )

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – infty ; – sqrt 3 } right)) và (,left( {sqrt 3 ; + infty } right)) , nghịch biến trên khoảng (left( { – sqrt 3 ;0} right)) và (,left( {0;sqrt 3 } right)).

d) Tập xác định: (D = mathbb Rbackslash left{ 0 right})

(y’ = 1 + {2 over {{x^2}}} > 0) với mọi (x ne 0)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (,,left( { – infty ;0} right)) và (left( {0; + infty } right)).

e) Tập xác định: (D= mathbb R)

(y’ = 4{x^3} – 4x = 4xleft( {{x^2} – 1} right);y’ = 0 )

( Leftrightarrow ,left[ matrix{
x = 0,,,,left( {y = – 5} right) hfill cr 
x = pm 1,,,,left( {y = – 6} right) hfill cr} right.)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (,left( { – infty ; – 1} right)) và (left( {0;1} right)), đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – 1;0} right)) và (left( {1; + infty } right)).

f) Hàm số xác định khi và chỉ khi (4 – {x^2} ge 0 Leftrightarrow  – 2 le x le 2)

Tập xác định: (D = left[ { – 2;2} right])

(y’ = {{ – 2x} over {2sqrt {4 – {x^2}} }} = {{ – x} over {sqrt {4 – {x^2}} }};y’ = 0 Leftrightarrow )(x = 0,,,left( {y = 2} right))

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (left( { – 2;0} right)) và nghịch biến trên khoảng (left( {0;2} right)) .

Bài 2 trang 7 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng:

a) Hàm số (y = {{x – 2} over {x + 2}}) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó;

b)Hàm số (y = {{ – {x^2} – 2x + 3} over {x + 1}}) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Giải

a) Tập xác định (D =mathbb Rbackslash left{ { – 2} right})

(y’ = {{left| matrix{
1,,,, – 2 hfill cr 
1,,,,,,,,2 hfill cr} right|} over {{{left( {x + 2} right)}^2}}} = {4 over {{{left( {x + 2} right)}^2}}} > 0) với mọi (x ne  – 2)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – infty ; – 2} right)) và (left( { – 2; + infty } right)).

b) Tập xác định (D =mathbb Rbackslash left{ { – 1} right})

(y’ = {{left( { – 2x – 2} right)left( {x + 1} right) – left( { – {x^2} – 2x + 3} right)} over {{{left( {x + 1} right)}^2}}} = {{ – {x^2} – 2x – 5} over {{{left( {x + 1} right)}^2}}} < 0) với mọi (x ne  – 1).

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (left( { – infty ; – 1} right)) và (left( { – 1; + infty } right)).

Bài 3 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên (mathbb R):

a) (fleft( x right) = {x^3} – 6{x^2} + 17x + 4;) 

b) (fleft( x right) = {x^3} + x – cos x – 4)

Giải

a) Tập xác định: (D =mathbb R)

(f’left( x right) = 3{x^2} – 12x + 17 > 0) với mọi (x in mathbb R) (vì (a > 0,Delta ‘ < 0))

Hàm số đồng biến trên (mathbb R).

b) Tập xác định: (D =mathbb R)

(f’left( x right) = 3{x^2} + 1 + sin x)

Vì (1 + sin x ge 0) và (3{x^2} ge 0) nên (f’left( x right) ge 0) với mọi (x in mathbb R), với (x = 0) thì (1 + sin x = 1 > 0) nên (f’left( x right) > 0,,,forall x in mathbb R) do đó hàm số đồng biến trên (mathbb R).

Giaibaitap.me