Giải bài 1, 2, 3 trang 43 SGK Giải tích 12

Bài 1 trang 43 sách sgk giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) (y{rm{ }} = {rm{ }}2{rm{ }} + {rm{ }}3x{rm{ }}-{rm{ }}{x^3}) ;             b) (y{rm{ }} = {rm{ }}{x^3} + {rm{ }}4{x^2} + {rm{ }}4x);

c) (y{rm{ }} = {rm{ }}{x^3} + {rm{ }}{x^2} + {rm{ }}9x) ;            d) (y{rm{ }} = {rm{ }}-2{x^3} + {rm{ }}5) ;

Giải:

Câu a:

Xét hàm số (y{rm{ }} = {rm{ }}2{rm{ }} + {rm{ }}3x{rm{ }}-{rm{ }}{x^3})

Tập xác định: (D=mathbb{R}.)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: (y’ = 3- 3x^2) .

Ta có: (y’ = 0 ⇔ x = ± 1) .

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ((-1;1)), nghịch biến trên các khoảng (left( { – infty ; – 1} right)) và (left( {1; + infty } right).)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại (x=1), giá trị cực đại

(y)_CĐ=(y(1)=4), đạt cực tiểu tại (x=-1) và

(y)_CT=(y(-1)=0).

Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty)

Bảng biến thiên:

         

Đồ thị cắt trục (Ox) tại các điểm ((2;0)) và ((-1;0)), cắt (Oy) tại điểm ((0;2)).

Đồ thị:

Ta có: (y”=6x); (y”=0 ⇔ x=0). Với (x=0) ta có (y=2). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (I(0;2)) làm tâm đối xứng.

Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ (x=-2) suy ra (y=4).

Câu b:

Xét hàm số (y{rm{ }} = {rm{ }}{x^3} + {rm{ }}4{x^2} + {rm{ }}4x)

Tập xác định: (D=mathbb{R}.)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: (y’ = 3x^2+ 8x + 4).

(y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = – 2\ x = – frac{2}{3} end{array} right.)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (left( { – infty ; – 2} right)) và (left( { – frac{2}{3}; + infty } right)) và nghịch biến trên (left( { – 2; – frac{2}{3}} right).)

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại (x=-2), giá trị cực đại (y)_cđ = (y(-2) = 0).

Hàm số đạt cực tiểu tại (x=-frac{2}{3}), giá trị cực tiểu (y_{ct}=yleft ( -frac{2}{3} right )=-frac{32}{27}.)

Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty ;,,mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số cắt trục (Oy) tại điểm ((0;0)), cắt trục (Ox) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: ({x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0) hoặc (x=-2) nên tọa độ các giao điểm là ((0;0)) và ((-2;0)).

Đồ thị hàm số:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: (y”=6x+8;)(y”=0Leftrightarrow x=-frac{4}{3}Rightarrow y=-frac{16}{27}.) 

Câu c:

Xét hàm số (small y = x^3 + x^2+ 9x)

Tập xác định: (D=mathbb{R}.)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: (y’ = 3x^2+ 2x + 9 > 0, ∀x).

Vậy hàm số luôn đồng biến trên (mathbb{R}) và không có cực trị.

Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty ;,,mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty).

Bảng biến thiên :

Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục (Ox) tại điểm ((0;0)), cắt trục (Oy) tại điểm ((0;0)).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình (y”=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔) (x=-frac{1}{3}.) Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: (Ileft ( -frac{1}{3};-frac{79}{27} right ).)

Lúc này ta vẫn chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm có hoành độ cách đều hoành độ (x_1) và (x_2) sao cho (left| {{x_1} – left( { – frac{1}{3}} right)} right| = left| {{x_2} – left( { – frac{1}{3}} right)} right|), khi đó hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn các điểm ((-1;-9)) và (left ( frac{1}{2};frac{39}{8} right ).)

Câu d:

Xét hàm số (y=-2x^3+5)

Tập xác định: (D=mathbb{R}.)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: (y’ = -6x^2≤ 0, ∀x).

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên (mathbb R).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty)

Bảng biến thiên:

 

Đồ thị:

Tính đối xứng: (y”=-12x; y”=0 ⇔ x=0). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn (I(0;5)) làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục (Oy) tại điểm ((0;5)), đồ thị cắt trục (Ox) tại điểm (left( {sqrt[3]{{frac{5}{2}}};0} right).) 

Bài 2 trang 43 sách sgk giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a) (y=- {x^4} + 8{x^{2}}-1);               b) (y= {x^4} – 2{x^2} + 2);

c) (y = {1 over 2}{x^4} + {x^2} – {3 over 2});                 d) (y =  – 2{x^2} – {x^4} + 3).

Giải:

 a) Tập xác định: (mathbb R) ;

Sự biến thiên:

(y’ =-4x^3+ 16x = -4x(x^2- 4));

( y’ = 0  ⇔ x = 0, x = ±2) .

– Hàm số đồng biến trên khoảng ((-infty;-2)) và ((0;2)); nghịch biến trên khoảng ((-2;0)) và (2;+infty)).

– Cực trị:

    Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm (x=-2) và (x=2); (y_{CĐ}=y(pm 2)=15).

    Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0); (y_{CT}=-1)

– Giới hạn:

(mathop {lim y}limits_{x to  pm infty }  =  – infty )

Bảng biến thiên :

      

Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;-1))

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.

