Dấu của nhị thức bậc nhất: Định lý, Cách lập bảng xét dấu và Bài tập

Chuyên đề dấu hiệu của nhị thức bậc nhất là một phần quan trọng trong chương trình học môn toán lớp 10. Vậy định nghĩa của binomial là gì? Nhị thức bậc nhất là gì? Cách lập bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất? Các dạng bài tập xét dấu lớp 10?… Để tìm hiểu kỹ hơn về chủ đề Dấu của nhị thức bậc nhất, mời các bạn tham khảo bài viết dưới đây của Tip.edu.vn Vui lòng!.

Định nghĩa nhị thức là gì?

Trong đại số, một nhị thức được định nghĩa là một đa thức có hai số hạng – tổng của hai đơn thức. Đây cũng là đa thức đơn giản nhất sau đơn thức.

Nhắc lại nhị thức bậc nhất

• Nhị thức bậc nhất (với x) là một biểu thức có dạng (ax + b ), trong đó a và b là hai số cho trước (a neq0 )
• (x_0 = frac {-b} {a} ) được gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất (f (x) = ax + b )

Định lý dấu của nhị thức bậc nhất

Tóm tắt về dấu của nhị thức bậc nhất

Trong toán học, nhị thức (f (x) = ax + b (a neq0) ) có cùng dấu với hệ số a khi x nhận giá trị trong khoảng ( left ( frac {-b} { a}; + infty right) ) và có dấu đối nghịch với hệ số a khi x chiếm khoảng ( left (- infty; frac {-b} {a} right) ). Nội dung của định lý được mô tả trong bảng dấu của (f (x) = ax + b ).

Minh họa bằng đồ họa:

Xét dấu, thương của nhị thức bậc nhất

Gọi f (x) là một tích của các nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lý dấu của nhị thức bậc nhất ta có thể xét dấu của từng thừa số. Lập bảng dấu chung của tất cả các nhị thức bậc nhất có trong f (x), ta suy ra được dấu của f (x). Trường hợp f (x) là thương cũng được xem xét tương tự.

Vận dụng dấu của nhị thức bậc nhất để giải toán

Việc giải các bất phương trình (f (x)> 0 ) thực chất là để xem các giá trị (f (x) ) nhận là dương với giá trị nào của x (do đó biết (f (x)) )) ) nhận các giá trị âm cho những giá trị nào của x), làm như vậy chúng ta nói rằng chúng ta đã xem xét dấu biểu thức (f (x) )

Giải các bất đẳng thức về tích

Các dạng toán thường gặp: (P (x)> 0, P (x) geq 0, P (x) <0, P (x) leq0 ) trong đó P (x) là tích của nhị thức bậc nhất.

Dung dịch: Lập bảng tra dấu của P (x), từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ: Giải bất phương trình: ((x-2) (x + 1) (3x-4)> 0 )

Dung dịch:

1. ((x-2) (x + 1) (3x-4)> 0 hspace {1.5cm} (1) )

• Đặt (P (x) = (x-2) (x + 1) (3x-4) )
• Giải phương trình (P (x) = 0 ) ta được: (x = 2; x = -1; x = frac {4} {3} )
• Sắp xếp các giá trị tìm được của x theo giá trị tăng dần: (- 1, frac {4} {3}, 2 ). Ba số này chia thành bốn khoảng. Chúng tôi xác định dấu của (P (x) ) trên mỗi khoảng thời gian bằng cách lập bảng cho dấu của (P (x) )

Dựa vào bảng dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình (1) là: ( left (-1; frac {4} {3} right) cup left (2; + infty right ) )

Giải các bất phương trình ẩn trong mẫu

Các dạng toán thường gặp: ( frac {P (x)} {Q (x)}> 0, frac {P (x)} {Q (x)} geq 0, frac {P (x)} {Q (x) } <0, frac {P (x)} {Q (x)} leq0 ), trong đó P (x) và Q (x) là tích của các nhị thức bậc nhất.

