Định nghĩa trung điểm là gì? Cách chứng minh trung điểm?

Chứng minh trung điểm là một dạng toán cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình toán THCS. Vậy chính xác thì điểm giữa là gì? Cách chứng minh trung điểm lớp 8 và lớp 9 giống và khác nhau như thế nào? Làm thế nào để giải bài toán chứng minh o là trung điểm của ef?… Trong bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!

Điểm giữa là gì?

Trung điểm (M ) của đoạn thẳng (AB ) là điểm nằm giữa (A, B ) và cách đều (A, B ) hoặc (MA = MB ). Trung điểm của đoạn thẳng (AB ) còn được gọi là trung điểm của đoạn thẳng (AB )

***Chú ý: Điểm (M ) nằm giữa hai điểm (A, B ) ( Mũi tên trái MA + MB = AB )

Các cách phổ biến và điển hình để chứng minh trung điểm

Để chứng minh rằng một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng, chúng ta cần sử dụng các tính chất hình học liên quan đến trung điểm. Dưới đây là một số cách CM trung điểm cơ bản.

Cách chứng minh trung điểm lớp 6 – chứng minh bằng định nghĩa

Để chứng minh rằng điểm (M ) là trung điểm của đoạn thẳng (AB ), chúng ta cần chứng minh rằng (M ) nằm giữa (A, B ) và (MA + MB )

Ví dụ:

Gọi (AB = 8cm ) có (M ) là trung điểm (AB ). Trên (AB ) lấy hai điểm (C, D ) sao cho (AC = BD = 3cm ). Chứng minh rằng (M ) là trung điểm (CD )

Giải pháp:

Vì (M ) là trung điểm (AB ) nên (MA = MB = 4cm )

Vì (M, C ) nằm cùng phía với (A ) và (AM> AC ) nên (C ) nằm giữa (AM )

( Rightarrow MC = MA-CA = 1 cm )

Tương tự, chúng ta có (MD = 1 cm )

Ngược lại: (CD = AB-AC-BD = 2cm )

Do đó chúng ta có:

( left { begin {matrix} MC = MD = 1cm \ MC + MD = CD end {matrix} right. )

( Rightarrow M ) là điểm giữa (CD )

Cách chứng minh trung điểm lớp 7 – dựa vào tính chất của tam giác

Để chứng minh theo cách này, trước hết chúng ta cần nắm vững các tính chất liên quan đến trung điểm của một tam giác.

Cho tam giác (ABC ) trong đó (M, N, P ) lần lượt là trung điểm của (BC, CA, AB ).

Sau đó:

(AM, BN, CP ) lần lượt được gọi là trung tuyến của cạnh (BC, CA, AB ). Ba trung tuyến đồng quy tại điểm (G ) được gọi là trọng tâm của tam giác (ABC ). Ba đường thẳng (MN, NP, PM ) được gọi là trung tuyến của tam giác (ABC )

• Các tính năng chính: Nếu (G ) là trọng tâm của tam giác (ABC ) thì (AG, BG, CG ) lần lượt đi qua trung điểm của (BC, CA, AB ). Ngoài ra: ( frac {AG} {AM} = frac {BG} {BN} = frac {CG} {CP} = frac {2} {3} )

• Thuộc tính đường trung bình: Nếu (MN ) là trung tuyến của tam giác (ABC ) thì (MN ) song song và bằng ( frac {1} {2} ) cơ sở tương ứng của nó.

Ví dụ:

Cho (ABC ) tam giác với (AB> BC ). (BE ) là phân giác và (BD ) là trung tuyến. Đường thẳng qua (C ) vuông góc với (BE ) cắt (BE, BD, BA ) tại (F, G, K ) (DF ) cắt (BC ) tại (BC ) tương ứng (M ). Chứng minh rằng: (M ) là trung điểm của đoạn (BC )

Giải pháp:

Xem xét ( Delta BCK ) với

(BF ) vừa là đường cao vừa là đường phân giác, do đó ( Delta BCK ) bằng (B )

( Rightarrow BC = BK ) và (BF ) là trung tuyến

( Rightarrow CF = FK ).

Xem xét ( Delta CKA ) với

(CF = FK; CD = DA ) ( Rightarrow FD ) là đường trung bình động

( Rightarrow FD // AB Leftrightarrow MD // AB )

Cái nào (CD = DA ) nên ( Rightarrow frac {CM} {CB} = frac {CD} {CA} = frac {1} {2} )

( Rightarrow M ) là trung điểm (BC ).