 Đồ thị 

b) Tập xác định: (mathbb R);

Sự biến thiên:

(y’ =4x^3- 4x = 4x(x^2- 1));

(y’ = 0  ⇔ x = 0, x = ±1) .

– Hàm số đồng biến trên khoảng ((-1;0)) và ((1;+infty)); nghịch biến trên khoảng ((-infty;-1))  và ((0;1)).

– Cực trị: 

    Hàm số đạt cực đại tại (x=0); (y_{CĐ}=2).

    Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm (x=-1) và (x=1); (y_{CT}=y(pm 1)=1).

-Giới hạn:

(mathop {lim y}limits_{x to  pm infty }  =  + infty )

Bảng biến thiên :

      

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.

Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;2))

Đồ thị 

c) Tập xác định: (mathbb R);

Sự biến thiên:

(y’ =2x^3+ 2x = 2x(x^2+1));

(y’ = 0  ⇔ x = 0).

– Hàm số nghịch biến trên khoảng ((-infty;0)); đồng biến trên khoảng ((0;+infty)).

-Cực trị:

    Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0); (y_{CT}={-3over 2})

-Giới hạn:

(mathop {lim y}limits_{x to  pm infty }  =  + infty )

Bảng biến thiên :

 

 

Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.

Đồ thị giao (Ox) tại hai điểm ((-1;0)) và ((1;0)); giao (Oy) tại ((0;{-3over 2})).

Đồ thị như hình bên.

d) Tập xác định: (mathbb R);

Sự biến thiên:

(y’ = -4x – 4x^3= -4x(1 + x^2));

(y’ = 0  ⇔ x = 0).

– Hàm số đồng biến trên khoảng: ((-infty;0)); nghịch biến trên khoảng: ((0;+infty)).

– Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại (x=0); (y_{CĐ}=3).

– Giới hạn: 

(mathop {lim y}limits_{x to  pm infty }  =  -infty )

Bảng biến thiên :

         

Hàm số đã cho là hàm chẵn, nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.

Đồ thị giao (Ox) tại hai điểm ((1;0)) và ((-1;0)); giao (Oy) tại điểm ((0;3)).

 Đồ thị như hình bên.

Bài 3 trang 43 sách sgk giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:

a) ({{x + 3} over {x – 1}}) ,

b) ({{1 – 2{rm{x}}} over {2{rm{x}} – 4}}) ,

c) ({{ – x + 2} over {2{rm{x}} + 1}})

Giải:

a) Tập xác định : (mathbb R{rm{backslash { }}1});  

* Sự biến thiên:

(y’ = {{ – 4} over {{{(x – 1)}^2}}} < 0,forall x ne 1) ;

– Hàm số nghịch biến trên khoảng: ((-infty;1)) và ((1;+infty)).

– Cực trị:

     Hàm số không có cực trị.

– Tiệm cận:

(mathop {lim y}limits_{x to {1^ – }}  =  – infty ), (mathop {lim y}limits_{x to {1^ + }}  =  +infty)

(mathop {lim y}limits_{x to  pm infty }  = 1)

Do đó, tiệm cận đứng là: (x = 1); tiệm cận ngang là: (y = 1).

Bảng biến thiên: 

* Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm (I(1;1)) làm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại:((0;-3)), trục hoành tại ((-3;0))

     

             

 

 

 

 

 

 

 

b) Tập xác định : (mathbb R backslash {rm{{ }}2} );    

* Sự biến thiên:

(y’ = {6 over {{{left( {2{rm{x}} – 4} right)}^2}}} > 0,forall x ne 2)

– Hàm số đồng biến trên khoảng: ((-infty;2)) và ((2;+infty))

– Cực trị: 

  Hàm số không có cực trị.

– Tiệm cận:

(mathop {lim y}limits_{x to {2^ – }}  =  + infty ), (mathop {lim y}limits_{x to {2^ + }}  =  – infty ), (mathop {lim y}limits_{x to  pm infty }  =  – 1)

Do đó, tiệm cận đứng là: (x = 2); tiệm cận ngang là:( y = -1).

Bảng biến thiên :

* Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm (I(2;-1)) lầm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại: (left( {0; – {1 over 4}} right)), trục hoành tại: (left( {{1 over 2};0} right))

c) Tập xác định : (Rbackslash left{ { – {1 over 2}} right});

Sự biến thiên:

(y’ = {{ – 5} over {{{left( {2{rm{x}} + 1} right)}^2}}} < 0,forall x ne  – {1 over 2})

– Hàm số nghịch biến trên khoảng: ((-infty;{-1over 2})) và (({-1over 2};+infty))

– Cực trị:

Hàm số không có cực trị.

– Tiệm cận:

(mathop {lim y}limits_{x to  – {{{1 over 2}}^ – }}  =  – infty ), (mathop {lim y}limits_{x to  – {{{1 over 2}}^ + }}  =  + infty ), (mathop {lim y}limits_{x to  pm infty }  =  – {1 over 2})

Do đó, tiệm cận đứng là: (x =  – {1 over 2}); tiệm cận ngang là: (y =  – {1 over 2}).

Bảng biến thiên :

* Đồ thị    

Đồ thị nhận điểm (I( – {1 over 2}; – {1 over 2})) làm tâm đối xứng.

Đồ thị giao (Ox) tại: ((2;0)), (Oy) tại: ((0;2))

Giaibaitap.me