Điều kiện để phương trình có nghiệm? Bài tập phương trình có nghiệm

Một phương trình hợp lệ là gì? Điều kiện để phương trình có nghiệm là gì? Lý thuyết và cách giải các bài toán về phương trình có nghiệm? Trong bài viết sau, chúng ta hãy Tip.edu.vn Cùng tìm hiểu chủ đề phương trình có nghiệm cũng như điều kiện để phương trình có nghiệm nhé!

Một phương trình hợp lệ là gì?

Định nghĩa của một phương trình hợp lệ

• Trong toán học, phương trình là một mệnh đề biến đổi có dạng:

(f (x_ {1}, x_ {2},…) = g (x_ {1}, x_ {2},…) ) (1)

(h (x_ {1}, x_ {2},…) = f (x_ {1}, x_ {2},…) – g (x_ {1}, x_ {2},…) ) (2 )

(h (x_ {1}, x_ {2},…) = 0 ) (3)

(ax ^ {2} + bx + c = 0 ) (4)

Trong đó (x_ {1}, x_ {2} ),… được gọi là các biến của phương trình và mỗi vế của phương trình được gọi là một vế của phương trình. Ví dụ: phương trình (1) có (f (x_1, x_2,…) ) ở bên trái, (g (x_1, x_2,…) ) ở bên phải.

Trong (4) chúng ta có trong phương trình này a, b, c là các hệ số và x, y là các biến.

• Nghiệm của phương trình là tập hợp tương ứng của (x_ {1}, x_ {2},… ) sao cho khi thay vào phương trình, chúng ta nhận được một câu lệnh đúng hoặc đơn giản là làm cho chúng bằng nhau.

Công thức chung

• Phương trình (f (x) = 0 ) với aj được gọi là phương trình chặt chẽ nếu và chỉ khi ( left { begin {matrix} x = a \ f (a) = 0 end { ma trận} right. ), điều này xác định tương tự cho các phương trình khác như (f (x, y, z, ..) = 0, a in S Leftrightarrow left { begin {matrix} x = a \ y = b \ z = c \ f (a, b, c) = 0 end {matrix} right. )
• Giải một phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó. Trường hợp tập nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm của phương trình. Ký hiệu: (S = left {x, y, z,… left. Right } right. )

Điều kiện để phương trình có nghiệm

Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm

• Theo quan hệ tiếng Việt, nếu phương trình bậc hai (ax ^ {2} + bx + c = 0 (a neq 0) ) có nghiệm (x_ {1}, x_ {2} ) thì ( S = x_ {1} + x_ {2} = frac {-b} {a}; P = x_ {1} x_ {2} = frac {c} {a} )

Do đó, điều kiện để có một phương trình bậc hai:

• Có hai gốc dương: ( Delta geq 0; P> 0; S> 0 )
• Có 2 gốc âm: ( Delta geq 0; P> 0; S <0 )
• Có 2 nghiệm trái dấu: ( Delta geq 0; P <0 )

Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm

• Cho hệ phương trình: ( left { begin {matrix} ax + by = c (d) (a ^ {2} + b ^ {2} neq 0) \ a’x + b’y = c ‘(d’) (a ‘^ {2} + b’ {2} neq 0) end {matrix} right. )
• Hệ phương trình có nghiệm ( Leftrightarrow ) (d) cắt (d ‘) ( Leftrightarrow frac {a} {a’} neq frac {b} {b ‘} (a’, b ‘ neq 0) )
• Hệ phương trình có vô số nghiệm ( Leftrightarrow ) (d) trùng (d ‘) ( Leftrightarrow frac {a} {a’} = frac {b} {b ‘} = frac {c } {c ‘} (a’, b ‘, c’ neq 0) )
• Hệ phương trình không có nghiệm ( Leftrightarrow (d) llel (d ‘) Leftrightarrow frac {a} {a’} = frac {b} {b ‘} neq frac {c} {c’ } (a ‘, b’, c ‘ neq 0) )

Điều kiện để phương trình lượng giác có nghiệm

• Phương trình ( sin x = m )
• Phương trình có nghiệm nếu ( left | m right | leq -1 ). Sau đó, chúng tôi chọn một góc ( alpha ) sao cho ( sin alpha = m ) thì nghiệm của phương trình là ( left { begin {matrix} x = alpha + k2 pi x = pi – alpha + k2 pi end {matrix} right. )
• Phương trình ( cos x = m )
• Phương trình có nghiệm nếu ( left | m right | leq -1 ). Sau đó, chúng tôi chọn một góc ( alpha ) sao cho ( cos alpha = m ) thì nghiệm của phương trình là ( left { begin {matrix} x = alpha + k2 pi x = – alpha + k2 pi end {matrix} right. )
• Phương trình ( tan x = m )
• Chọn góc ( alpha ) sao cho ( tan x = m ). Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
• Phương trình ( csc x = m )
• Chọn góc ( alpha ) sao cho ( csc alpha = m ). Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Các dạng toán của phương trình có nghiệm