Cách chứng minh trung điểm lớp 8 – dựa vào tính chất đặc biệt của tứ giác

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất trung điểm của các tứ giác đặc biệt như sau

• Đường trung bình hình thang

Cho hình thang (ABCD ) có hai đáy (AB, CD ). Khi đó (MN ) được gọi là đường trung bình của hình thang (ABCD ) ( Leftrightarrow left { begin {matrix} MN song song AB \ MN = frac {AB + CD} {2} end {matrix} right. ) và (M, N ) là trung điểm của (AB, BC )

• Hình bình hành đường chéo

Xét một hình bình hành (ABCD ) có hai đường chéo (AC, BD ). Khi đó (AC ) cắt (BD ) tại trung điểm của mỗi đoạn.

***Chú ý: Hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi là những trường hợp đặc biệt của hình bình hành nên chúng cũng có các tính chất trên

Ví dụ:

Cho (ABCD ) hình bình hành trong đó (I ) là giao điểm của (AC, BD ). Gọi (M ) là điểm bất kỳ trên (CD ). (MI ) cắt (AB ) tại (N ). Chứng minh rằng (I ) là trung điểm [/latex] MN [/latex]

Giải pháp:

Vì (ABCD ) là một hình bình hành trong đó (I ) là giao điểm của hai đường chéo nên ta có: (DI = MI )

Hãy xem xét ( Delta DIM ) và ( Delta BIN ) với:

( widehat {DIM} = widehat {BIN} ) (góc đối diện)

(DI = BI ) (đã chứng minh ở trên)

( widehat {MDI} = widehat {NBI} ) (hai góc so le trong)

Vì vậy ( Rightarrow Delta DIM = Delta BIN ) (góc – cạnh – góc)

Vì vậy, ( Rightarrow IN = IM ) hoặc (I ) là trung điểm (MN )

Cách chứng minh trung điểm lớp 9 – dựa vào tính chất của đường tròn

Trong phần này, chúng ta sẽ sử dụng mối quan hệ giữa đường kính và hợp âm trong một vòng tròn:

Cho một đường tròn có tâm (O ) và đường kính (AB ). (MN ) là bất kỳ hợp âm nào của vòng tròn. Sau đó, nếu (AB bot MN Rightarrow ) (AB ) đi qua trung điểm của (MN ) và ngược lại, nếu (AB ) đi qua trung điểm của (MN ) thì (AB bot MN )

Ví dụ:

Cho (ABC ) tam giác ((AB

Giải pháp:

Vì (MA, MB ) là các đường tiếp tuyến từ (M ) tới đường tròn ((O) ) ( Rightarrow MA = MB )

Xem xét ( Delta MAO ) và ( Delta MBO ) với

(MA = MB ) (đã chứng minh ở trên)

(MO ) chung

(OA = OB ) (bán kính ((O) ))

Vì vậy ( Rightarrow Delta MAO = Delta MBO ) (cạnh – cạnh – cạnh)

( Rightarrow widehat {MOA} = widehat {MOB} )

( Rightarrow widehat {MOA} = frac { widehat {AOB}} {2} hspace {1cm} (1) )

Bởi vì (PQ song song BC Rightarrow widehat {MEA} = widehat {BCA} ) (đồng vị)

Mà ( widehat {BCA} = frac { widehat {AOB}} {2} Rightarrow widehat {MEA} = frac { widehat {AOB}} {2} hspace {1cm} (2) )

Từ ((1) (2) Rightarrow widehat {MEA} = widehat {MOA} )

( Rightarrow ) tứ giác (MOEA ) nội tiếp

( Rightarrow widehat {MEO} = widehat {MAO} = 90 ^ { circle} ) (vì (MA ) là tiếp tuyến)

( Phím phải EO ) vuông góc với hợp âm (PQ )

( Rightarrow E ) là điểm giữa (PQ )

Cách chứng minh trung điểm dựa trên phép đối xứng

Đối xứng trục

Hai điểm (A, B ) đối xứng nhau qua đường thẳng (d ) nếu (d ) là đường trung trực của (AB ). Sau đó (AB bot d ) và (d ) đi qua trung điểm của (AB )

Đối xứng tâm

Hai điểm (A, B ) đối xứng nhau về (O ) nếu (O ) là trung điểm của (AB )

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết về chủ đề CM trung điểm cũng như cách chứng minh CM trung điểm phù hợp với từng đối tượng. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề Chứng minh trung điểm. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem thêm >>> Các chuyên đề về phương trình một ẩn ở dạng: Lý thuyết và Lời giải

Xem thêm >>> Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác – Toán lớp 9