Giải bài 1, 2, 3 trang 18 SGK Giải tích 12

Bài 1 trang 18 sách sgk giải tích 12

Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :

 a) (y{rm{ }} = {rm{ }}2{x^{3}} + {rm{ }}3{x^2}-{rm{ }}36x{rm{ }}-{rm{ }}10) ;                            

b) (y{rm{ }} = {rm{ }}x{^4} + {rm{ }}2{x^2}-{rm{ }}3) ;

c) (y = x + {1 over x})                                                 

d) (y{rm{ }} = {rm{ }}{x^3}{left( {1{rm{ }}-{rm{ }}x} right)^{2}});

 e) (y = sqrt {{x^2} – x + 1})

Giải:

a) Tập xác định: (D = mathbb R)

(eqalign{
& y’ = 6{{rm{x}}^2} + 6{rm{x}} – 36;y’ = 0 cr 
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = 2left( {y = – 54} right) hfill cr 
x = – 3left( {y = 71} right) hfill cr} right. cr} ) 

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực trị tại (x = -3) và  (y)_CĐ (= 71)

Hàm số đạt cực tiểu tại (x = 2) và (y)_CT (= -54)

b) Tập xác định: (D =mathbb R)

(y’ = 4{{rm{x}}^3} + 4{rm{x}} = 4{rm{x}}left( {{x^2} + 1} right));

(y’ = 0 Leftrightarrow x = 0left( {y =  – 3} right))

Bảng biến thiên:

Hàm số có điểm cực tiểu tại (x = 0) và (y)_CT (= -3)

c) Tập xác định: (D = mathbb R) { 0 }

(eqalign{
& y’ = 1 – {1 over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} over {{x^2}}};y’ = 0 cr 
& Leftrightarrow {x^2} – 1 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1left( {y = 2} right) hfill cr 
x = – 1left( {y = – 2} right) hfill cr} right. cr})

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại (x = -1), (y)_CĐ (= -2)

Hàm số đạt cực tiểu tại (x = 1), (y)_CT  (= 2)

d) Tập xác định (D = mathbb R)

( y’ = 3{{rm{x}}^2}{left( {1 – x} right)^2} – 2{{rm{x}}^3}left( {1 – x} right) )

     (= {x^2}left( {1 – x} right)left( {3 – 5{rm{x}}} right))

(eqalign{
& y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1left( {y = 0} right) hfill cr 
x = {3 over 5}left( {y = {{108} over {3125}}} right) hfill cr 
x = 0 hfill cr} right. cr} ) 

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại (x = {3 over 5};y = {{108} over {3125}})  

Hàm số đạt cực tiểu tại (x = 1), (y)_CT =( 0)

e) Vì  (x^2) –( x + 1 > 0, ∀  ∈ mathbb R) nên tập xác định : (D = mathbb R)

(y’ = {{2{rm{x}} – 1} over {2sqrt {{x^2} – x + 1} }};y = 0 Leftrightarrow x = {1 over 2}left( {y = {{sqrt 3 } over 2}} right))

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại (x = {1 over 2};{y_{CT}} = {{sqrt 3 } over 2})   

Bài 2 trang 18 sách sgk giải tích 12

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

      a) (y{rm{ }} = {rm{ }}{x^4} – {rm{ }}2{x^2} + {rm{ }}1) ;       (b) y = sin2x – x);

      c)(y = sinx + cosx);         d)(y{rm{ }} = {rm{ }}{x^5}-{rm{ }}{x^3}-{rm{ }}2x{rm{ }} + {rm{ }}1).

Giải:

a) (y'{rm{ }} = 4{x^3}-{rm{ }}4x{rm{ }} = {rm{ }}4x({x^2} – {rm{ }}1)) ;

(y’ = 0) (⇔ 4x()(x^2)( – 1) = 0 ⇔ x = 0, x = pm 1).

( y” = 12x^2-4).

(y”(0) = -4 < 0) nên hàm số đạt cực đại tại (x = 0),

(y)_cđ =( y(0) = 1).