Dạng 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Cho phương trình (x ^ {2} – 2 (m + 3) x + 4m-1 = 0 ) (1). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương

Dung dịch:

Phương trình (2) có hai nghiệm dương

( left { begin {matrix} Delta geq 0 \ P> 0 \ S> 0 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} (m + 3) ^ {2} – (4m-1) geq 0 \ 4m-1> 0 \ 2 (m + 3)> 0 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} (m + 1) ^ {2} + 9> 0 forall m \ m> frac {1} {4} \ m> -3 end {matrix} right Leftrightarrow m> frac {1} {4} )

Dạng 2: Điều kiện để có nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm (x ^ {4} + mx ^ {2} + 2m – 4 = 0 ) (1)

Dung dịch:

Đặt (x ^ {2} = y geq 0 ). Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là phương trình (y ^ {2} + my + 2m – 4 = 0 ) (3) có ít nhất một nghiệm không âm.

Ta có: ( Delta = m ^ {2} – 4 (2m-4) = (m-4) ^ {2} geq 0 ) với mọi m. Khi đó phương trình có 2 nghiệm (x_ {1}, x_ {2} ) thoả mãn P = 2m – 4; S = -m

Điều kiện để phương trình (1) có cả hai nghiệm âm là:

( left { begin {matrix} P> 0 \ S<0 end{matrix}right Leftrightarrow left{begin{matrix} 2m-4>0 \ -m<0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} m>2 \ m> 0 end {matrix} right. Leftrightarrow m> 2 )

Vậy điều kiện để phương trình (3) có ít nhất một nghiệm không âm là (m leq 2 )

( Rightarrow ) phương trình (2) có nghiệm khi (m leq 2 )

Dạng 3: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Ví dụ 3: Tìm m số nguyên để nghiệm duy nhất của hệ phương trình sau là nghiệm nguyên

( left { begin {matrix} mx + 2y = m + 1 \ 2x + my = 2m – 1 end {matrix} right. )

Dung dịch:

Từ phương trình đầu tiên, chúng ta có (y = frac {m + 1-mx} {2} )

Thay vào phương trình thứ hai ta được: (2x + m frac {m + 1-mx} {2} = 2m-1 )

( Mũi tên trái 4x + m ^ {2} -m ^ {2} x = 4m – 2 )

(x (m ^ {2} – 4) = m ^ {2} – 3m -2 Mũi tên trái x (m-2) (m + 2) = (m – 2) (m – 1) )

Nếu m = 2 thì x = 0, phương trình có vô số nghiệm

Nếu m = -2 thì x = 12, phương trình vô nghiệm

Nếu ( left { begin {matrix} m neq 2 \ m neq -2 end {matrix} right. ) Thì (x = frac {m-1} {m + 2} ) thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Thay thế lại vào phương trình (y = frac {m + 1-mx} {2} = frac {2m + 1} {m + 2} )

( left { begin {matrix} x = frac {m-1} {m + 2} = 1- frac {3} {m + 2} \ y = frac {2m + 1} { m + 2} = 2- frac {3} {m + 2} end {matrix} right. )

Chúng ta cần tìm (m in mathbb {Z} ) sao cho (x, y in mathbb {Z} )

Nhìn vào công thức giải chúng ta có: ( frac {3} {m + 2} in mathbb {Z} Leftrightarrow m + 2 in left {-1,1,3, -3 right } Leftrightarrow m in left {-3, -1,1.5 right } )

Các giá trị này thỏa mãn ( left { begin {matrix} m neq 2 \ m neq -2 end {matrix} right. )

Vì vậy (m in left {-3, -1,1,5 right } )

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến ​​thức về phương trình có nghiệm và điều kiện để phương trình có nghiệm. Hi vọng sẽ cung cấp cho các bạn những kiến ​​thức bổ ích cho quá trình học tập. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem nội dung chi tiết bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm:

• Tìm m để hàm số có 3 cực trị: Lý thuyết và Các dạng bài tập
• Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy – Chuyên đề ba đường thẳng đồng quy
• Tổng hợp tất cả các công thức toán 12 quan trọng ôn thi THPT quốc gia