Dung dịch: Lập bảng xét dấu của ( frac {P (x)} {Q (x)} ), từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ: Giải bất phương trình: ( frac {4} {x-3} leq frac {6} {3x + 2} hspace {1.5cm} (1) )

Dung dịch:

Chúng ta có:

((1) Leftrightarrow frac {4} {x-3} – frac {6} {3x + 2} leq0 \ Leftrightarrow frac {4 (3x + 2) -6 (x-3) } {(x-3) (3x + 2)} leq0 \ Leftrightarrow frac {6x + 26} {(x-3) (3x + 2)} leq0 )

Ta lập bảng xét dấu của bất đẳng thức (2):

Dựa vào bảng dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình (2) là: ( left (- infty; frac {-26} {6} right] cup left ( frac {-2) } {3}; 3 phải) )

Giải các bất phương trình ẩn trong dấu của giá trị tuyệt đối

Dung dịch: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối hoặc thuộc tính để bỏ ký hiệu giá trị tuyệt đối. Chúng ta thường phải xét các phương trình hoặc bất phương trình trong nhiều khoảng khác nhau (đoạn, bán khoảng), trong đó mỗi biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối có một dấu xác định.

Ví dụ: Giải bất phương trình: (| 2x-1 | <3x + 5 hspace {1.5cm} (3) )

Dung dịch:

• Với (x < frac {1} {2} ), chúng ta có:

((3) Leftrightarrow1-2x<3x+5Leftrightarrow5x>-4 Leftrightarrow x> – frac {4} {5} )

Kết hợp với điều kiện (x < frac {1} {2} ), chúng ta nhận được (- frac {4} {5}

• Với (x geq frac {1} {2} ), chúng ta có:

((3) Mũi tên trái 2x-1<3x+5Leftrightarrow x>-6 )

Kết hợp với điều kiện (x geq frac {1} {2} ), chúng ta nhận được (x geq frac {1} {2} ).

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình (3): ( left (- frac {4} {5}; frac {1} {2} right) cup left [frac{1}{2};+infty right )=left ( -frac{4}{5};+infty right ))

Các dạng toán về dấu của nhị thức bậc nhất 

Lập bảng xét dấu biểu thức chứa nhị thức bậc nhất

Ví dụ 1: 

1. (x(4-x^2)(x+2))
2. (1-frac{4x^2}{(x+1)^2})
3. (frac{4x-12}{x^2-4x})

Cách giải: 

1. Ta có: (x(4-x^2)(x+2)=x(2-x)(x+2)^2)

Bảng xét dấu: 

    2. Ta có: (1-frac{4x^2}{(x+1)^2}=frac{(x+1)^2-4x^2}{(x+1)^2}= frac{(3x+1)(1-x)}{(x+1)^2})

Bảng xét dấu: 

   3. Ta có: (frac{4x-12}{x^2-4x}=frac{4x-12}{x(x-4)})

Bảng xét dấu: 

Ví dụ 2: Tùy vào (m) xét dấu biểu thức sau (frac{-2x+m}{x-2})

Cách giải: 

Ta có: (x-2=0Leftrightarrow x=2\ -2x+m=0Leftrightarrow x=frac{m}{2})

Trường hợp 1: (frac{m}{2}>2Leftrightarrow m>4)

Bảng xét dấu: 

Suy ra (frac{-2x+m}{x-2}>0Leftrightarrow xinleft ( 2;frac{m}{2} right )) và (frac{-2x+m}{x-2}<0Leftrightarrow xinleft ( -infty;2 right )cupleft ( frac{m}{2};+infty right ))

Trường hợp 2: (frac{m}{2}=2Leftrightarrow m=4)

Ta có (frac{-2x+m}{x-2}=frac{-2x+2}{x-2}=-2)

Suy ra (frac{-2x+m}{x-2}<0Leftrightarrow xinmathbb{R}setminus left { 2 right })

Trường hợp 3: (frac{m}{2}<2Leftrightarrow m<4)

Bảng xét dấu: 

Suy ra (frac{-2x+m}{x-2}>0Leftrightarrow xinleft ( frac{m}{2};2 right )) và (frac{-2x+m}{x-2}<0Leftrightarrow xinleft (-infty; frac{m}{2} right )cupleft ( 2;+infty right )).

Tìm hiểu ứng dụng xét dấu của nhị thức bậc nhất 

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau: 

1. (x(sqrt{3}x-3)(3-x^2)leq0)
2. (frac{1}{(x-2)^2}leqfrac{1}{x+4})
3. (||2x-1|-4|>3)
4. (|x+1|-|x-2|geq3)
5. (frac{|x-1|-1}{x^4-x^2})

Cách giải: 

1. Ta có: (x(sqrt{3}x-3)(3-x^2)leq0Leftrightarrow xsqrt{3}(x-sqrt3)(sqrt3-x)(sqrt3+x)leq0Leftrightarrow -sqrt3x(x-sqrt3)^2(x+sqrt3)leq0)

(Leftrightarrowleft[ begin{array}{ll} x=sqrt3 & \ x(x+sqrt3)ge0 & end{array} right.)