(y”(pm 1) = 8 > 0) nên hàm số đạt cực tiểu tại (x = pm1),

(y)_ct = (y(pm1)) = 0.

b) (y’ = 2cos2x – 1) ; 
(y’=0Leftrightarrow cos2x=frac{1}{2}Leftrightarrow 2x=pm frac{pi }{3}+k2pi)

(Leftrightarrow x=pm frac{pi }{6}+kpi .)

 (y” = -4sin2x) .

 (y”left ( frac{pi }{6} +kpi right )=-4sinleft ( frac{pi }{3} +k2pi right )=-2sqrt{3}<0) nên hàm số đạt cực đại tại các điểm (x = frac{pi }{6}+ kπ),

(y)_cđ =( sin(frac{pi }{3}+ k2π) – frac{pi }{6} – kπ) = (frac{sqrt{3}}{2}-frac{pi }{6}- kπ) , (k ∈mathbb Z).

(y”left ( -frac{pi }{6} +kpi right )=-4sinleft (- frac{pi }{3} +k2pi right )=2sqrt{3}>0) nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm (x =-frac{pi }{6}+ kπ),

(y)_ct = (sin(-frac{pi }{3}+ k2π) + frac{pi }{6} – kπ) =(-frac{sqrt{3}}{2}+frac{pi }{6} – kπ) , (k ∈mathbb Z).

c) (y = sinx + cosx )= (sqrt{2}sinleft (x+frac{pi }{4} right ));          

( y’ )=(sqrt{2}cosleft (x+frac{pi }{4} right )) ;

 (y’=0Leftrightarrow cosleft (x+frac{pi }{4} right )=0Leftrightarrow)(x+frac{pi }{4} =frac{pi }{2}+kpi Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+kpi .)

(y”=-sqrt{2}sinleft ( x+frac{pi }{4} right ).) 

(y”left ( frac{pi }{4} +kpi right )=-sqrt{2}sinleft ( frac{pi }{4}+kpi +frac{pi }{4} right ))

(=-sqrt{2}sinleft ( frac{pi }{2} +kpi right ))

(=left{ matrix{
– sqrt 2 text{ nếu k chẵn} hfill cr 
sqrt 2 text{ nếu k lẻ} hfill cr} right.)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm (x=frac{pi }{4}+k2pi),

đạt cực tiểu tại các điểm (x=frac{pi }{4}+(2k+1)pi (kin mathbb{Z}).)

d) (y'{rm{ }} = {rm{ }}5{x^4} – {rm{ }}3{x^2} – {rm{ }}2{rm{ }} = {rm{ }}({x^2} – {rm{ }}1)(5{x^2} + {rm{ }}2)); (y'{rm{ }} = {rm{ }}0 Leftrightarrow {x^{2}} – {rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0 Leftrightarrow {rm{ }}x{rm{ }} =  pm 1).

(y”{rm{ }} = {rm{ }}20{x^{3}} – {rm{ }}6x).

(y”(1) = 14 > 0) nên hàm số đạt cực tiểu tại (x = 1),

(y)_ct =( y(1) = -1).

(y”(-1) = -14 < 0) hàm số đạt cực đại tại (x = -1),

(y)_cđ = (y(-1) = 3).

Bài 3 trang 18 sách sgk giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số (y=sqrt{left | x right |}) không có đạo hàm tại (x = 0) nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Giải:

Đặt (y=f(x)=sqrt{left | x right |}). Giả sử (x > 0), ta có :

(underset{xrightarrow 0^{+}}{lim}frac{sqrt{x}}{x}=underset{xrightarrow 0^{+}}{lim}frac{1}{sqrt{x}}=+infty .)

Do đó hàm số không có đạo hàm tại (x = 0) . Tuy nhiên hàm số đạt cực tiểu tại (x = 0) vì (f(x)=sqrt{left | x right |}geq 0=f(0),forall xinmathbb R).

Giaibaitap.me