Bảng xét dấu: 

Suy ra (x(x+sqrt3)ge0Leftrightarrow xin left ( -infty;-sqrt3 right ] cup left [0;+infty right )).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: (S=left ( -infty;-sqrt3 right ] cup left [0;+infty right ))

    2. Điều kiện xác định: (left{begin{matrix} xne2 & \ xne -4 & end{matrix}right.)

Ta có:

(frac{1}{(x-2)^2}leqfrac{1}{x+4} Leftrightarrow frac{1}{x+4}-frac{1}{(x-2)^2}ge0\ Leftrightarrowfrac{x^2-4x}{(x+4)(x-2)^2}ge0Leftrightarrowfrac{x(x-4)}{(x+4)(x-2)^2}ge0\ Leftrightarrowfrac{x(x-4)}{(x+4)}). Do ((x-2)^2) luôn dương nên ta chỉ xét các phần tử còn lại.

Kết hợp với điều kiện xác định ban đầu, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là: (S=left (-4;0 right ] cup left [4;+infty right )).

   3. Ta có: 

(||2x-1|-4|>3Leftrightarrowleft[ begin{array}{ll} |2x-1|-4>3 & \ |2x-1|-4<-3 & end{array} right.\ Leftrightarrowleft[ begin{array}{ll} |2x-1|>7 & \ |2x-1|<1 & end{array} right.Leftrightarrowleft[ begin{array}{ll} 2x-1>7 & \ 2x-1<-7 & \-1<2x-1<1 end{array} right.\ Leftrightarrowleft[ begin{array}{ll} x>4 & \ x<-3 & \0<x<1 end{array} right.)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (S=left ( -infty;-3 right )cupleft ( 0;1 right )cupleft ( 4;+infty right ))

    4. Bảng xét dấu: 

Từ bảng xét dấu đó ta chia ra các trường hợp sau: 

• Với (x<-1) ta có bất phương trình tương đương với (-(x+1)+(x-2)ge3Leftrightarrow-3ge3) (vô nghiệm).
• Với (-1le xle2) ta có bất phương trình tương đương với ((x+1)+(x-2)ge3Leftrightarrow xge2). Kết hợp với điều kiện (-1le xle2) suy ra bất phương trình vô nghiệm.
• Với (xge2) ta có bất phương trình tương đương với ((x+1)-(x-2)ge3Leftrightarrow 3ge3). Kết hợp với điều kiện (xge2) suy ra bất phương trình có nghiệm là (xge2)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (S=left [2;+infty right ))

   5. Điều kiện xác định: (x^4-x^2ne0Leftrightarrowleft{begin{matrix} xne0 & \ xnepm 1 & end{matrix}right.)

Ta có: 

(frac{|x-1|-1}{x^4-x^2}ge0Leftrightarrowfrac{(|x-1|+1)(|x-1|-1)}{x^4-x^2}ge0Leftrightarrowfrac{|x-1|^2-1}{x^4-x^2}\ Leftrightarrowfrac{x^2-2x}{x^4-x^2}ge0Leftrightarrowfrac{x(x-2)}{x^2(x-1)(x+1)}ge0Leftrightarrowfrac{x-2}{x(x-1)(x+1)}ge0)

Bảng xét dấu: 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (S=left ( -infty;-1 right )cupleft ( 0;1 right )cupleft [2;+infty right )).

Ví dụ 2:

Tip.edu.vn đã cùng bạn tìm hiểu về chủ đề dấu của nhị thức bậc nhất. Với những kiến thức trong bài viết, mong rằng đã giúp ích cho bạn trong quá trình học tập cũng như nghiên cứu về dấu của nhị thức bậc nhất. Chúc bạn luôn học tập tốt!. 

Xem chi tiết qua tài liệu cùng bài giảng dưới đây:

https://www.youtube.com/watch?v=EA583UIVP6E
(Nguồn: www.youtube.com)

sự đối xử

Xem thêm:

• Chuyên đề về dấu của tam thức bậc hai và Một số dạng bài tập
• Chủ đề Sự tương tác của đồ thị hàm số và các dạng bài tập
• Đồ thị của hàm số y = ax + b và tổ hợp các đồ thị hàm số có liên quan